云南省曲靖市会泽县2021-2022学年度高一下学期开学考试数学考试题（Word版，含解析）

云南省曲靖市会泽县高一下学期开学考试数学考试题
一、单选题
1．下列四个结论：
①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
②“”是“”的必要不充分条件；
③在区间上有零点，则实数的取值范围是；
④对于命题：存在，使得，则为：对任意，均有．
其中，错误的结论的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知一个正四棱锥的所有棱长都为1，则此四棱锥的体积为（　 　）
A． B． C． D．
3．方程在下列哪个区间内有实数根
A． B． C． D．
4．设集合，，则A∩B=
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；
②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；
③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球；
④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
6．若,则（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，网格线上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为
A． B． C．18 D．
9．设函数，则
A．2 B．1 C．-2 D．-1
10．若函数，函数有3个零点，则k的取值范围是
A．（0，1） B． C． D．
11．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A． B．8 C．6 D．
12．如图，在等腰梯形中，，，高为，为的中点，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
13．已知函数(x∈[2，6])则f(x)的最大值为___________，最小值为___________.
三、填空题
14．已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，在其中有一个高为的内接圆柱，当高变化时，圆柱侧面积的最大值为______.
15．已知函数，当时，，则的取值范围是__________．
16．已知函数是定义在上的奇函数，若，则______．
四、解答题
17．已知函数．
（1）点在的图像上吗？
（2）当时，求的值；
（3）当时，求x的值．
18．已知集合，或.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
19．对于函数y=f(x),x∈D，若存在闭区间[a，b]和常数C，使得对任意x∈[a，b]都有f(x)=C，称f(x)为“桥函数”.
（1）作出函数的图象，并说明f(x)是否为“桥函数”？（不必证明）
（2）设f(x)定义域为R，判断“f(x)为奇函数”是“为’桥函数’”的什么条件？给出你的结论并说明理由;
（3）若函数是“桥函数”，求常数m、n的值.
20．已知函数．
（1）求的定义域和值域；
（2）写出函数的单调区间．
21．（1）计算
（2）已知=5，求的值
22．如图，已知四棱锥，平面平面，四边形是菱形，.
（1）若，证明：；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用逆否命题的定义判断①；利用一元二次不等式的解法判断②；转化为方程有解判断③；利用特称命题的否定是全称命题判断④
【详解】
对于①，“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确；
对于②，解不等式，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于③，在区间上有零点，在区间上有则解，因为在区间上，所以实数的取值范围是，正确；
④对于命题：存在，使得，因为特称命题的否定是全称命题，所以为：对任意，均有，正确．
综上，错误的结论的个数是1，
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
求出棱锥的高及底面面积即可求体积．
【详解】
如图正四棱锥中是棱锥的高，由于棱长都是1，∴，
，，
∴．
故选：C.
【点睛】
本题考查求棱锥的体积，掌握锥体体积公式是解题关键．
3．A
【解析】
【详解】
令，，
∴在区间内有零点，即方程在区间内有实数根， 故选A.
考点：方程的根与函数零点的关系.
4．B
【解析】
先求解不等式，得到，由交集的定义即得解
【详解】
，
，则，
故选：B
【点睛】
本题考查了交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
5．D
【解析】
【详解】
①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其两底边的中点连线旋转形成的；②正确；球是以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体，故③错；④正确．
考点：圆台，球的定义，圆台的截面，圆柱，圆锥母线的性质.
6．B
【解析】
【分析】
对每一个选项的不等式逐一分析得解.
【详解】
A. ,如果，不等式显然错误，所以该选项错误；
B. ，因为函数是减函数，，所以.所以该选项是正确的；
C.,因为函数是增函数，所以，所以该选项是错误的；
D. ，因为选项B是正确的，所以该选项是错误的.
故选：B
【点睛】
本题主要考查指数函数和幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．B
【解析】
分别根据解析式判断函数的单调性和奇偶性可得答案.
【详解】
对于A，函数为奇函数，在定义域内不单调，故A不符合题意；
对于B，函数为奇函数，在定义域上为减函数，符合题意；
对于C，函数为偶函数，不符合题意；
对于D，函数为奇函数，且在定义域上为增函数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：掌握幂函数的奇偶性和单调性是解题关键.
8．C
【解析】
【详解】
分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.
详解：如图所示，在棱长为3的正方体中，
题中所给的三视图为该正方体截去三棱锥所得的几何体，
该几何体的体积：.
本题选择C选项.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
9．A
【解析】
由内至外逐步求出函数值，即可求解.
【详解】
.
故选:A.
【点睛】
本题考查分段函数的解析式，解题的关键要理解分段函数，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
画出的图像，有3个零点等价于有3个交点．
【详解】
有3个零点等价于有3个交点
记则过原点作的切线，有3个零点等价于有3个交点
记则过原点作的切线，设切点为
则切线方程为：，又切线过原点，即，
将，，代入解得，
所以切线斜率
所以
【点睛】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题．
11．B
【解析】
【分析】
根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长．
【详解】
由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，
所以四边形的周长为：．
故选：B．
12．A
【解析】
【分析】
先以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，设的横坐标为，将用表示分段表示出来，再求最小值，再对有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出的取值范围.
【详解】
解：以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系如图所示:
则，，，，
设的横坐标为，则
当时，在上动，，则
当时，的最小值；
当，时，在上动，则，
则，
当时，的最小值
又，
故，，
又有两不等实根，则在有两不等实根，
则在有两不等实根，
则与，有两个交点.
当时，有最小值为，当时，，当时，，
则，的图象如图所示，
即方程有两不等实根有：.
故选：A
【点睛】
本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大.
13． 2
【解析】
【分析】
先研究的单调性，再求最值.
【详解】
任取，则：
∵，
∴
∴，
∴，
所以在[2，6]单调递减，
所以f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(6)= .
故答案为：2；
【点睛】
求值域的方法：①直接法；②单调性法；③复合函数法；④图像法.
14．
【解析】
根据轴截面中的平行关系可得到圆柱底面半径与高之间的关系，根据圆柱侧面积公式可得到关于高的函数关系式，根据二次函数性质可得所求最值.
【详解】
圆锥和圆柱的轴截面如下图所示：
则，，
，则
圆柱侧面积
当时，
故答案为：
【点睛】
本题考查圆柱侧面积最值的求解问题，关键是能够得到底面半径与高之间的比例关系，从而将侧面积表示为关于高的函数的形式；解决圆柱和圆锥相关问题时，常采用轴截面的形式来进行研究和求解.
15．
【解析】
【分析】
等价为函数是减函数，根据指数函数、对数函数的单调性，列出不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于等价为函数是减函数，故，解得.
【点睛】
本小题主要考查函数单调性的识别，考查指数函数、对数函数的单调性的运用，属于基础题.
16．
【解析】
根据奇函数的性质，可得，即可求出的值，进而求出即可.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，
即，经验证符合题意，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求函数值，考查奇函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
17．（1）不在，（2），（3）
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入解析式中验证即可；
（2）将代入函数中直接求解；
（3）由，可得，从而可求出x的值
【详解】
解：（1）因为，
所以点不在的图像上，
（2），
（3）由，得，解得
18．（1）；（2）或
【解析】
（1）首先根据得到，再解不等式组即可.
（2）首先根据题意得到，即可得到答案.
【详解】
（1）因为，，得到，解得.
（2）因为，所以.
因为，所以或，即或.
【点睛】
本题主要考查集合的交集和并集运算，属于简单题.
19．（1）图象见解析，f(x)为“桥函数”；（2）充分不必要（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义化简函数，再作图，最后根据“桥函数”定义进行判断；
（2）根据“桥函数”定义说明充分性成立，举反例说明必要性不成立；
（3）根据“桥函数”定义列等式，再根据恒成立解m、n的值.
【详解】
（1）
图象为
存在闭区间[3，4]和常数2，使得对任意x∈[3，4]都有f(x)=2，所以f(x)为“桥函数”
（2）f(x)为R上奇函数，则，即存在闭区间[3，4]和常数0，使得对任意x∈[3，4]都有f(x)=0，所以为“桥函数”,
为“桥函数”时f(x)不一定为奇函数，如
因此“f(x)为奇函数”是“为’桥函数’”的充分不必要条件
（3）因为是“桥函数”，
所以存在闭区间[a，b]和常数C，使得对任意x∈[a，b]都有g(x)=C，
即,即
所以
即或，或
【点睛】
本题考查函数新定义、分段函数图象、奇函数性质以及恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．（1）定义域为,值域为（2）单调递减区间为，单调递增区间为．
【解析】
【分析】
（1）由真数大于0，根据二次不等式即可求定义域，由二次函数的值域即对数函数的单调性可求函数值域；
（2）根据二次函数的单调性，对数函数的单调性及函数的定义域，即可求出单调区间.
【详解】
（1），
，
解得，
的定义域为．
设，
，
，
的值域为；
（2）是增函数，
而在上递增，在上递减，
的单调递减区间为，单调递增区间为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数，二次不等式，对数函数的单调性，考查了推理运算能力，属于中档题.
21．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂和根式运算求解；
（2）利用立方和根式和指数幂运算求解.
【详解】
解：（1），
，
；
（2）因为=5
所以，
，
.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，取中点为，通过证明平面进而推证线线垂直；
（2）以对角线的交点为，建立直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解法向量的夹角，进而求得二面角的大小.
【详解】
（1）取的中点，连接，.如下图所示：
∵，∴.
∵四边形是菱形，且，
∴，∴.
∵，∴平面，
∴.
又在菱形中，，
∴.
（2）设与交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
则，.
，.
由（1）知，
∵平面平面，
∴平面.
则，，，，
，
设平面的法向量为，
∵，∴，
取，得.
设平面的法向量为，
∵，∴，
取，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及用向量法求解二面角，属综合性中档题；本题的难点在于如何建立直角坐标系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页