山西省晋城市2021-2022学年度重点学校联考高一下学期开学考试数学试题（Word版，含解析）

山西省晋城市重点学校联考高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为
A．10 B．8 C．16 D．20
2．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知α为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
4．已知若恰有两个不等实根，则的取值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知幂函数在上为增函数，则m值为（ ）
A．4 B．-3 C．-1 D．-1或4
6．在下列四个命题中，
①若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件；
②若，则；
③“”是“”的必要不充分条件；
④的最小值为2
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数在上是增函数，且在上恰有一个极大值点与一个极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知命题，命题.若是的充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，则集合与的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数（ ）
A．为的周期
B．对于任意，函数都满足
C．函数在上单调递减
D．的最小值为
12．设表示不超过x的最大整数，如：.给出以下命题正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则可由解得x的范围为
D．函数，则函数的值域为
三、填空题
13．函数的单调递减区间为__________.
14．方程，（）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数的值是________
15．对于函数（其中）：①若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则；②若函数在上单调递增，则的范围为；③若，则在点处的切线方程为 ；④若，，则的最小值为；⑤若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象.其中正确命题的序号有_______.（把你认为正确的序号都填上）
16．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”为真，则参数的取值范围是_______．
四、解答题
17．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R．
（1）当a＝2时，求A∪B和( RA)∩B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的两个角，的终边分别与单位圆O交于点M，N，已知M，N关于原点对称
（1）若点M的坐标为，求，的值；
（2）当时，求的最大值.
19．求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
20．已知函数对任意，恒有．
(1)证明是奇函数；
(2)若时，，判断的单调性，并给出证明；
(3)在（2）的条件下，不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.
（1）求解析式及的值；
（2）求的单调增区间；
（3）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
22．已知函数
（1）若当时，求的最小值及相应的x值；
（2）设函数，且当时，f(x)>g(x)恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解．
【详解】
因为函数为定义域为的奇函数，
所以 ，
又因为，
所以，可得，
即函数是周期为4的周期函数，且 图像关于直线对称．
故在区间上的零点，即方程 的根，
分别画出与的函数图像，
因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，
由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为，
则，
所以所有零点和为8,故选B．
【点睛】
本题考查方程解的个数（或函数零点个数）问题，利用函数的奇偶性对称性解决这一类问题．
2．A
【解析】
【分析】
推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，则，
故，
，
又因为，都有，所以，，
所以，，
，，
因为当时，，，
当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，
因为，则，故.
故选：A.
3．D
【解析】
【分析】
用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．
【详解】
由已知为第三象限角，则
则
当时
，此时在第二象限.
当时,
，此时在第四象限.
故选： D
4．A
【解析】
【分析】
先由绝对值定义化简，原方程可转化为，再令， 化简函数后利用数形结合思想求解．
【详解】
由题意得，即．令，注意，由得（舍去），由得（舍去），
所以，令，
恰有两个不等实根，等价于函数与的图象有两个不同的交点．作出函数和的图象如图，由图可知或，解得或，
故选：A．
【点睛】
本题考查方程的根与函数的零点．利用化简等式是解题的关键．化简方程后注意问题的转化，转化为函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解．
5．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义及区间单调性有，求解即可.
【详解】
由题设，知：，解得.
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
对于①，由充分条件和必要条件的定义判断即可；对于②，举反例判断即可；对于③，由充分条件和必要条件的定义判断即可；对于④，利用基本不等式判断即可
【详解】
解：对于①，由于p是q的充分不必要条件，所以q是p的必要不充分条件，所以A正确；
对于②，若，则，此时，所以②错误；
对于③，由，得或，则或是的既不充分也不必条条件，即“”是“”的既不充分也不必要条件，所以③错误；
对于④，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，所以④正确，
所以正确的命题有2个，
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的单调性可知，进而求出的范围，然后结合正弦型函数的极值点进一步确定出的范围.
【详解】
由题意，，所以，又因为，所以；又在处取得极大值，在处取得极小值，可得，所以，则.
故选：C.
8．A
【解析】
【分析】
求出命题为真时的范围，问题转化为不等式在此范围内恒成立，结合二次函数性质可得结论．
【详解】
命题为真，则，所以，
因为是的充分条件，所以时，恒成立，
注意到，所以，解得．
故选：A．
9．C
【解析】
【分析】
先根据函数定义域求集合M，再根据定义求集合Q，最后根据集合交集与并集定义确定选项.
【详解】
由；
因为，所以;
,选C.
【点睛】
集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
10．A
【解析】
【分析】
由两角和差正弦公式可化简已知等式，由此得到关于的方程组，根据同角三角函数平方关系和商数关系可求得结果.
【详解】
，
，，
又，，又，，.
故选：A.
11．ABC
【解析】
【分析】
A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.
【详解】
A.，即，所以为的周期，故A正确；
B.，，所以，故B正确；
C.当时，，此时，而 ，故C正确；
D.由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，设，
当时，，，
，即，
当时，，，
，即，所以时，的最小值为-1，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】
本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.
12．ABD
【解析】
【分析】
根据表示不超过x的最大整数，结合对于的运算、三角函数的性质以及指数函数的性质逐一判断即可.
【详解】
∵表示不超过x的最大整数，∴对任意的实数，有，∴A正确；
∵，∴，
，
，
∴
，∴B正确；
当时，，
∴x的取值范围不是，∴C错误；
函数，
同理，，
当时，，∴，
∴，
同理当时，，∴，
∴，
当时，，∴，
∴，
综上，，∴D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后利用复合函数同增异减法求出该函数的单调递减区间.
【详解】
由题意得，即，解得.
内层函数的单调递增区间为，单调递减区间为，而外层函数为减函数，
因此，函数的单调递减区间为.
故答案为.
【点睛】
本题考查复合型对数函数单调区间的求解，首先应求出函数的定义域，然后分析出内层函数和外层函数的单调性，最后利用复合函数同增异减法得出函数的单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．1008或1009
【解析】
【分析】
根据图象可得图象关于点（1,0）对称，且两函数交点成对出现，每一对关于点（1,0）对称，结合题意，可得或，即可求得答案.
【详解】
设，作出两函数图象，如图所示
两函数图象关于点（1,0）对称，定义域也关于点（1,0）对称，
所以求方程的根，即求两函数图象的交点，且交点成对出现，关于点（1,0）对称，
因为所有根的和等于2024，
所以两函数图象共有1012对关于点（1,0）对称的交点，
所以或，
解得或.
故答案为：1008或1009
【点睛】
解题的关键是分析得图象关于点（1,0）对称，根据函数的对称性，结合题意，进行求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
15．①④
【解析】
【分析】
①根据条件,可得,然后利用周期公式求出;②根据在上单调递增,可得,然后求出的范围;③当时,求出f(0)和f(x)的导函数,然后求出处的切线方程的斜率,再求出切线方程即可;④根据,直接利用整体法求出f(x)的值域,从而得到f(x)的最小值;⑤直接求出函数的图象向右平移个单位的解析式即可.
【详解】
解:①若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为,则
,所以,所以,故①正确;
②当,则,
因为,所以若函数在上单调递增,则,
所以,又,所以,故②错误;
③当时,,则,
,所以切线的斜率,
所以在点处的切线方程为,故③错误;
④当时,,当时,,
所以当,所以,故④正确;
⑤当时,,若的图象向右平移个单位,
则,故⑤错误.
故答案为:①④.
【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.
16．
【解析】
【分析】
先研究 p为真时参数的取值范围，再根据补集得 p为假时参数的取值范围，即为结果.
【详解】
由已知得 p： x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则所以
解得a≤－3，
因为 p为假，所以a＞－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞)．
【点睛】
求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果
17．（1）A∪B＝{x|－2≤x≤7}；( RA)∩B＝{x|－2≤x<1}；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由a＝2，得到A＝{x|1≤x≤7}，然后利用集合的基本运算求解.
（2）由A∩B＝A，得到A B．然后分A＝ ，A≠ 两种情况讨论求解.
【详解】
（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，
则A∪B＝{x|－2≤x≤7}， RA＝{x|x<1或x>7}，( RA)∩B＝{x|－2≤x<1}．
（2）∵A∩B＝A，
∴A B．
若A＝ ，则a－1>2a＋3，解得a<－4；
若A≠ ，由A B，得，
解得－1≤a≤
综上，a的取值范围是或 ．
【点睛】
本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．（1），；（2）2
【解析】
（1）由三角函数的定义，求出，又由M，N关于原点对称，可得，再又诱导公式求出；
（2）由，根据诱导公式和辅助角公式化简，结合角度的范围，求得答案.
【详解】
（1）由点M ，则，又M，N关于原点对称，则，
，故，.
（2）由，
故，
由，则，则，
故当，即时，的最大值为.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，诱导公式和辅助角公式，三角函数的最值，属于中档题.
19．（1），；（2），.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解；
（2）利用换元法求解.
【详解】
（1）因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以；
（2）由函数，
令，则，
所以，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)为单调递减函数，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）赋值法求，令代入计算可求出，从而得证；（2）任取，利用，可证明，从而得出单调性；（3）结合奇函数和单调递减的性质，可得到恒成立，即恒成立，利用二次函数恒成立列出不等式求解的范围.
(1)
解：令，则有，所以.
令，代入可得：，所以有，所以是奇函数；
(2)
证明：任取，则有，即，所以对任意，都有，所以为单调递减函数.
(3)
解：因为为奇函数，所以，等价于，又为单调递减函数，所以有恒成立，即恒成立，所以，解得：.
21．（1），；（2）[kπ，kπ]（k∈Z）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由图象得出A、T的值，求出ω、φ的值，即得f（x）与x0的值；（2）利用正弦函数的单调性可求得f（x）的单调增区间；（3）根据自变量的范围，确定函数的零点，即求g（x）＝0的根，进一步求出实数m的取值范围．
【详解】
（1）由题意知，A＝2，，∴T＝π，
∴ω；
又∵图象过点，
∴2sinφ＝，∴sinφ；
又∵|φ|，∴φ；
∴f（x）＝2sin（x）；
又∵（x0，2）是f（x）在y轴右侧的第1个最高点，
∴2x0，解得x0；
（2）由2kπ2x2kπ（k∈Z）得：kπx≤kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（3）∵在x∈时，函数有两个零点
∴＝0有两个实数根，即函数图象有两个交点．
∴sin（2x）在上有两个根
∵x∈
∴2x∈[，]
∴结合函数图象，函数有两个零点的范围是.
∴m∈.．
【点睛】
本题重点考查知识点：三角函数的解析式的求法，函数的单调性，以及在某一定义域下利用函数的零点求参数的取值范围问题，属于中档题．
22．（1）函数取最小值，对应的
（2）
【解析】
（1）由配方法求函数的最值即可得解；
（2）令，，则，则当时，f(x)>g(x)恒成立等价于当时，恒成立，然后设，，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】
解：（1）由函数，
则，
又，
则当即时，函数取最小值；
（2）由当时，f(x)>g(x)恒成立，
即当时，恒成立，
设，，
则，
即当时，恒成立，
设，，
由已知有，即，即，
故实数m的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数的最值问题，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页