河北省鸡泽县高一下学期开学考试数学试题（Word版，含解析）

河北省鸡泽县高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．若且，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
2．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A．441斛 B．431斛 C．426斛 D．412斛
3．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等
②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．有一长方体木块，其顶点为，，，，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点，则小虫爬行的最短距离为　　
A． B． C． D．
5．已知数列{an}满足an=n·pn（n∈N+，0< p①当p=时，数列{an}为递减数列；
②当③当0④当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项
①②
A．③④ B．②④ C．②③
6．在中，所对的边分别为，且满足①，②面积满足则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值是
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．2
9．在等差数列{an}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=
A．6051 B．4034 C．2017 D．1009
10．已知函数,对定义域内任意的x，都满足条件,若,则有
A．A＞B B．A=B C．A＜B D．AB
11．如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
12．在数列{an}中，，且an≠0.若(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
二、填空题
13．已知数列满足，n∈N*，则数列=____．
14．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点，测得，，，并在C处测得塔顶A的仰角为，则塔高______．
15．下列命题中正确的是________（填序号）.
①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
16．函数的值域是____________．
三、解答题
17．已知递增等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为.
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．
19．已知向量，，.
（1）若关于x的方程有解，求实数k的取值范围；
（2）若且，求.
20．已知数列和满足.
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列{}的前n项和
21．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.
在中，内角，，的对边分别为，，，________________.
(1)求的大小；
(2)若，，求，.
22．如图，四棱锥中，底面为线段上一点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
根据不等式的性质即可判断.
【详解】
对于A，若，则不等式不成立；
对于B，若，则不等式不成立；
对于C，若则不等式不成立；
对于D，不等号的两边同乘正值，不等号的方向不改变，故正确；
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
体积，
粮仓可以储存的粟米斛．
故选：．
3．D
【解析】
【分析】
平面与正方体的12条棱所成的角相等，且平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，直线与正方体的12条棱所成的角都相等，且直线与正方体的6个面所成的角都相等
【详解】
解：如图，连接，则三棱锥为正三棱锥，则与平面所成角相等，则存在一个平面与正方体的12条棱所成的角相等，故①正确；
正三棱锥的三个侧面与底面所成角相等，则存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；
存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；
存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确，
故正确的有4个，
故选：D
【点睛】
此题面面角、线面角的判断，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题
4．B
【解析】
【分析】
分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．
【详解】
分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面 A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短．此时最短距离为 ；
②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC爬，最短距离为：3；
③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：2，
比较的大小可知，3最小．
故选B．
【点睛】
本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离，把两个平面展开成一个平面．属中档题．
5．B
【解析】
【详解】
试题分析：当时，,所以不是递减数列,故①错；当时，,,所以得到数列总数先增后减，所以一定由最大项，故②错；当时，，,所以数列是递减数列，故③正确；，
当为正整数时，,
当时，
当时，令，解得，
则，当时，,再结合已证的②，数列{an}必有两项相等的最大项．
考点：数列的单调性
6．D
【解析】
【分析】
有正弦定理与三角形面积公式和三边的关系逐一判断即可
【详解】
，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得：，
由，及正弦定理得，即，
面积满足，即，
由，可得，故AB错误；
，即，故C错误；
，即，故D正确
故选：D
7．A
【解析】
【详解】
试题分析：
，所以，所以，故选A.
考点：两角和与差的三角函数与诱导公式.
【方法点晴】本题是给条件求值，先通过三角恒等变换把条件用两角和的正弦公式展开，再合起来化为一角、一名、一次式的形式，本质上都是两角和和与差的正、余弦公式的应用，再通过“凑角”用变形得到的角把待求值角的角表示出来，通过诱导公式来解决问题，最后求值时要注意函数名和符号的变化，不然很容出现错误.
8．B
【解析】
【分析】
在长方体中作出原几何体，得出几何体的结构，结合长方体求出其体积．
【详解】
把原几何体补成一个长方体，如图，几何体是，
其体积为．
故选：B．
9．C
【解析】
【详解】
由题意，得，即，所以；故选C.
点睛：在处理等差数列的有关运算时，利用等差数列的性质（如：若，则）可减少运算量.
10．B
【解析】
【分析】
由，得到周期为6，根据周期公式及大于0，求出的值，把求出的值
代入和两式中，利用诱导公式化简后，即可得到两式的结果相等．
【详解】
，
函数的周期为6，又，
，
，，
则．
故选
【点睛】
此题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了诱导公式，根据题意得出函数的周期为6
是解本题的关键．
11．D
【解析】
【分析】
易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案.
【详解】
∵，，∴平面，故，
作交于点，
此时平面，在矩形中，，
所以四边形是正方形，所以，所以，
又为的中点，
所以为的中点，即，所以.
故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
先判断数列是等差数列，利用其性质化简计算得到an＝2，再结合等差数列前n项和公式列方程计算n值即可.
【详解】
在数列{an}中，因为，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以数列{an}为等差数列.
又(n≥2)，得，即，
因为an≠0，所以an＝2.
又，即，即(2n－1)×2＝38，
解得n＝10.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
判断数列是等差数列的常用方法：
（1）定义法：且时满足，d为常数；
（2）等差中项法：对任意的，成立；
（3）通项公式法：通项公式为型.
13．
【解析】
【分析】
利用相邻关系作差的方式得到，注意首项的检验.
【详解】
∵①
∴时，②
①式②式：，即=，
当n=1时，，即
故答案为
【点睛】
本题考查了由数列的前n项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分和两种情形，第二要掌握这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
14．30
【解析】
【分析】
结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB的长．
【详解】
在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，，
∴＝，∴＝，
CB＝30×＝30；
中，∠ACB＝45°，
∴塔高AB＝BC＝30m．
故答案为：30.
【点睛】
本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．
15．③④⑤⑥
【解析】
根据圆锥、圆台、圆柱的定义，可判断①②③④的真假；根据球的定义和性质，可判断⑤⑥真假.
【详解】
①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，
将直角三角形旋转一周得到的旋转体才是圆锥，①错误；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴，
将直角梯形旋转一周得到的旋转体才是圆台，②错误；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③正确；
④等腰三角形的底边上的高将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，
根据圆锥的定义可判断，④正确；
⑤根据球的定义可判断，⑤正确
⑥根据球的性质可判断，⑥正确.
故答案为:③④⑤⑥.
【点睛】
本题考查圆柱、圆锥、圆台的定义，考查球的定义及性质，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，再变形函数式借助均值不等式求出最小值即可.
【详解】
函数定义域为，
，当且仅当，即时取“=”，
因此，当时，，
所以函数的值域是.
故答案为：
17．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，根据题设条件，列出方程求解，d，即可求解数列的通项公式；
（2）求出，利用裂项相消，求解数列的和.
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，，
，，
，，成等比数列，，
即，整理得
解得或，
等差数列是递增数列，，.
（2）
，
，
数列的前n项和.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算、等比中项性质的应用，以及裂项相消法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于中档题.
18．（1）根据已知的边角关系，结合二倍角公式来化简得到证明．
（2）
【解析】
【详解】
解：(1)证明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，
即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.
由正弦定理得：
sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B.
由正弦定理得，a＋c＝2b，
故a，b，c成等差数列．
(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：
42＝a2＋c2－2accos 60°，
∴(a＋c)2－3ac＝16，
又由(1)知a＋c＝2b，
代入上式得4b2－3ac＝16，
解得ac＝16，
∴△ABC的面积S＝acsin B＝acsin 60°＝4.
19．（1）；（2）见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程有解，即可求实数的取值范围；
（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．
试题解析：
（1）∵向量，，，∴ . 关于x的方程有解，即关于x的方程有解.
∵，∴当时，方程有解,则实数k的取值范围为.
（2）因为，所以，即.
当时，，.
当时，，.
20．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据递推数列及等比数列的定义即可证明；
（2）根据错位相减法求数列的和求解.
【详解】
（1）由，
可得，
即，
则是首项为3，公比为2的等比数列
（2）由（1）知，
，
，
两式相减得
【点睛】
本题主要考查了递推关系，等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选①，首先根据余弦定理得到，再利用辅助角公式得到，从而得到.若选②，首先利用边化角公式得到，从而得到，即可得到.
（2）首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到，再解方程组即可.
(1)
若选①，
因为，
所以，，
即.
因为，，所以，即.
若选②，
因为，所以，
即.
因为，所以.
又因为，所以.
(2)
因为，所以.
因为，
所以，即，
所以.
22．（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）过作，交于点，连，然后利用中位线定理结合已知条件证明得是平行四边形，从而利用平行四边形的性质可使问题得证；（2）根据已知条件结合线面垂直的性质定理推出平面，由此可求得点到平面的距离．
【详解】
（1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，
∵CN＝3NP，∴EN∥BC且EN＝BC，
又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M为AD的中点，
∴AM∥BC且AM＝BC，∴EN∥AM且EN＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，
又∵MN 平面PAB，AE 平面PAB，∴MN∥平面PAB．
（2）连接AC，在梯形ABCD中，
由BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60°，得AB＝2，∴AC＝，AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．
又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB．
又∵CN＝3NP，∴N点到平面PAB的距离．
【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页