江西省上饶市高一下学期入学考试数学试题(Word含答案解析）

江西省上饶市高一下学期入学考试数学试题
一、单选题
1．已知数列对于任意，，有，且，则（ ）
A．21 B． C．34 D．
2．已知等差数列的公差,且成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．与终边相同的角的集合是
A． B．
C． D．
4．若实数、满足，且的最大值等于，则正实数的值等于
A． B． C． D．
5．数列是等差数列，且，，那么（ ）
A． B． C．5 D．
6．数列{an}满足a1＝2，a2＝1并且(n≥2)，则数列{an}的第100项为(　　)
A． B． C． D．
7．如果，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为，则　　
A． B． C． D．1
9．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．若角的终边上有一点，则
A．3 B． C．1 D．
11．在数列中，若，，，设数列满足，则的前7项和为（ ）.
A．127 B．126 C．255 D．254
12．下列各个角中与终边相同的是
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，则的最大值是_______．
14．方程的解是________.
15．在平面直角坐标系中，已知，将绕原点逆时针旋转到，则点的横坐标为______.
16．已知数列满足，且，则______．
三、解答题
17．已知是递增的等差数列，且是方程的两根.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：.
18．分别求满足下列条件的x的值.
(1);
(2);
(3);
(4).
19．某工厂要制造A种电子装置41台，B种电子装置66台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A、B的外壳分别为2个和7个，乙种薄钢板每张面积5㎡，可做A、B的外壳分别为7个和9个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？
20．在中，内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）请从问题①②中任选一个作答（若①②都做，则按①的作答计分）：①若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.②若的面积，求的最小值.
21．对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．
（Ⅰ）写出数列的“收缩数列”；
（Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列．
22．已知数列的首项，前n项和为，且满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
先判断出数列构成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列对于任意，有，且，
令，可得，解得，
令，可得，即，
所以数列构成首项为，公差为的等差数列，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，其中解答中利用等差数列的定义得出数列构成首项为，公差为的等差数列是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
2．C
【解析】
【分析】
因为是等比数列,所以有,利用基本量法求得首项和公差之间的关系,再写出通项公式代入即可求值．
【详解】
等差数列中,因为成等比数列,
所以有,即,解得,
所以该等差数列的通项为
则．
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、等比中项的用法,属基础题型．
3．D
【解析】
【分析】
根据终边相同的角定义的写法，直接写出与角α终边相同的角，得到结果．
【详解】
根据角的终边相同的定义的写法，若α＝，则与角α终边相同的角可以表示为k 360°（k∈Z），即（k∈Z）
故选D．
【点睛】
本题考查与角α的终边相同的角的集合的表示方法，属于基础题.
4．B
【解析】
【详解】
试题分析：做出可行域，如图所示. 表示点与距离的平方.由图知，可行域中的点离最远，故的最大值为选
考点：1.简单线性规划的应用；2.两点间距离公式.
5．B
【解析】
【分析】
令、 可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出.
【详解】
令得，
令得，
所以数列的公差为，
所以，解得，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求等差数列的通项，以及利用通项求等差数列中的项，属于基础题.
6．B
【解析】
【详解】
∵n≥2)，∴＋＝，∴为等差数列，首项为＝，第二项为＝1，∴d＝，∴＝＋99d＝50，∴a100＝.
故答案为B.
7．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，分别将各个选项分析求解即可．
【详解】
A项，当时，，则，故A项不一定成立；
因为，两式相加得，故B项一定成立；
当时，，则，故C项不一定成立；
D 项，当时，，则，故D项不一定成立；
故选B
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，此题比较简单，需掌握不等式的性质，注意排除法在解选择题中的应用．
8．C
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的定义可得，，据此求解的值即可.
【详解】
已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为，
则，，，
故选C．
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
9．D
【解析】
【分析】
画出，满足约束条件可行域，再根据几何意义求解即可.
【详解】
解：画出，满足约束条件可行域如图，
将变形为，平移直线，
所以直线在轴上的截距最小点为，联立方程，解得，
所以目标函数在此取得最大值，最大值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查线性规划求最值问题，考查数形结合思想，是基础题.
10．D
【解析】
【分析】
利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.
【详解】
因为，所以.
故选D
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.
11．D
【解析】
【分析】
由递推式得是等差数列，由等差数列通项公式求出后可得，再由性质求其和．
【详解】
∵，∴是等差数列，，，得公差为，
∴，由得，
∴．
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列的判定，考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前项和公式．解题关键是由等差数列的判定．
12．D
【解析】
【详解】
分析：把2018°化为形式．
详解：∵2018°＝5×360°＋218°，∴2018°与218°终边相同．
故选D．
点睛：与终边相同的角为，或，．
13．
【解析】
【分析】
令，，化简原式，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：令，，则，．
因为，，所以，，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是.
故答案为：.
14．，
【解析】
根据方程得到，先得到在上的解，再根据余弦函数的周期性，得到答案.
【详解】
，，
当时，则，
余弦函数的周期为
，.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查根据三角函数的值求角，特殊角的三角函数值，属于简单题.
15．.
【解析】
【分析】
作出图形，求出，以及，，利用两角和与差的三角函数求出点的横坐标，即可得解.
【详解】
如图，过点作轴于点，作轴于点，作轴于点，作轴于点，由，则，，，
将绕原点逆时针旋转到，
所以，点的横坐标为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.
16．47
【解析】
【详解】
∵，
∴数列是公比的等比数列，
∴，
∴．
故答案为：47
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据条件求出，然后可算出答案；
（2），然后求出，即可证明.
【详解】
（1）因为方程两根为或7，
又 是方程的两根，数列是递增的等差数列，
，，设公差为，则，解得，.
（2）由（1）知，，
∴
18．（1）（2）或.（3）（4）
【解析】
根据特殊角的三角函数值与三角函数的性质计算可得.
【详解】
解：(1)在,只有.
(2)在上,,
或.
(3).
又.
(4).
【点睛】
本题考查三角函数的基本性质，根据特殊角的三角函数值来确定所求函数的值，属于基础题.
19．甲种钢板用3张，乙种钢板用5张，能够使总的用料面积最小.
【解析】
【分析】
设甲乙两种薄钢板各用x，y张，用料总面积为z，则目标函数为z＝2x+5y，根据题设，确定约束条件，作出可行域，即可求得目标函数的最值．
【详解】
设甲乙两种薄钢板各用张，用料总面积为，则目标函数为，
约束条件为 ：，作出约束条件的可行域如图所示：
作直线：，平移，观察知，当经过点时，取到最小值，
解方程组，得点坐标为，
所以㎡
答：甲种钢板用3张，乙种钢板用5张，能够使总的用料面积最小.
【点睛】
本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定约束条件，作出可行域，属于中档题．
20．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式化简计算可得；
（2）若选①由面积公式可得，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出周长的取值范围；
若选②由面积公式可得，再利用余弦定理及基本不等式求出的最小值；
【详解】
解：（1）
又
又
（2）选择①
由题意知，
又，
，
又
周长的取值范围是
（2）选择②
即
当且仅当时，取得最小值为
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ），．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据定义求出；
（Ⅱ）首先证明满足，然后根据定义求的“收缩数列”即可证；
（Ⅲ）由已知等式，得，时得，时，，否定和后证得，因此猜想，．然后进行证明，用反证法：假设是首次不符合的项，则，分三种情况否定：，，．
【详解】
解：（Ⅰ）由可得为递增数列，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，
，
所以，
所以．
又因为，所以，
所以的“收缩数列”仍是．
（Ⅲ）由可得
当时，；
当时，，即，所以；
当时，，即（*），
若，则，所以由（*）可得，与矛盾；
若，则，所以由（*）可得，
所以与同号，这与矛盾；
若，则，由（*）可得.
猜想：满足的数列是：
．．
经验证，左式，
右式.
下面证明其它数列都不满足题设条件.
由上述时的情况可知，时，是成立的.
假设是首次不符合的项，则，
由题设条件可得（*），
若，则由（*）式化简可得与矛盾；
若，则，所以由（*）可得
所以与同号，这与矛盾；
所以，则，所以由（*）化简可得.
这与假设矛盾.
所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，．
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，并能应用新定义求解．难点是第（Ⅲ）小题，求满足条件的数列，采取从特殊到一般，归纳与猜想、证明的思路求解．
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，由，得，两式相减化简可得，再对等式两边同时减去1，化简可证得结论，
（2）由（1）得，然后利用分组求和可求出
(1)
由已知得，.
当时，.
两式相减得，.
于是，即，
又，，，所以满足上式，
所以对都成立，故数列是等比数列.
(2)
由（1）得，，
.
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