湖南省衡阳市2021-2022学年度高一下学期入学考试数学试题（Word版，含解析）

湖南省衡阳市高一下学期入学考试数学试题
一、单选题
1．已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．关于函数，，下列四个结论中正确的个数为（ ）个
①在上单调递减，在上单调递增；
②有两个零点；
③存在唯一极小值点，且；
④有两个极值点.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　)
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
4．已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．37 B．35 C．26 D．29
6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线（为实数）是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6 B． C．7 D．8
9．等于（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，则=
A． B． C． D．
11．下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是
A． B．
C． D．
12．函数的部分图象如图所示，的值为
A．0 B． C． D．
二、填空题
13．在菱形中，，，，则___________.
14．函数的最小正周期为_____．
15．已知，若，则________.
16．已知，则的值为______.
三、解答题
17．已知集合集合集合
（1）求;
（2）若,求实数的取值范围
18．如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为2的等边三角形，点是线段的中点，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19．已知过点，且方向向量为的直线与圆相交于不同的两点、.
（1）若时，求线段的长；
（2）若，求的值.
20．如图，中，顶点，边所在直线的方程为，边的中点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）若，求边所在直线的方程.
21．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求证：当时，．
22．已知函数
（1）在下面的坐标系中，作出函数的图象并写出单调区间；
（2）若，求实数的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，得到其外接球就是它扩展为长方体的外接球，设出棱长，列出等式，求得结果.
【详解】
三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设，
则有，可求得，
求出长方体的对角线的长：
所以球的直径是，半径为，球的的体积：．
故选A．
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
【点睛】
（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
2．C
【解析】
【分析】
①反证，求导并发现相同区间的单调性不一致②转化并数形结合发现零点③用零点存在定理和函数的单调性可求证④转化成用导数证明恒成立问题，结合零点存在定理和函数的单调性求解.
【详解】
因为时，，，所以
所以在上单调递增，故①错误.
有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确.
，
∵，
∴，，
∴
∴存在，使得且
∴在上，，在上，，
在上，单调递减，在上，单调递增，
∴在上存在唯一极小值点.
∵，则
∴，故③正确.
令
则，
当时，，，，
当时，，.
∴在恒成立，
∴单调递增且，
，
∴存在唯一零点，使得
∴，，即，
，，即，
∴在处取得极小值
故有唯一极小值点，故④错误.
故选：C.
3．D
【解析】
【详解】
当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；
此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.
故答案选D．
点睛：解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子．
4．B
【解析】
【分析】
利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．
【详解】
向量，，
，
当时，取最大值2．
故选：B．
5．A
【解析】
令代入已知解析式，即可求出结果.
【详解】
因为，令，
则.
故选：A.
6．C
【解析】
直接利用函数的图象的平移变换求出结果.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位，
即.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的图象的平移变换问题的应用，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
通过判断函数的奇偶性，以及带特殊点，排除法可得结果.
【详解】
解：由得，
所以，
函数为奇函数，排除AB；
当时，，
故在上存在零点，D符合，
故选D.
【点睛】
本题是函数图像的识别题，利用函数性质和特殊点对应的函数值，通过排除法可快速得出结果，是基础题.
8．A
【解析】
【分析】
根据题意可求出圆心的坐标，半径为，结合条件可知直线经过圆心，可列式求出的值，从而得出点的坐标，再根据两点间的距离公式可求出，最后根据直线与圆相切得出，代数计算即可得出结果.
【详解】
解：根据题意，得出圆的标准方程为：，
可知圆心的坐标，半径为，
因为直线是圆的对称轴，
所以直线经过圆心，则，
解得：，，
则，
由于过点作圆的一条切线，切点为，
.
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式及两角和余弦公式可得结果.
【详解】
.
故选：C.
10．C
【解析】
【详解】
试题分析：由补集的概念，得，故选C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
11．D
【解析】
【详解】
分析：运用奇偶性的定义和周期公式，结合常见函数的奇偶性和周期性，即可得到既是偶函数又是定义域上的周期函数的图象.
详解：对于A，是偶函数，但不是周期函数，则A错误；
对于B，为周期为的函数，但不是偶函数，则B错误；
对于C，既不是偶函数也不是周期函数，则C错误；
对于D，，即为周期为的周期函数，且为偶函数，则D满足.
故选：D.
点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性的判断，考查运用定义和常见函数的奇偶性和单调性进行判断，考查运算能力，属于基础题.
12．A
【解析】
【详解】
试题分析：由函数的图象可得：，解得，可得函数的解析式为，所以
，观察规律可知函数的值以为周期，且，由于，
故可得，故选A.
考点：三角函数的周期性.
【方法点晴】本题主要考查了三角函数部分图象确定函数的解析式、数列的周期性、数列的求和扥知识点的综合应用，其中根据三角函数的图象，求出函数的解析式，进而分析出函数的性质和数列的周期性，进而求解数列的和是解答本题的关键，着重考查了学生分析和解答问题的能力及转化与化归思想的应用.
13．
【解析】
【分析】
利用向量加减法的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.
【详解】
由题意，.
故答案为：
14．
【解析】
【详解】
根据周期公式可得，函数的最小正周期为，故答案为.
15．-7
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数的特性，建立与的等量关系即可.
【详解】
因为
.
所以，.
故答案为:-7
16．-1
【解析】
【分析】
首先由，可得,然后再对分子分母同时除以，化简，代入数值，即可求出结果.
【详解】
因为，所以,
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的同角基本关系，属于基础题.
17．（1） ，（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）首先将集合B化简求得x的范围，将A,B两集合标注在数轴上，借助于数轴求解交集并集；
（2）首先由得到，其中集合C需要考虑是否为空集两种情况，当C不为空集时，找到C集合的边界值与集合A的边界的大小关系，从而求得实数的取值范围
试题解析：（1）
，
（2）
1．当，即时，
此时，满足题意；
2．当时，若，则或
解得
综上所述，m的取值范围是
考点：1．集合交集并集运算；2．集合的子集关系
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接，设，连接，证明即可；
（2）首先证明平面，然后利用计算出答案即可.
【详解】
（1）证明：连接，设，连接.
∵底面是正方形，∴为的中点.
又∵是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：在正方形中，，
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面.
∵是等边三角形，且是线段的中点，
∴，
∴.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)先得直线的方程,再计算圆心到直线的距离,利用垂径定理求解即可.
(2)联立直线与圆的方程,得出韦达定理再代入求解即可.
【详解】
(1)由题可知直线的方程：.故圆心到直线的距离.故线段的长.
即
(2)由题直线的方程：.设,
联立.
..
又.
即,解得满足.
故
【点睛】
本题主要考查了求直线与圆的相交弦的方法以及联立直线与圆的方程求解向量中的问题等.属于中等题型.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意可知，点在直线上，可设点，根据已知条件求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程；
（2）由题意可知点在线段的中垂线上，联立线段的中垂线与直线的方程，求出点的坐标，即可求得直线的方程.
【详解】
（1）因点在直线上，不妨设，
由题意得：，即，所以的坐标为，
边所在直线的方程为，即；
（2）因，所以点在线段的中垂线上，
直线的斜率为，线段的中点坐标为，
所以，线段的中垂线方程为，即，
联立，得，即的坐标为，
又点，边所在直线的方程为，即.
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的求解，关键就是求出相应的点的坐标，本题第（2）问要分析出点在线段的中垂线，进而联立两直线方程求出点的坐标，即可得解.
21．（1）；（2）具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）由即可得到答案；
（2）先解出的范围，进一步求出函数的值域，即可证得.
【详解】
（1）最小周期为；
（2）则，∴.
22．（1）详见解析；（2）-1，5.
【解析】
（1）根据分段函数，利用二次函数和一次函数的图象和性质作图；
（2）根据，分，讨论求解.
【详解】
（1）因为函数
所以其图象如图所示：
单调增区间是，单调减区间是 ；
（2）当时，则 ，解得 或（舍去），
当时，则 ，解得
综上：当时，实数的值是-1，5.
故答案为：-1，5
答案第1页，共2页
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