四川省绵阳市2021-2022学年度高一下学期开学考试数学试题（Word版，含解析）

四川省绵阳市高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（　　）
A．16 B．17 C．32 D．33
2．在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（ ）．A． B． C． D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，，则
A． B． C． D．
9．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
11．如图所示,点列满足：,，均在坐标轴上，则向量( )
A． B．
C． D．
12．函数（且）的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
二、填空题
13．函数，的值域为______________．
14．已知函数，若，且，则__________．
15．向量，，若，则__________．
16．若函数的最小正周期为，则实数的值为________．
三、解答题
17．已知函数，．
（1）当时，求满足的实数的范围；
（2）若对任意的恒成立，求实数的范围；
（3）若存在使对任意的恒成立，其中为大于1的正整数，求的最小值．
18．设函数.
(1)求函数和的解析式；
(2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在说明理由；
(3)定义，且，当时，求的解析式.
19．已知角终边上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在上的值域.
21．集合，，.
(1)求；
(2)现有三个条件：①；②；③是的必要不充分条件.在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答题目.
已知______________，求实数的取值范围.
22．已知与的夹角为，且，.
（1）求和；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）求与的夹角.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由对数函数的单调性可得y= x2-2x+a的最小值为16，配方即可得到所求最小值，解方程可得a．
【详解】
函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，
可得y= x2-2x+a的最小值为16，
由y=（x-1）2+a-1，
可得a-1=16，即a=17，
故选B．
【点睛】
本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次函数的最值，考查运算能力，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
由平行线性质得出是中点，然后由向量的线性运算求解．
【详解】
因为，所以，而，所以是中点．
．
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
画出的图象，根据图象将表示为只含的形式，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】
.
先作图象，由图象可得
因此为，
，
从而.
故选：A
4．C
【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合当时取得最小值，即可得表达式，结合诱导公式即可求解.
【详解】
函数
由辅助角公式化简可得
，
因为当当时，函数取得最小值，
所以，
则
所以
故选：C.
【点睛】
本题考查了辅助角公式在化简三角函数式中的应用，诱导公式求三角函数值，属于中档题.
5．A
【解析】
设，做出函数图像，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；然后讨论计算得出结果即可.
【详解】
解：根据函数，做出其图像如下：
设，根据函数图像有：
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有3个实数根；
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有1个实数根；
当时，方程没有实数根；
当若的零点个数为4个时，
方程有两个不等实数根，
且满足，或，或；
设函数；
则，，，
解得，或，
故选：A.
【点睛】
本题考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于较难题型；解题方法就是先令，再根据的图像得出不同取值时，的实根个数，然后构造方程，求出当函数有四个零点时的的组合，再构造方程求解即可；解题的关键点是数形结合求出在取不同值时的实根个数.
6．A
【解析】
【分析】
先将化小为，然后利用角的终边与单位圆的交点坐标求解余弦值.
【详解】
，
而为第四象限角，且其终边与单位圆的交点坐标为，
故．
故选：A.
【点睛】
本题考查利用单位圆求三角函数值，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a，b，c的大小关系.
【详解】
由题意可知：，即，
，即，
，即，
综上可得：.
故选：D
【点睛】
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
8．A
【解析】
【详解】
由题意，集合，则，故选A．
9．C
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得函数为奇函数且当时，有，利用排除法分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，对于函数，
有，即函数为奇函数，排除A、B；
当时，有，排除D；
故选：C.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．C
【解析】
【分析】
把化成可得平移的发现及其长度.
【详解】
因为，
所以要得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【点睛】
本题考查图象的平移变换，可利用“左加右减”的法则来处理，注意平移前后函数名是一致的，并且只是自变量做加减，本题属于基础题.
11．D
【解析】
【分析】
由于点列{An}满足：||＝1，||＝2||+1，设，则a1＝1，an+1＝2an+1，变形为an+1+1＝2（an+1），可知；数列{an+1}是等比数列，利用通项公式可得．由于Ai均在坐标轴上（i∈N*），且A4n﹣3，A4n﹣2，A4n﹣1，A4n，（n∈N*）分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴，y轴的负半轴，x轴的负半轴．
可得向量的横坐标＝a2﹣a4+a6﹣a8+…+a2010﹣a2012+a2014，向量的纵坐标＝a1﹣a3+a5﹣a7+…+﹣a2011+a2013，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】
∵点列{An}满足：||＝1，||＝2||+1，
设，则a1＝1，an+1＝2an+1，化为an+1+1＝2（an+1），
∴数列{an+1}是等比数列，
∴2n．
∴．
由于Ai均在坐标轴上（i∈N*），
且A4n﹣3，A4n﹣2，A4n﹣1，A4n，分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴，y轴的负半轴，x轴的负半轴．
∴向量的横坐标＝a2﹣a4+a6﹣a8+…+a2010﹣a2012+a2014
＝（22﹣1）﹣（24﹣1）+（26﹣1）﹣（28﹣1）+…+（22010﹣1）﹣（22012﹣1）+（22014﹣1）
＝22﹣24+26﹣28+…+22010﹣22012+22014﹣1
1
．
同理可得向量的纵坐标＝a1﹣a3+a5﹣a7+…+﹣a2011+a2013．
∴向量．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论和数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
12．C
【解析】
先求出定点P的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的解析式，进而可以求出的值.
【详解】
∵，令得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：对于指数型和对数型函数图象恒过定点问题，要熟练掌握指数函数、对数函数恒过定点问题，指数函数恒过定点，对数函数恒过定点，然后对于指数型函数和对数型函数，类比进行即可.
13．
【解析】
【分析】
令，根据的取值范围，求出的范围，然后配方得到，这样根据二次函数的值域求法即可得出该函数的值域．
【详解】
解：令，因为，所以
所以，函数在上单调递增，所以，故所求函数的值域为．
故答案为：
【点睛】
本题考查换元法求函数的值域，考查二次函数的性质的应用，属于基础题.
14．2
【解析】
【详解】
不妨设a＞1，
则令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，
则loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；
故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，
故
故答案为2
点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.
15．
【解析】
【详解】
由于向量，，，故，故答案为.
16．
【解析】
【分析】
由周期的定义得，得到，等式两边平方，化简后可求出实数的值.
【详解】
由于函数的最小正周期为，即，
，即，
等式两边平方并化简得对任意的恒成立，因此，.
故答案为.
【点睛】
本题考查利用函数的周期性求参数，解题的关键就是对含绝对值的等式进行平方并求解，考查计算能力，属于中等题.
17．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将代入解析式，然后化简不等式，最后利用指数函数的单调性即可求出所求；
（2）将参变量分离，然后利用换元法转化成求二次函数的最值，从而可求出的取值范围；
（3）由（2）知，存在使对任意的恒成立，取时也应该成立，从而可求出的最小值整数解．
【详解】
（1）当，
所以
得
整理得：
解得
（2）由对任意的恒成立
则对任意的恒成立
整理得对任意的恒成立
设，因为，则
所以对任意的恒成立，
设
则
而，当且仅当时，等号成立
所以
（3）由（2）知，存在，使对任意的恒成立，
取代入得，
得到
所以的最小整数值为4.
【点睛】
本题主要考查了函数恒成立问题，以及指数函数的综合应用，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．
18．(1)，；
(2)存在，，理由见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用代入法即可求出函数和的解析式；
（2）分别表示出和的解析式，由列出关于的方程即可；
（3）按照已知的递推关系进行代入求解即可.
(1)
解：由函数
当，即
当，即
所以
(2)
解：由题知，
因为
所以且，即
所以存在实数，使得恒成立
(3)
解：当时对任意的正整数，
都有，
又，且
故有
所以的解析式为
19．(1)；(2).
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用角的终边上点坐标可得，进而由诱导公式化简代入求值即可；
（2）利用，可求，代入求值即可.
试题解析：
（1）依题意有，原式.
（2）原式.
20．（1），增区间为，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）运用降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性求出单调递增区间即可；
（2）利用正弦函数的图象求出函数在上的值域．
【详解】
（1）∵，∴.
令，则，，
则的增区间为，.
（2）∵，，故，
∴，
所以的值域为.
21．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）计算，，再计算交集得到答案.
（2）分别考虑条件①②③，转化为集合的包含关系，考虑是否为空集的两种情况，计算得到答案.
(1)
，，
故.
(2)
选择条件①，则，即，
当时，，即时成立；
当时，，解得.
综上所述：.
选择条件②，则，
当时，，即时成立；
当时， 或，无解.
综上所述：.
选择条件③：是的必要不充分条件，故，
当时，，即时成立；
当时，，（下面两个不等式等号不同时成立），解得.
综上所述：.
22．（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
(1)根据向量的数量积公式求出的值，结合数量积的运算律求出向量的模即可；
(2)根据向量垂直可得其向量的数量积为0，直接计算即可；
(3)根据向量数量积的夹角公式可得，结合夹角的范围即可.
【详解】
解：（1）∵与的夹角为，且，.
∴，
∵，
∴.
（2）若与垂直，则
.
∴.
（3）设与的夹角为，
则，
则，
又，
∴与的夹角.
答案第1页，共2页
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