2021—2022学年人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质课后练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质课后练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 547.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-14 15:48:00 | ||
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文档简介
第十八章平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（ ）
A．3 B． C． D．
2．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
3．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
5．如图， 的对角线，相交于点O，且，E，F，G分别是是，，的中点，且的周长为7，则 的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
7．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤
8．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，在 ABCD中，AB＞AD，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．AG平分∠DAB B．AD＝DH C．DH＝BC D．CH＝DH
10．如图，将放置在平面直角坐标系中，点，当直线平分的面积时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____．
12．平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E，∠ADC的平分线交BC边于点F，AB=5， EF=1，则BC=______ ．
13．过对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，则的长是_________．
14．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为_________．
15．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②△AEF∽△ACD；③S△BCE＝36；④S△ABE＝12．其中一定正确的是_____（填序号）
三、解答题
16．如图，在平行四边形中，．若平分．
（1）求证：≌；
（2）若，求：的度数．
17．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，若□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中满足关系式．
（1）求的值；
（2）在第三象限是否存在一点，使四边形的面积是三角形面积的倍，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D是坐标平面内的点，若点D与三点构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．
19．数学课堂上，老师在讲到数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），它恰好能被分割成10个大小不同的正方形．小明同学受到启发，尝试对平行四边形进行分割．如图2，平行四边形被分割成13个等边三角形．已知中间最小的两个等边三角形和的边长均为，的边长为．
（1）若，时，直接写出，的值；
（2）求的值．
20．如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．
求证：AB＝BE．
21．已知：如图，在中，，M为的中点，连接．求证：．
22．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．
23．如图，在中，点E是上一点，和分别平分和，且，．
（1）求证：
（2）求线段的长度
（3）求平行四边形的面积．
【参考答案】
1．C 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．C 9．D 10．A
11．1
12．11或9
13．10或2
14．8
15．①③④
16．解：（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌；
（2）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵≌，
∴，
∴．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵□ABCD的周长为8.6cm，
∴AB+AD+BC+CD=8.6cm，
∴，
∵△ABD的周长为6cm，
∴AD+AB+BD=6cm，
∴BD=6-AD-AB=1.7cm，
∵E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分线AB，
∴，
∴AB=4.3-AD=2.6cm．
18．（1）解：，
又，
且，
；
（2）存在，如图1，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，
则∠BEC＝90°，
由（1）得，A（0，3），B（ 4，3），
∴AB∥x轴，
∴∠OCE＝∠BEC＝90°，
∴CE⊥x轴，
∵C（ 2，0），
∴E（ 2，3），
∴AB＝4，CE＝3，OC＝2，
∴S△ABC＝AB CE＝×4×3＝6，
∵S四边形ACPO＝S△AOC＋S△POC，且S四边形ACPO＝S△ABC，P（ 1，m）在第三象限，
∴×2×3＋×2（ m）＝×6，
解得，m＝ 6，
∴P（ 1， 6）；
（3）如图2，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，
∵AB∥x轴，CD∥AB，
∴点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝ 2＋4＝2，
∴D（2，0）；
如图3，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，则点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝ 2 4＝ 6，
∴D（ 6，0）；
如图，作CE⊥AB于点E，延长CE到点D，使DE＝CE，连结AD、BD，
由（1）和（2）得，B（ 4，3），E（ 2，3），CE⊥x轴，
∴AE＝BE，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵DE＝CE＝3，
∴CD＝6，
∴D（ 2，6），
综上所述，点D的坐标是（2，0）或（ 6，0）或（ 2，6）．
19．（1）依题意，图中13个三角形为等边三角形
△ABC边长为x，△BMN边长为y，
AM=x+y，AK=AM=x+y， DK=x+y+x=2x+y，
DK=DO=OH，
OH=2x+y，OK=2x+y，
PK=KM=AK=x+y，
EO=OK+KP=2x+y+x+y=3x+2y，
EH=EO+OH=3x+2y+2x+y=5x+3y，
当，时,
OH=7，；
（2）由（1）得：EH=5x+3y，
FR=PN=PM+MN=x+y+y=x+2y，
RG=RB=RN+BN=FR+BN=x+2y+y=x+3y，
FG=FR+RG=x+2y+x+3y=2x+5y，
四边形是平行四边形，
EH=FG，
5x+3y=2x+5y，
整理得：3x=2y，
即x：y=2：3．
20证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中
，
，
，
．
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，
∵AB＝2AD，M为AB的中点，
∴AD＝AM＝BM＝BC，
∴∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，
∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠CDM＋∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝90°，
即DM⊥MC．
22．证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB，
∴ ∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF是∠DAB的平分线，
∴ ∠DAF＝∠FAB，
∴ ∠DAF＝∠DFA，
∴ AD＝DF．
同理可得EC＝BC．
∵ 在ABCD中，AD＝BC，
∴ DF＝EC．
23．如图所示，过A作⊥l1，使AA'等于河宽，然后连接A'B，与l2交于点N，再过N作MN⊥l1于M，
∵AA'⊥l1，MN⊥l1
∴AA'∥MN
又∵AA'=MN
∴四边形AA'NM为平行四边形
∴AM= A'N
∴AM+MN+NB= A'N+MN+NB= A'B+MN
由两点之间线段最短，可知此时路径AMNB最短
23．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BD，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵CE和DE分别平分∠BCD和∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，
∴∠CDE+∠DCE=90°，即DE⊥CE；
（2）由（1）可知：
AB∥CD，∠ADE=∠EDC，
∴∠CDE=∠DEA，
∴∠ADE=∠DEA，
∴AD=AE=10，
同理：BE=BC=AD=10，
∴AB=AE+EB=20；
（3）∵CE⊥DE，AB=CD=20，CE=16，
∴DE==12，
∴四边形ABCD的面积=2×△DEC的面积==192．
18.1.1 平行四边形的性质
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（ ）
A．3 B． C． D．
2．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
3．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
5．如图， 的对角线，相交于点O，且，E，F，G分别是是，，的中点，且的周长为7，则 的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
7．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤
8．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，在 ABCD中，AB＞AD，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．AG平分∠DAB B．AD＝DH C．DH＝BC D．CH＝DH
10．如图，将放置在平面直角坐标系中，点，当直线平分的面积时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____．
12．平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E，∠ADC的平分线交BC边于点F，AB=5， EF=1，则BC=______ ．
13．过对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，则的长是_________．
14．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为_________．
15．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②△AEF∽△ACD；③S△BCE＝36；④S△ABE＝12．其中一定正确的是_____（填序号）
三、解答题
16．如图，在平行四边形中，．若平分．
（1）求证：≌；
（2）若，求：的度数．
17．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，若□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中满足关系式．
（1）求的值；
（2）在第三象限是否存在一点，使四边形的面积是三角形面积的倍，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D是坐标平面内的点，若点D与三点构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．
19．数学课堂上，老师在讲到数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），它恰好能被分割成10个大小不同的正方形．小明同学受到启发，尝试对平行四边形进行分割．如图2，平行四边形被分割成13个等边三角形．已知中间最小的两个等边三角形和的边长均为，的边长为．
（1）若，时，直接写出，的值；
（2）求的值．
20．如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．
求证：AB＝BE．
21．已知：如图，在中，，M为的中点，连接．求证：．
22．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．
23．如图，在中，点E是上一点，和分别平分和，且，．
（1）求证：
（2）求线段的长度
（3）求平行四边形的面积．
【参考答案】
1．C 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．C 9．D 10．A
11．1
12．11或9
13．10或2
14．8
15．①③④
16．解：（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌；
（2）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵≌，
∴，
∴．
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵□ABCD的周长为8.6cm，
∴AB+AD+BC+CD=8.6cm，
∴，
∵△ABD的周长为6cm，
∴AD+AB+BD=6cm，
∴BD=6-AD-AB=1.7cm，
∵E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分线AB，
∴，
∴AB=4.3-AD=2.6cm．
18．（1）解：，
又，
且，
；
（2）存在，如图1，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，
则∠BEC＝90°，
由（1）得，A（0，3），B（ 4，3），
∴AB∥x轴，
∴∠OCE＝∠BEC＝90°，
∴CE⊥x轴，
∵C（ 2，0），
∴E（ 2，3），
∴AB＝4，CE＝3，OC＝2，
∴S△ABC＝AB CE＝×4×3＝6，
∵S四边形ACPO＝S△AOC＋S△POC，且S四边形ACPO＝S△ABC，P（ 1，m）在第三象限，
∴×2×3＋×2（ m）＝×6，
解得，m＝ 6，
∴P（ 1， 6）；
（3）如图2，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，
∵AB∥x轴，CD∥AB，
∴点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝ 2＋4＝2，
∴D（2，0）；
如图3，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，则点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝ 2 4＝ 6，
∴D（ 6，0）；
如图，作CE⊥AB于点E，延长CE到点D，使DE＝CE，连结AD、BD，
由（1）和（2）得，B（ 4，3），E（ 2，3），CE⊥x轴，
∴AE＝BE，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵DE＝CE＝3，
∴CD＝6，
∴D（ 2，6），
综上所述，点D的坐标是（2，0）或（ 6，0）或（ 2，6）．
19．（1）依题意，图中13个三角形为等边三角形
△ABC边长为x，△BMN边长为y，
AM=x+y，AK=AM=x+y， DK=x+y+x=2x+y，
DK=DO=OH，
OH=2x+y，OK=2x+y，
PK=KM=AK=x+y，
EO=OK+KP=2x+y+x+y=3x+2y，
EH=EO+OH=3x+2y+2x+y=5x+3y，
当，时,
OH=7，；
（2）由（1）得：EH=5x+3y，
FR=PN=PM+MN=x+y+y=x+2y，
RG=RB=RN+BN=FR+BN=x+2y+y=x+3y，
FG=FR+RG=x+2y+x+3y=2x+5y，
四边形是平行四边形，
EH=FG，
5x+3y=2x+5y，
整理得：3x=2y，
即x：y=2：3．
20证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中
，
，
，
．
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，
∵AB＝2AD，M为AB的中点，
∴AD＝AM＝BM＝BC，
∴∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，
∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠CDM＋∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝90°，
即DM⊥MC．
22．证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB，
∴ ∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF是∠DAB的平分线，
∴ ∠DAF＝∠FAB，
∴ ∠DAF＝∠DFA，
∴ AD＝DF．
同理可得EC＝BC．
∵ 在ABCD中，AD＝BC，
∴ DF＝EC．
23．如图所示，过A作⊥l1，使AA'等于河宽，然后连接A'B，与l2交于点N，再过N作MN⊥l1于M，
∵AA'⊥l1，MN⊥l1
∴AA'∥MN
又∵AA'=MN
∴四边形AA'NM为平行四边形
∴AM= A'N
∴AM+MN+NB= A'N+MN+NB= A'B+MN
由两点之间线段最短，可知此时路径AMNB最短
23．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BD，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵CE和DE分别平分∠BCD和∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，
∴∠CDE+∠DCE=90°，即DE⊥CE；
（2）由（1）可知：
AB∥CD，∠ADE=∠EDC，
∴∠CDE=∠DEA，
∴∠ADE=∠DEA，
∴AD=AE=10，
同理：BE=BC=AD=10，
∴AB=AE+EB=20；
（3）∵CE⊥DE，AB=CD=20，CE=16，
∴DE==12，
∴四边形ABCD的面积=2×△DEC的面积==192．