湖南省怀化市2021-2022学年度高一下学期入学考试数学试题（Word版，含解析）

湖南省怀化市高一下学期入学考试数学试题
一、单选题
1．已知，，则等于（ ）
A． B． C．（0，2） D．（1，2）
2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，则不等式f（log2x）＞0的解集为（ ）
A．（，4） B．（2，2） C．（，+∞） D．（4，+∞）
3．直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
4．（ ）．A． B． C． D．
5．已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值属于以下哪个范围(　　)
A．(5，6) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10)
6．将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则
A． B． C． D．
10．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．大于且终边与角重合的负角是________.
12．为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人．
13．已知，，则__________.
14．已知函数，则______.
15．（2016年苏州11）已知角的终边经过点，则______．
三、解答题
16．已知直线l1：x＋y＋2＝0，直线l2在y轴上的截距为－1，且l1⊥l2．
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的3倍，求l3的方程．
17．已知函数，.
（1）证明函数为奇函数；
（2）判断函数的单调性（无需证明），并求函数的值域；
（3）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
18．在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离.
19．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；
（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；
（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市同组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.
20．设函数的图象上相邻最高点与最低点的距离为.
(1)求的值；
(2)若函数是奇函数，求函数的单调递减区间.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
化简集合B，再进行并集运算.
【详解】
因为
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合间的并集运算以及求定义域，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
根据题意，由函数f（x）的奇偶性与f（2）＝0可得f（log2x）＞0 f（|log2x|）＞f（2），结合函数f（x）的单调性分析可原不等式等价于|log2x|＜2，解可得x的取值范围，即可得答案.
【详解】
根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝0，
则f（log2x）＞0 f（|log2x|）＞f（2），
又由f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（|log2x|）＞f（2） |log2x|＜2，
变形可得：﹣2＜log2x＜2，
解得：x＜2，不等式的解集为（，2）；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，利用函数的性质求解不等式，通常利用数形结合的方法求解，侧重考查数学抽象的核心素养.
3．C
【解析】
【详解】
圆C：x2＋y2－4x＝0,即.圆心为(2,0)，半径为2.
圆心到直线的距离为：.
所以直线与圆相交，故选C.
点睛：对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错．
4．A
【解析】
由即可求出.
【详解】
.
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
根复合函数的单调性，得到函数f(x)的单调性，求解函数的最小值f(x)min＝8，构造新函数g(a)＝a＋log2a－8，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，根复合函数的单调性，可得函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上递减，
所以函数f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
所以实数a所在的区间为(5，6)．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，以及零点的存在定理的应用，其中解答中根据复合函数的单调性，求得函数的最小值，构造新函数，利用零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
6．A
【解析】
【分析】
根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．
【详解】
∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，
∴平移后函数的解析式是 ，
∵所得图象关于直线 对称，
∴由正弦函数的图象和性质可得：
解得：
∴当 时，的最小值是．
故选A．
【点睛】
本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．
7．A
【解析】
【分析】
根据正弦的和角公式展开，再运用辅助角公式得，再由根据诱导公式可得出所求的值.
【详解】
由，得
，所以，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦函数的和角公式，辅助角公式和三角函数的诱导公式，在解决给值求值的问题时，关键需找出待求的角与已知角的特殊关系，属于基础题.
8．B
【解析】
根据直线方程求出直线的斜率，再由的范围即可求解.
【详解】
直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤≤，
因此k＝2cos α∈．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈．
又θ∈[0，π)，且正切函数在上单调递增，在上为单调递增函数，
结合正切函数的图像可知
所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.
故选：B
【点睛】
本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
9．B
【解析】
求解出集合，根据交集定义得到结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
10．B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程，得到，，设，根据为钝角，推出，再由集合椭圆的方程，即可求出结果.
【详解】
因为，为椭圆的两焦点，则，，
设，则，，
因为为钝角，
所以，
又∵，∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查求椭圆上点的横坐标的范围，涉及向量数量积的坐标表示，属于常考题型.
11．
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的概念进行判断.
【详解】
大于且终边与角重合的负角是.
故答案为：
【点睛】
本题考查终边相同的角，属于基础题.
12．3000
【解析】
先求出高三年级抽取的人数为60人，由分层抽样的性质可得答案.
【详解】
由已知高三年级抽取的学生人数为：人.
设该校高中的学生总数为，则，解得
所以该高中共有学生3000
故答案为：3000
13．
【解析】
【分析】
根据已知条件和正弦的二倍角公式，求得，再利用诱导公式、同角三角函数的平方关系和象限角的符号，即可求得的值.
【详解】
∵,即,
∴，
∵，∴.
∴.
故答案为.
【点睛】
本题考查正弦函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题.
14．.
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以.
故答案为：
15．
【解析】
【详解】
由题意可得：，且：.
16．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由直线的垂直关系可设设的方程为，根据纵截距求得的值，得到直线的方程，然后解方程组求得交点坐标；
（2）要考虑到直线l3经过经过原点和不经过原点的两种情况，结合直线方程的截距式求解即可.
(1)
解：设的方程为，
因为在y轴上的截距为，
所以，解得，
所以．
由，得，
所以直线与的交点坐标为．
(2)
解：①当过原点时，的方程为．
②当不过原点时，设的方程为．
又直线经过与的交点，
所以,解得，
则的方程为．
综上，的方程为或．
17．(1)证明见解析；(2) 在上单调递增，值域为 (3)
【解析】
【分析】
（1）证明函数为奇函数，首先判断定义域是否关于原点对称．奇函数还要满足.
（2）可通过改变函数单调性两个因素：取倒数和负号．较易判断单调性．单调性知道后值域就在端点出取得.
（3）首先令进行换元，注意换元后的定义域，将带有根式的函数换元成二次函数进行求解即可.
【详解】
（1）,
的定义域为
又
奇函数.
（2）判断：在上单调递增
在上单调递增
，的值域为
（3）
令
则，
①时，在单调递增，
时，（符合题意）
②时，开口向下，对称轴，
当，即时，时，
；
当，即时，时，（符合题意）
③时，开口向上，对称轴，
当时，（符合题意）
综上：.
【点睛】
此题考查奇偶性的判断，根据改变函数单调性的两个因素判断函数单调性，单调函数值域求法，带根号函数换元处理成二次函数求解，属于一般性题目．
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
设长方体高为，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体体积，由此建立方程求得；
（1）根据直线与平面所成角定义可知即为所求角，由可得结果；
（2）设所求距离为，由等体积法可知，由此构造关于的方程，解方程求得结果.
【详解】
设长方体的高
则几何体体积：，解得：
（1）平面 直线与平面所成角即为
所求线面夹角为：
（2）设点到平面的距离为
则由得：
为等腰三角形，，
高为
又 ，解得：
即点到面的距离为
【点睛】
本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.
19．（1）0.32 ；（2）众数是170，中位数是168.25 ；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；
（2）利用频率分布直方图能求出众数和中位数；
（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．
【详解】
（1）被采访人拾好在第2组或第6组的概率.
（2）众数：；
设中位数为，则
∴中位数.
（3）共人，其中男生3人，设为，，，女生三人，设为，，，则任选2人，
可能为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中两个全是男生的有，，，共3种情况，
设事件：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率.
【点睛】
本题考查概率、众数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
20．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，可求得该函数的最小正周期以及最大值、最小值，由已知条件可得出关于的等式，即可求得正数的值；
（2）求出函数的表达式，利用该函数为奇函数可求得的值，然后利用余弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间.
(1)
解：
，
所以，函数的最小正周期为，
，，且函数的图象上相邻最高点与最低点的距离为，
则，所以，，解得，故.
(2)
解：为奇函数，
则，可得，，则，
所以，，
由，解得，
因此，函数的单调递减区间为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页