华东师大版七年级下册数学 9.2 多边形的内角和与外角和课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
多边形的内角和与外角和
问题的指出
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
1
2
3
A
B
C
D
E
4
5
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？
如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
C
A
B
D
1
2
3
4
因为∠1+∠DAB＝∠2+∠CBA＝∠3+∠DCB＝∠4+∠ADC＝180°
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°（四边形内角和等于360°）
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
四边形的外角和等于360°.
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.
360°
360°
360°
360°
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
多边形的外角和
多边形的内角和
多边形的内角与外角的总和
n
…
5
4
3
多边形的边数
3×180°＝540°
(n－2)·180°
…
n·180°
…
…
4×180°＝720°
5×180°＝900°
180°
360°
540°
360°
360°
360°
360°
结论：n边形的内角与外角的总和为n·180°；
n边形的内角和为(n-2)·180°；
那么多边形的外角和为
n·180°－(n－2)·180°
因此,任意多边形的外角和都为360°.
注：多边形的外角和与边数无关.
=n·180°－n·180°+360°=360°
［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
例题赏析
(n－2)·180°,外角和等于360°，
所以：(n－2)·180=3×360
解得：n=8
答:这个多边形是八边形.
例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.
分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°.
设一个外角为x°，则内角为(x+36)°
因为多边形的内角与相邻的外角互补；
所以 x+x+36=180
解得 x=72
360÷72=5
答 这个多边形的五边形.
解
练习：
1.一个多边形的外角都是45°，则这个多边形是几边形？
2．多边形的每个外角都是相邻内角的 ，则此多边形是几边形？内角和、外角和分别是多少？
1
3
例3 (1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n边形呢？
(1)四边形有两条对角线，
(2)如图，以A为端点的对角线有两条AC、AD同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n－3)条，那么n个顶点就有n(n－3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n边形一共有 条对角线.
n(n－3)
2
A
B
D
E
C
解:
例4 已知多边形的内角和等于1440°，
求(1)这个多边形的边数，
(2)过一个顶点有几条对角线，
(3)总对角线条数.
答 这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线.
(1)(n－2)·180°=1440°
(2)n－3=10－3=7
(3)
n(n－3)
2
＝
10(10－3)
2
＝35
n=10
解 设这个多边形是n边形
1、一个十边形的每一个内角都相等，
那么这个十边形的每一外角等于( )
A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18°
2、一个多边形每一个外角都等于45°，
则这个多边形的内角和等于( )
A、 720° B、 675° C、 1080°D、945°
C
C
巩固练习：
3．若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______．
4．如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_______．
5．一个多边形的每个外角都是12°，则这个多边形是________边形．
6．正n边形的一个内角为120°,那么n为( )
A．5　　 B．6 C．7 D．8
自测题:
4
160°
30
B
在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.
思考题
设四边形的四个内角的度数分别为：α°,β°,γ°,δ°,
则α+β+γ+δ=360°，
理由是：
α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，
否则α、β、γ、δ都大于90°.
α+β+γ+δ＞360°.
同理最多能有三个角小于90°.
课堂练习:
1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：
360÷60=6 .答:这个多边形是六边形.
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
解：设这个正多边形的一个内角为x°，
由题图得：3x=360. x=120.
再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=(n－2)×180°. 解得n=6 . 答:(略)
小 结
1、什么是多边形？多边形的外角？外角和？
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
2、n边形的内角和与外角和是多少？
n边形的内角和等于(n － 2) 180°
多边形的外角和都等于360°
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组
成的角叫做这个多边形的外角..
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，
它们的和叫做这个多边形的外角和..
1.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的 ，求这个多边形的边数；
2.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数.
2
3