华东师大版七年级下册数学 第6章 一元一次方程小结 教案

课题学习---探究三角形内外角平分线交角关系
-------- 三个基本模型
教学目标：为了激发学生学习兴趣，培养学生自主探究的能力和创新精神，是学生养成良好的合作交流的习惯。探究并证明三角形内外角角分线的交角关系，掌握相关结论并能应用。
教学重点：探究并证明三角形内外角角分线的交角关系
教学难点：巧用代数法来解决几何问题
教学过程
设疑引入
问题1：如图1，在△ABC中∠ABC=60°，∠ACB=40°，BP和AP分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BPC=
变式1 如图１，点P是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．
证明：如图１：
∵∠ABC=2∠1，∠ACB=∠２，
∴在△ABC 2∠1＋2∠2＋∠A＝180° ①
在△PBC ∠1＋∠2＋∠P=180° ②
①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠P ③
由②得： ∠1＋∠2=180°－∠P ④
把③代入④得：∴180°－∠P＋∠A＝∠P
∠P=90°+∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.
注意解题策略
1、引入数字表示角，充当桥梁的作用
2、利用内角和建立方程
3、消去数字，只留下待求角
（对于命题1.先让学生独立解答，知道有困难的学生，组内互助，整体达标）
二、归纳总结，应用练习
（证明结束，在学案归纳部分学生用自己的语言总结（文字语言、图形语言、符号语言）
完成学案上对应练习。
三、进一步探究
（任何一种规律都有它存在的条件，当条件发生变化时规律是否适用呢？再看下面两个问题）
问题2 如图２，点P是△ABC两个内角平分线的交点，则∠P=90°－∠A．
证明：如图２：∵∠ABC=2∠1，∠ACB=∠２，
∴在△ABC 180°-2∠1＋180°-2∠2＋∠A＝180° ①
在△PBC ∠1＋∠2＋∠P=180° ②
①+②×2得： 360° ＋2∠A+∠P =540° ③
∠P=90°-∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，可以证明.
注意解题策略
1、引入数字表示角，充当桥梁的作用
2、利用内角和建立方程
3、消去数字，只留下待求角
（证明结束，在学案归纳部分学生用自己的语言总结（文字语言、图形语言、符号语言）
问题3 如图3，点P是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠P与∠A又有什么样的关系呢？．
证明：如图3：
∵在△ABC中 ∠A+2∠1=2∠2①
在△PBC 中 ∠1+∠P=∠2②
①×代入②得：
∠P=∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.
注意解题策略
1、引入数字表示角，充当桥梁的作用
2、利用外角和建立方程
3、消去数字，只留下待求角
（证明结束，在学案归纳部分学生用自己的语言总结（文字语言、图形语言、符号语言）
四、提高练习
应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．
例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．
①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.
②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？
解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－ ∠A=90°－ ×60°=60°
②根据命题2的结论∠P=90°－ ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．
点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
例２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．
解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．
可以直接得：∠=×96°=3°．
点评　此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．
五、课堂小结，布置作业
(
一条内角平分线与一条外角平分线所成角
) (
两条内角平分线所成角
) (
两条外角平分线所成角
)
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