山西省运城市临猗县2021-2022学年度高一下学期开学复课摸底数学试题（Word版，含解析）

山西省运城市临猗县高一下学期开学复课摸底数学试题
一、单选题
1．给出以下命题：
①若均为第一象限角，且，且；
②若函数的最小正周期是，则；
③函数是奇函数；
④函数的周期是；
⑤函数的值域是[0，2]
其中正确命题的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．函数的图象可由函数的图象（ ）而得到.
A．先把横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位长度，再把横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
3．已知扇形面积为，当扇形的周长取得最小值时，扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，则其最大角和最小角的和为（ ）
A． B． C． D．
5．若向量与向量是共线向量,且，则（　　）
A． B．
C．或 D．或
6．已知数列中，，则可归纳猜想的通项公式为
A． B． C． D．
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为（ ）
A． B．－ C．3 D．－3
8．已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．函数 的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
11．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元
12．等差数列中,前项和为,公差,且,若,则
A． B． C．的值不确定 D．
二、填空题
13．已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则_______________.
14．已知函数f(x)，任意x1，x2∈ (x1≠x2)，给出下列结论：
①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；
④>0；⑤.
当时，正确结论的序号为________．
15．已知为第二象限角，且，则______．
16．设函数，则函数的值域是____________．
三、解答题
17．已知关于的方程的两根为和，．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
18．已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，且.
（1）求数列，的通项公式.
（2）设，数列的前n项和为，求.
（3）设，求数列的前n项和.
19．已知函数.
（I）若角的终边与单位圆交于点，求的值.
（II）若，求最小正周期和值域.
20．已知两个单位向量的夹角为60°.
（1）若，且，求的值；
（2）求向量在方向上的投影.
21．在中，设角A B C所对的边分别为a b c，已知，并且，三角形的面积求三边a，b，c.
22．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用三角函数周期公式，奇偶性以及图像即可得出结果.
【详解】
解: ①若均为第一象限角，且，如，，但是 ，因此不正确.
②若函数 的最小正周期是，则，解得因此不正确.
③由函数，可知，而由，得到可知此函数的定义域关于原点不对称,因此不是奇函数,故不正确;
④若函数的周期是，由周期定义知 ，故函数的周期不是，故不正确.
⑤= ,当时，，可知函数的值域为故不正确;
综上可知:①②③④⑤都不正确.
故选D．
【点睛】
本题主要掌握三角函数的图像及性质，会判断函数的周期性，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
先相位变换，再周期变换．
【详解】
函数的图象向左平移个单位，得的图象，然后所得图象上所有点的的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得函数的图象．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，属于基础题．要注意的是如果先周期变换，再相位变换时左右平移的单位要有变化，如向左平移个单位才能得到的图象．
3．A
【解析】
【分析】
设扇形的半径是，弧长是，扇形的周长为，相应列出关系式，利用函数单调性得出结果.
【详解】
解：设扇形的半径是，弧长是，扇形的周长为，
则，由题意得，则，故，
利用函数单调性的定义，可以证明当，函数是减函数，
当时，函数是增函数，
当时，取最小值，此时，，
即当扇形的圆心角为时，扇形的周长取最小值.
故选：A.
【点睛】
本题考查扇形的面积公式，圆心角的求法，属于中档题.
4．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，进而求得，从而求得最大角和最小角的和.
【详解】
依题意，由正弦定理得，所以最大的边为，最小的边为，最大的角为，最小的角为.
由余弦定理得.
由于，所以，所以，也即最大角和最小角的和为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
根据向量共线基本定理，表示出向量的坐标，结合即可求得向量的坐标．
【详解】
由题意 与共线，所以存在实数，使
又
∴
解得
∴或．
所以选C
【点睛】
本题考查了平面向量共线基本定理的应用，向量共线的坐标运算，属于基础题．
6．B
【解析】
【详解】
∵，
∴a2=,a3=，
归纳猜想{an}的通项公式为，
故选B.
7．D
【解析】
【分析】
先由向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，求得的坐标，再由∥求解.
【详解】
因为向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
∴＝(3，1)，
∵＝(2m，m＋1)，∥，
∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，
故选：D.
8．D
【解析】
【分析】
根据三角形的构成条件，结合所给边角关系，代入检验对应边的大小关系即可判断.
【详解】
对于A，，因而有两个三角形，所以A错误；
对于B，根据三角形中大角对大边，小角对小边，若，则，在三角形中不可能有两个钝角，所以此时无解，因而B错误；
对于C，因为，而，因而不存在三角形，所以C错误；
对于D，因为，而 ，，即存在一个三角形，所以D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了判断三角形个数的解法，利用三角函数求得边的大小即可判断，属于中档题.
9．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理化角为边可得，继而可得，即，根据，可得，再利用正弦定理求出其余边长，即得解
【详解】
由题意，根据正弦定理
又，
由，可得
由正弦定理：
故的周长为
故选：B
10．D
【解析】
【详解】
分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.
详解：利用同角三角函数关系化简，
设，则，
根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.
故选D.
点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；
另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.
11．C
【解析】
【分析】
本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意可知，五年累计总投入资金为：
，
因为，
所以，
当且仅当时取等号，
故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，
故选：C.
12．B
【解析】
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以=-6，选B.
13．
【解析】
【详解】
根据函数在平面直角坐标系中的部分图象， ，，，，即
，故答案为.
14．①④
【解析】
【分析】
根据正切函数的周期判断①是否正确，正切函数的奇偶性判断②是否正确，由判断③是否正确，由正切函数的单调性判断④是否正确，由正切函数的图象判断⑤是否正确.
【详解】
由于f(x)＝tan x的周期为π，故①正确；
函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；
f(0)＝tan 0＝0，故③不正确；
④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故④正确；
⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，设，
故函数在区间上有，
在区间上有，故⑤不正确．
故答案为：①④
【点睛】
本题考查了正切函数的图象和性质，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可.
【详解】
解：因为为第二象限角，且，所以．
又，，
所以．
故答案为：.
16．
【解析】
【详解】
分析：设，化简的解析式，利用二次函数的图象与性质可求解函数的值域．
详解：由
，
令，则，且，
当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，
所以的值域为．
点睛：本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值，以及二次函数的性质的应用，其中利用三角恒等变换的公式和换元法转化为二次函数的性质是解答点关键，着重考查了换元法的应用，以及分析问题和解答问题的能力．
17．（1）；（2）．
【解析】
根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b的值，利用对b的值进行取舍即可.
由可知的值,利用，求出的值，代入原式即可.
【详解】
（1）∵为关于的方程的两根，∴，
所以，即，解得，此时，
又，∴，∴.
（2）由（1），得,又，所以，
∴，
∴.
【点睛】
关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到和的表达式，再结合是求解本题的关键；其中由对取值进行取舍是本题的易错点.
18．（1）；（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意结合等差数列的前n项和公式、通项公式即可求得；由与间的关系可得；
（2）由题意，由裂项相消法即可得解；
（3）由题意将分为与的两部分，分别利用错位相减法、裂项相消法求出其前n项和、，即可得解.
【详解】
（1）数列为等差数列，为其前n项和，，
，∴，
∴；
对数列，当时，，
当时，，
当时也满足上式，
∴；
（2）由题意
，
∴；
（3）由题意，
∵，∴，
而
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则①，
②，
①②得
，
∴，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
；
由以上可知
所以数列的前n项和.
【点睛】
本题考查了利用基本量运算求等差数列的通项及利用与的关系求数列通项，考查了裂项相消法、错位相减法及分组求和法求数列前n项和的应用，属于中档题.
19．(Ⅰ)；(Ⅱ)最小正周期．值域为．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由三角函数的定义可知，，，从而得到的值；（2）化简函数可得，进一步得到最小正周期和值域.
试题解析：
（I）因为角的终边与单位圆交于点，
由三角函数的定义可知，，，
所以，
，
．
（II）∵，
，
，
∴函数的最小正周期．
∵，
∴，
于是，当，
即时，取得最小值．
当，即时，取得最大值．
所以函数的值域为．
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
20．（1）或；（2）
【解析】
【详解】
分析：（1） ，求解即可；
（2）向量在方向上的投影为，计算即可.
详解：（1） ,
所以或；
（2）向量在方向上的投影为.
.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．注意利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
21．或.
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理得到，根据条件得到且，求得，由余弦定理列出方程组，即可求解.
【详解】
因为，且，所以，
由，且，
设外接圆的半径为，可得，
所以，且，
解得，所以，
又由余弦定理，可得，即，
解得，
联立方程组，解得，或，
所以或.
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）错位相减法求数列的和.
【详解】
（1）因为，令，则，又，
所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以，
则
两式相减得
所以
故
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