2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（下）

课件24张PPT。2.1.2空间中直线与直线
之间的位置关系（下）湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作4.?空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。a∥b
c∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?问：垂直于同一条直线的两条直线，有几种位置关系——有三种：相交，平行，异面例题示范例2： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：
EH ∥BD且EH ＝ BD
FG ∥BD且FG ＝ BD例题示范例2： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。变式： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?EHFG分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形补充例题:?如图， 是平面 外的一点 分别是
的重心，
求证： 。 证明：连结 分别交
于 ,连结 ,
∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,
∴MN//BD,
又∵

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.
练习：1．判断题　　
（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）　　
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）　　
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）　　
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） √√××2.选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）　　
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）　　
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对　　
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）　　
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线　　
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 　　
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )　　
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面　　D C A D 5.?等角定理提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？等角定理1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.推论1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.5、等角定理推论2:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.6.?异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'?和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。想一想:a'与b'?所成角的大小与点O的位置有关吗?6.?异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。两条异面直线所成角的范围为
与两条异面直线的都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线
则两异面直线的公垂线有几条?
两条直线互相垂直，它们一定相交吗？（00，900］有且只有一条不一定，还可能异面探究：右图中有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
请说出其中的3对 垂直于同一条直线的两条直线是否平行 ——不一定，可能是平行直线，也可能是相交直线，也可能是异面直线。请对照右图说明。如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？一定垂直例题示范例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA‘?和CC’?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？ 解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，例题示范解：（2）由 可知，
等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 BA '和CC’
的夹角为450 。 (3) 直线分别与直线 都垂直.例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA '和CC’?的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA'?垂直？ 求两条异面直线所成的角的一般步骤：（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常用三角形中位线、平行四边形性质）作出异面直线所成的角。（2）证明：证明作出的角就是要求的角.（3）计算：求角度，常利用三角形（4）结论：若求出的角是锐角或指教，则它就是所求异面直线补充例题 如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,
AB= a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.CBADA1B1C1D1aa练习反馈：1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ?）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行?.?（ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.????（ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.?（???）????√×√√××练习反馈：2．选择题
?（1）“a，b是异面直线”是指?①?a∩b=Φ,且a不平行于b；②?a ì平面a，bì平面b且a∩b=Φ ③?a?ì平面a，b??平面a?④?不存在平面a，能使a?ìa且b?ìa成立
上述结论中，正确的是 （???）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （???）
?（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对CC（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（??）
?（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
?（C）可能是平行直线
（D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(? )
（A）平行 （B）相交
（C）异面 （D）相交或异面3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？???答：不一定，还可能异面．DD4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．6．选择题
?（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （? ）
?（A）异面 （B）平行
（C）相交 （D）以上都有可能??
（2）异面直线a,b满足a?ìa,b?ìb,a∩b=l,
则l与a,b的位置关系一定是（? ）(A)l至多与a，b中的一条相交;
(B)l至少与a，b中的一条相交;
(C)l与a,b都相交;
(D)l至少与a，b中的一条平行.DB（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ）
（A）（0°,90°） （B）[0°,90°)
（C）（0°,90°] （D）[0°,90°]7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
?（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行???????????（???）
?（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变???????（??）
?（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形?????????????????（???）C×√×课堂小结：作业布置:
P51　A组3、4（1）（2）（3）、5、6.