重庆市南岸区2021-2022学年度高一下入学数学模拟试题（Word版，含解析）

重庆市南岸区高一下入学数学模拟试题
一、单选题
1．两个等差数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，均大于，且，则下列各式中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，设的面积为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则等于
A． B． C． D．
5．在中，，，则
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数，若为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．向量、满足,，与的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知向量，则＝（ ）
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
10．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为
A． B． C． D．0
11．已知点在平面内，且对空间任意一点，，则的最小值为
A． B． C． D．
12．锐角中，角的对边分别是且 ,.则边长的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．记若是等差数列，则称为数列的“等差均值”;若是等比数列，则称为数列的“等比均值”.已知数列的“等差均值”为2,数列的“等比均值”为3.记数列的前项和为若对任意的正整数都有,则实数的取值范围是__________．
14．在等比数列中，若，则________.
15．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则________．
16．设向量与向量共线，且，，则________．
三、解答题
17．如图所示，在中，M是AC的中点，．
(1)若，求AB；
(2)若的面积S．
18．已知数列的前n项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前n项和．
19．设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立．
（1）设M=｛1｝，，求的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点，不与坐标轴垂直的直线l与C相交于不同的两点E，F，若x轴平分，求证：l过定点.
21．在△ABC中，AC=4，，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若D为BC边上一点，，求DC的长度．
22．是等比数列，公比大于0,其前n项和为是等差数列.已知.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
（3）若 则数列前n项和
①求
②若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围.
（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？
（5）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和.
（6）设，其中求
（7）是否存在新数列，满足等式 成立，若存在,求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据等差数列下标和性质可知，代入即可得到结果.
【详解】
设等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，则，
.
故选：.
【点睛】
本题考查等差数列下标和性质的应用，关键是熟练掌握.
2．B
【解析】
【分析】
利用对数的运算公式及不等式求解.
【详解】
因为，所以，即；
因为，，均大于，所以，
所以，即或（舍）.
由可得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查对数的运算公式及基本不等式，条件的等价转化是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
3．C
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式得，求得，再由等差数列的性质得，由余弦定理可得，可得选项.
【详解】
由已知得，得，
因为，所以.
因为成等差数列，所以，
由余弦定理，得，
所以，
得，
所以，所以是等边三角形.
故选：C.
【点睛】
此题考查等差数列的性质、余弦定理、三角形面积公式等知识，考查了判断三角形的形状，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
先根据递推关系求数列通项，再根据裂项相消法求和.
【详解】
∵an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，
∴an＋1－an＝n＋1，∴an－an－1＝n，n≥2，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
n＝1时也满足此式，
∴
则
.
故选A.
【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，以及根据裂项相消法求和，考查基本分析求解能力.
5．A
【解析】
【分析】
本题首先可根据计算出的值，然后根据正弦定理以及即可计算出的值，最后得出结果．
【详解】
因为，所以.
由正弦定理可知，即，
解得，故选A．
【点睛】
本题考查根据解三角形的相关公式计算的值，考查同角三角函数的相关公式，考查正弦定理的使用，是简单题．
6．D
【解析】
【分析】
利用等比数列片断和的性质可知、、、成等比数列，进而可求得的值.
【详解】
由等比数列片断和的性质可知、、、成等比数列，
且公比为，因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列片断和性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
计算，根据纯虚数的概念，可得，然后根据复数的模的计算，可得结果.
【详解】
为纯虚数，
，
，
故选：B
【点睛】
本题考查复数中纯虚数的理解以及复数的模的计算，审清题干，细心计算，属基础题.
8．C
【解析】
【分析】
因为，与的夹角为，由，根据，可得，即可求得答案.
【详解】
，与的夹角为
可得：
故
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
9．A
【解析】
由向量线性运算的坐标关系，即可求解.
【详解】
．
故选:A.
【点睛】
本题考查向量坐标运算，属于基础题.
10．C
【解析】
【详解】
由，设，则，所以当时，取得的最小值为，故选C.
【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式及配方法求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.
11．D
【解析】
【详解】
试题分析：在平面内，则必存在实数使，
，
，．
又，
，
当且仅当即时取得等号．
考点：1向量的加减法，平面向量基本定理；2基本不等式．
12．C
【解析】
【分析】
可把边角的混合关系转化为角的三角函数的关系，从而得到，再利用正弦定理得到，结合的范围可求的取值范围.
【详解】
由正弦定理有，
所以，因为，所以，
故，因，所以.
由正弦定理有，故，因，
故，所以，
所以，故选C.
【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
13．
【解析】
【详解】
分析：先利用定义求出再把它们的通项代入求出
，再根据对任意的正整数都有,得到关于k的不等式组，解之即得k的取值范围.
详解：由题得，
所以
所以
两式相减得
又由题得
所以
所以
两式相减得
所以
因为对任意的正整数都有,
所以
解之得.
故填.
点睛：解答定义题，首先要理解原题的定义，每一个关键词都要理解清楚，再解答. 如果定义含糊，解题当然会有问题.本题实际上是一个数列的通项问题和恒成立问题.
14．3
【解析】
【分析】
由等比数列的定义求出和，进而可求结果.
【详解】
由，得公比，
所以，，所以，
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查了等比数列中基本量的计算，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
由正弦定理直接求解可得.
【详解】
由正弦定理可得，则．
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
根据平面向量共线条件，即可求得的值.
【详解】
向量与向量共线，且，，
则，
解得，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量共线的坐标关系，属于基础题.
17．（1）；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：
本题考查正余弦定理的应用及三角形面积的计算．（1）由题意求得，在中由正弦定理可得AB．（2）在中由余弦定理可得，故可得的面积，从而可得的面积．
试题解析：
（1）由题意得,
在中，由正弦定理得
.
（2）在中，由余弦定理得
,
,
解得或（舍去）．
，
是的中点，
.
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.
【详解】
（1）当时,由得；
当时,由
得
是首项为3,公比为3的等比数列
当,满足此式
所以
（2）由（1）可知
,
【点睛】
本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.
19．（1）8 （2）
【解析】
【详解】
考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题．
（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
（2）由题意：，
当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
20．(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设动点P的坐标为，求出的坐标，化简即得解；
（2）设直线l的方程为，设，，联立直线和圆的方程得到韦达定理，根据DE的斜率与DF的斜率之和为0求出，即得解.
(1)
解：设动点P的坐标为，则，.
因为，即，
所以曲线C的方程为.
(2)
证明：由题意知l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为.
由消去y并化简，得，
，
设，，则，，
由题意知DE的斜率与DF的斜率之和为0，即，
所以，即，
所以，
即，
化简，得，满足，所以直线l的方程为，
所以l过定点.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理得到，在结合三角形内角的性质即可的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出边的长．
【详解】
（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
所以．
因为，所以，所以．
（Ⅱ）在中，．
在中，由余弦定理，
得，即，
解得或．经检验，都符合题意．
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于基础题．
22．⑴，.⑵；⑶①；②；⑷见解析；⑸ ；⑹；⑺；⑻见解析；
【解析】
(1)根据已知条件，利用等差数列和等比数列的性质和通项公式直接代入即可求出；
(2)讨论当为奇数或为偶数时，分别求出它们的通项公式，再利用数列裂项求和方法、错位相减法、分组求和法求出数列的和；
(3)①利用错位相减求数列的和；②利用数列的单调性求出数列的最大值即可；
(4)求数列最值的一般方法有：单调性法、图像法、基本不等法、邻项比较法；
(5)根据题意分别讨论、、三种情况求出对应的数列和；
(6) 即 所以求，可以拆分成两个数列和：和即，利用数列求和方法分别求出它们的和即可；
(7)根据已知条件用得到数列的前项和为，再由数列前项和公式得出数列的通项公式；
(8)根据求数列和的方法可得出它的本质还是得看数列的通项，才能确定求和方法.
【详解】
(1) 是等比数列，公比q大于0，是等差数列，设公差为d，
即
解得，
又
即
解得，
即有：，.
(2)
当时，，
当时，，
数列的前项和为
(3) ①，则
两式相减得：
所以：
②由①可知若对任意 ，均有恒成立，
等价于恒成立，
所以即恒成立，
设，则
，
所以当时，当时，
所以的最大值为，故，
即实数的取值范围是：；
(4)一般求数列最值的方法有：1、单调性法；2、图像法；3、基本不等式；4、邻项比较法；
(5)数列的前项和为，数列的前项和为；
①当时，
②当时，
当时，，
当时，
当时也符合
所以当时，
③当时，
综上可得：
(6) 即
，
设，前项和为，则
，
，
两式相减并化简得：
，
(7)设存在新数列，满足等式 成立，则
，
当时，有，
两式相减得：
，
设新数列的前项和为即，
当时，，
当时，，此时当时也符合，
所以得到数列的通项公式为：
(8)数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法等等，其本质还是看数列的通项公式.
【点睛】
本题考查了求数列通项公式方法，数列求和的方法以及数列的最大值，关键错位相减求和以及分组求和的计算，讨论的取值，考查了学生的计算能力，属于较难题.
答案第1页，共2页
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