湖南省长沙市宁乡市2021-2022学年度高一下学期2月入学考试数学试题（Word版，含解析）

湖南省长沙市宁乡市高一下学期2月入学考试数学试题
一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，若，且，则当最大时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．16
2．已知非零向量，满足，且，则 与的夹角为
A． B． C． D．
3．已知函数，则下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
4．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为，最小值为 B．
C．方程有无数个根 D．函数在定义域上是单调递增函数
5．已知函数，那么f(x)的表达式是
A． B． C． D．
6．已知函数若方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某上市股票在30天内每股的交易价格（元）与时间（天）组成有序数对，点落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量（万股）与时间（天）的部分数据如下表所示，且与满足一次函数关系，
第天 4 10 16 22
（万股） 36 30 24 18
那么在这30天中第几天日交易额最大A．10 B．15 C．20 D．25
8．已知函数，若，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点（2，4） B．的图象关于原点对称
C．在上单调递减 D．在内的值域为
10．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线与函数的图像有1个交点
D．函数的值域为
11．设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的值可以是（ ）
A．-1 B． C． D．
12．已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称
B．当时，函数的最小值为
C．若，，则的值为
D．要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位
三、填空题
13．若等比数列的各项均为正数，且，则______.
14．已知A，B，C三点共线，且，则__________．
15．函数的单调减区间是_____．
16．【江苏省溧中、扬中、镇江一中、江都中学、句容中学下学期期初五校联考】已知，，，则这三个数从大到小的顺序是______．
四、解答题
17．若函数的最大值是1 最小值是，求函数的最小值.
18．已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.
（1）数列是等差数列，求的值；
（2）令，若，求数列的通项公式；
（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.
19．已知向量=（，1），=（1，），，．
（1）求；
（2）若，求k的值；
（3）当k=1时，求与夹角的余弦值．
20．1.已知二次函数满足，且的最大值为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，求在区间上的最大值．
21．已知集合，
（1）当时，求集合；
（2）若,求实数a的取值范围.
22．定义域为的单调函数满足，对任意的有，且当时，有，．
（1）求；
（2）证明：在上是减函数；
（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，可知，，进而求出最大值，即可求出结果．
【详解】
因为在等差数列中 ，
所以，，
所以， 所以，；
所以在等差数列中，
当且时，；当且时，．
所以最大值为，此时的值为.
故选：A．
【点睛】
本题考查等差数列的前项和的应用和等差数列的性质，得出等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数是解决问题的关键，属基础题．
2．B
【解析】
【详解】
分析：设与的夹角为，根据向量的数量积的运算，即可求出结果.
详解：设 与的夹角为，因为，，所以，即，即，因为，所以，故选B.
点睛：结果该题的关键是应用向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解.
3．C
【解析】
【详解】
绘制函数的图像如图中实线图像所示，观察可得，函数图像关于y轴对称，即函数是偶函数，考查所给的函数性质：
，函数是偶函数；
，函数是偶函数；
，函数是奇函数；
，函数是偶函数；
本题选择C选项.
4．C
【解析】
【分析】
根据新定义函数的概念，做出函数图象，逐项判断即可.
【详解】
作出函数的图象，
对于A项，由图可知：函数无最大值，最小值为，故A错误，
对于B项，，，所以，故B不正确，
对于C项，方程的解为，故C正确，
对于D项，在每一个区间上，函数都是增函数，
但是在定义域上不是单调递增，故D错误．
故选：C.
5．C
【解析】
令x+1＝t，则x＝t﹣1，然后代入可得f（t）＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）+3＝t2﹣3t+5，即可求解．
【详解】
解：∵f（x+1）＝x2﹣x+3，
令x+1＝t，则x＝t﹣1，
∴f（t）＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）+3＝t2﹣2t+1﹣t+1+3＝t2﹣3t+5，
则f（x）＝x2﹣3x+5．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了利用换元法求解函数解析式，属于基础试题．
6．B
【解析】
首先当时，令，可求得方程有两个根，只需当时，有一个实根，即，使即可求解.
【详解】
当时，令，解得，
故在时有两个不同的实根．
又方程有三个不同的实根，
故当时，有一个实根．
由，得，所以．
故选：B
【点睛】
本题考查了根据方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
由图象知函数为分段函数，根据待定系数法分别求出函数在上的解析式，再根据表格求出一次函数的解析式，从而写出交易额函数的解析式，在各段上根据二次函数求最值即可.
【详解】
当时，设，根据图象知过点，所以
解得，所以
同理可得当，
综上可得，
由题意可设，把代入可得，
所以
当时，时，万元，
当时，时，万元
综上可得，第15日的交易额最大为125万元，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，分段函数，待定系数法，二次函数求最值，学生根据实际问题选择函数类型的能力，属于中档题.
8．A
【解析】
【分析】
由在上的对称性及在上的单调性，可以分析出的值，范围.
【详解】
当时，的图象关于直线对称，
时，；时，，
当时是单调递增函数，
所以，
若，则，所以；
若，则，，得，由得，又，所以，即，综上，的取值范围是．
故选: A.
【点睛】
关键点睛：本题解题的关键是找出函数特定区间上的对称性，进而找出变量间的关系.
9．BCD
【解析】
【分析】
由题意得，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解
【详解】
将点代入，可得，则，
f（x）的图象不经过点（2，4），A错误；
根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D正确.
故选：BCD
10．ACD
【解析】
【分析】
根据已知条件中函数是偶函数且时，有以及时，，画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【详解】
根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示，
根据图象可知选项A中，正确；
对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确；
对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确；
对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确.
故选：ACD.
11．ABC
【解析】
【分析】
先判断出函数在上的单调性，再根据偶函数的性质可知，，然后由单调性可得对任意的恒成立，化简构造函数，再由即可解出的取值范围，从而得解．
【详解】
因为函数，当时，单调递减，当时，单调递减，又，所以在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，，
因为不等式对任意的恒成立，而，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
令，
所以，
解得，所以可以为-1，，.
故选：ABC.
12．BD
【解析】
根据函数的最大值为，再根据函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，求得，然后的图像关于点对称，求得函数的解析式，再对各项验证.
【详解】
因为函数的最大值为，
所以.
因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以，
，
又因为的图像关于点对称，
所以，
所以，
即
因为，
所以.
即
对选项A：，故错误.
对选项B，，
当取得最小值，故正确.
对选项C，，
得到.
因为，故错误.
对选项D，的图像向右平移个单位得到
，故正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．10
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质将等式转化为：，然后根据等比数列下标和的性质可计算出的值，即可计算的值.
【详解】
因为且，
所以.
故答案为.
【点睛】
本题考查等比数列下标和性质的应用，难度一般.
（1）在等比数列，若，则；
（2）对数的运算法则：.且
14．1
【解析】
【分析】
根据A，B，C三点共线，得到，再根据求解.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
所以，即，
又因为，
所以，
则1，
故答案为：1
15．
【解析】
【分析】
根据同增异减原理，由外函数为减函数，只要求得内函数的递增区间且满足定义域即可得解.
【详解】
函数的单调减区间，
即，
在的条件下，函数的增区间．
利用二次函数的性质可得，在的条件下，
函数的增区间为，
故答案为：．
16．
【解析】
【详解】
，则这三个数从大到小的顺序是，故答案为．
【 方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题．解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用．
17．或1
【解析】
【分析】
讨论a的正负，确定函数最值，求出a，b值，再求最值即可
【详解】
当a＜0由题意可得，∴，此时，则其最小值为1；
当a>0由题意可得，∴，此时，则其最小值为-5；
综上函数的最小值为或1
18．（1）1（2）（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意知，，得，再由等差数列，即可求解值；
（2）由，可得，因此，由此可知，数列是一个公比为的等比数列.
（3）先进行充分性证明：若则数列是等比数列；再进行必要性证明：若数列是等比数列，则.
【详解】
（1）由已知，，
得，
由数列是等差数列，得，
所以，，，
得.
（2）由，可得，
且当时，
，
所以，当时，，
因此，数列是一个公比为的等比数列.
故通项公式为
（3）是等比数列的充要条件是，
充分性证明:若，则由已知，
得，所以，是等比数列.
必要性证明:若是等比数列，由（2）知，，
，
.
当时，.上式对也成立，
所以，数列的通项公式为:.
所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以，.
当时，. 上式对也成立，
所以，.
所以，.
即，等式对于任意实数均成立.
所以.
【点睛】
本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.
19．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标表示方法即可计算得解；
（2）根据向量平行关系即可得出参数取值；
（3）根据向量夹角公式求解.
【详解】
（1）；
（2）由题因为=（，1），=（1，）不平行；
，，，，
所以；
（3）当k=1时，，
，
所以与夹角的余弦值为.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设出二次函数解析式，代入点的坐标和顶点纵坐标，求出解析式；（2）二次函数的对称轴中含有参数，对对称轴进行分类讨论，得到不同取值范围下的最大值.
(1)
设二次函数，因为，且的最大值为，所以 ，解得： ，故二次函数
(2)
，对称轴为，当，即时，在上单调递减，故
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，故
当，即时，在上单调递增，故
综上：
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合，当时，求出集合，利用集合交集的定义，即可求解；
（2）根据，可得，利用集合的关系列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，，解得，即集合，
当时，集合，
所以；
（2）由题意，不等式，
因为，解得，即集合，
又因为，可得，
可得，解得，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了集合的包含关系的应用，以及集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）取，，再结合当时，有，即可得解；
（2）结合是定义在上的单调函数，且，得证；
（3）令，可求得，进一步可将原问题转化为当时，不等式恒成立，再参变分离，利用基本不等式求得新函数的最小值，得解．
【详解】
（1）解：取，，则，
∵当时，有，∴，
∴．
（2）证明：∵是定义在上的单调函数，且，
∴在上是减函数．
（3）解：令，则，
∴，
∵当时，有，∴，
∴不等式等价于，即，
又在上单调递减，
∴，即，
∴原问题转化为当时，不等式恒成立，
即，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值为，
∴，
故实数的取值范围为．
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