湖南省长沙市雨花外国语学校2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021八下·吉林期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．9，40，41 C．3，4，5 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ 52+122=132，∴ 能作为直角三角形三边长，故A不符合题意；
B、∵ 92+402=412，∴ 能作为直角三角形三边长，故B不符合题意；
C、∵ 32+42=52，∴ 能作为直角三角形三边长，故C不符合题意；
D、∵ 22+32≠42，∴ 不能作为直角三角形三边长，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2021八下·长沙开学考）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2
C．（a2）3＝a5 D．a12÷a3＝a4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2 a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项符合题意；
C、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D、a12÷a3＝a9，故本选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断A；根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断B；根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断D.
3．（2021八下·长沙开学考）下列二次根式中，（ ）是最简二次根式.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C、，的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
4．（2020八下·成都期中）△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，若AB=6，则AC=（ ）
A．6 B．8 C．5 D．13
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠C＝∠B，
∴AC＝AB＝6．
故答案为：A．
【分析】由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可．
5．（2020八上·河西期末）如果把分式 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的3倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，
则
故答案为：A．
【分析】把x和y的值都扩大为原来的3倍，再根据分式的性质计算，即可得答案．
6．（2021八下·长沙开学考）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：+1的倒数是.
故答案为：C.
【分析】根据1除以一个数等于这个数的倒数可得+1的倒数是，然后给分子、分母同时乘以-1分母有理化即可.
7．（2021八下·长沙开学考）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（ ）
A．16 B．20 C．20 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，
∴CD＝3，EF＝6，
利用平移的性质可得，AG＝AB＋CD＋EF＝12，GF＝BC＋DE＝16，
在Rt△AGF中，
AF＝＝＝20.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，由已知易得CD＝3，EF＝6，利用平移的性质可得AG＝AB＋CD＋EF＝12，GF＝BC＋DE＝16，然后在Rt△AGF中，利用勾股定理求解即可.
8．（2021八下·长沙开学考）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长DC到E，使CE＝AD，连接BE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BCE+∠DCB＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴∠1＝∠2，DB＝BE＝7，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴，
∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，
∴
∴Rt△ADC的周长＝AD+DC+AC，
＝CE+CD+AC＝DE+AC＝.
故答案为：D.
【分析】延长DC到E，使CE＝AD，连接BE，根据四边形内角和为360°可得∠DAB+∠DCB＝180°，由邻补角的性质可得∠BCE+∠DCB＝180°，则∠BCE＝∠BAD，证明 △ADB≌△CEB，得到∠1＝∠2，DB＝BE＝7，推出△DBE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出DE，AC，据此求解.
9．（2021八下·长沙开学考）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴S△BDE=S△FDE（等底等高的三角形面积相等）
同理S△DAF=S△EFC=S△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得DF为△ABC的中位线，则DF∥BC，DF＝BC，根据线段中点的概念可得BE＝BC，则DF＝BE，根据等底等高的三角形面积相等可得S△BDE=S△FDE，同理S△DAF=S△EFC=S△FED，则可推出S△DEF＝S△ABC，据此解答.
10．（2021八下·长沙开学考）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（ ）
A．81 B．64 C．47 D．30
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+3x+1＝0，
∴x+3+＝0，
∴x+＝﹣3，
∴（x+）2＝9，
∴x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
∴（x2+）2＝49，
∴x4+2+＝49，
∴x4+＝47.
故答案为：C.
【分析】根据x2＋3x＋1＝0，可以得到x+的值，然后平方变形，再平方，再变形，即可求得所求式子的值．
11．（2021八下·长沙开学考）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据提速前列车的平均速度为，得提速后的速度为，列车用相同时间比提速前多行驶，列方程得.
故答案为：A.
【分析】根据时间等于路程除以速度，分别表示出提速前行驶400km所用的时间及提速后行驶500km所用的时间，然后根据时间相同就可列出方程.
12．（2021八下·长沙开学考）观察下列运算
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）
A．32022﹣1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数），
∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，
∴32021+32020+…+33+32+3+1＝，
∴32021+32020+…+33+32+3＝.
故答案为：D.
【分析】观察等式得一般性规律，再用规律得（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，据此即可得所求式子的结果.
二、填空题
13．（2021八下·长沙开学考）若点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，n），则m+n的值是 .
【答案】3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；有理数的加法
【解析】【解答】解：∵点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，n），
∴m＝2，n＝1，
故m+n＝3.
故答案为：3.
【分析】根据关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得m、n的值，然后利用有理数的加法法则进行计算.
14．（2019·潮南模拟）若分式 有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥﹣1且x≠2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2，
故答案为x≥﹣1且x≠2．
【分析】分式有意义的条件，即分母不等于0.且分子二次根式≥0.列出不等式 求解即可。
15．（2017八下·蚌埠期中）在实数范围内分解因式：x4﹣9= ．
【答案】（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：x4﹣9=（x2）2﹣32=（x2﹣3）（x2+3）=（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）．
故答案为：（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）．
【分析】根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．
16．（2021八下·长沙开学考）如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE.如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝ .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质知：PB＝PB′，若点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，由题意知：如图所示，连接AD，BB′
由折叠的性质可知AB＝AB′＝3，BE=B′E，
∴∠EBB′=∠EB′B，
∵PB=PB'，
∴∠PBB′=∠PB′B，
∴∠EBP=∠EB′P，
∵四边形ABDC是矩形，
∴BD⊥CD，∠C=∠BDC=∠ABD=90°，CD=AB=3，AC=BD
∴BD∥B′P，
∴∠EB'P=∠DEB′，
∴∠DEB′=∠EBP，
∴BP∥B′E，
∴四边形PB′EB是平行四边形，
∴
在直角三角形ABD中，
∴，
在直角三角形ACB'中，
∴，
设，则，
在直角三角形DEB'中，
∴
解得：
PB＝，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质知：PB＝PB′，由题意可得PB′⊥CD，连接AD，BB′，则AB＝AB′＝3，BE=B′E，∠EBB′=∠EB′B，根据等腰三角形的性质可得∠PBB′=∠PB′B，得到∠EBP=∠EB′P，由矩形的性质可得BD⊥CD，∠C=∠BDC=∠ABD=90°，CD=AB=3，AC=BD，根据平行线的性质可得∠EB'P=∠DEB′，∠DEB′=∠EBP，推出BP∥B′E，得到四边形PB′EB是平行四边形，由勾股定理求出B'D，CB'，进而得到DB'，设PB=BE=B′E=x，则DE=-x，由勾股定理求出x，据此可得PB.
三、解答题
17．（2021八下·长沙开学考）计算：（）0﹣（1+）2÷（﹣）﹣2.
【答案】解：原式＝1+2﹣（2+4）÷4，
＝1+2﹣﹣1，
＝.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、完全平方公式及二次根式的性质分别计算，再合并同类项即可.
18．（2021八下·长沙开学考）先化简，再求值.先化简：÷（1﹣），再求值，其中a＝﹣1.
【答案】解：原式＝÷
＝﹣
＝﹣，
当a＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
19．（2021八下·长沙开学考）作图题：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，3），点B（5，1），如果在x轴上有一点C，使AC+BC最短.
（1）请你在图中画出点C的位置；（保留作图痕迹）
（2）求出AC+BC的最小值.
【答案】（1）解：作点B关于x轴的对称点 ，连接AB′交x轴于C，连接BC，点C即为所求作
如图，点C即为所求作；
（2）解：∵点B（5，1），点B关于x轴的对称点 ，
∴ ， ，
∵点A（1，3），
∴AC+BC的最小值等于 .
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）作点B关于x轴的对称点B′ ，连接AB′交x轴于C，连接BC，点C即为所求作；
（2）易得B′（5，-1），BC=B′C， 此时AC+BC=AC+B'C=AB'最短， 然后利用两点间距离公式求解即可.
20．（2021八下·长沙开学考）列分式方程解应用题：一批“新冠”疫苗的生产，先由A制药厂单独生产一个月完成总量的三分之一，为了加快生产进度，这时，B制药厂加入生产，两个药厂又共同工作了半个月，生产全部完成.求B制药厂单独生产这批疫苗需要几个月完成？
【答案】解：设B制药厂单独生产这批疫苗需要x个月完成，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：B制药厂单独生产这批疫苗需要1个月完成.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设B制药厂单独生产这批疫苗需要x个月完成，则A一个月的完成量为，A、B制药厂 半个月的完成量为×+×，接下来结合总量为1建立方程，求解即可.
21．（2019八上·宁化月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
【答案】解：连接AC，
∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴AC＝ ，且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2＋AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD＋∠CAB＝135°．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接AC， 根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出AC的长及∠CAB的度数，再根据勾股定理的逆定理，得出∠CAD＝90°， 即可求出∠A的度数．
22．（2021八下·长沙开学考）代数证明题：已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca，如果△ABC的三边长是a，b，c，求证△ABC是等边三角形.
【答案】证明： ∵a2+b2+c2＝ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca
∴ 2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac =0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ca+a2） =0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2 =0
根据非负数的性质得，（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0，
可知a＝b＝c，
故这个三角形是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】首先给已知等式两边同时乘以2，然后将右边的式子移至左边，利用完全平方公式变形可得
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 =0，根据偶次幂的非负性可得a-b=0，b-c=0，c-a=0，推出a＝b＝c，据此判断.
23．（2021八下·长沙开学考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：△AEF≌△FDA.
【答案】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠AFD＝∠FAE，
在△AEF与△FDA中，
，
∴△AEF≌△FDA（AAS）.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，根据等边三角形的性质得AB＝2AF，则AF＝BC，证明Rt△AFE≌Rt△BCA，据此可得结论；
（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，则∠DAB＝90°，推出EF∥AD，根据AC＝EF，AC＝AD，可得EF＝AD，则四边形ADFE是平行四边形，得到∠AFD＝∠FAE，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
24．（2020八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒.
（1）
出发2秒后，求△ABP的周长.
（2）
问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）
另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【答案】（1） 解：如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝ ＝ ，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+ ＝7 .
（2） 解：①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝ ＝ ＝1.8，
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3） 解：如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由勾股定理求得AC＝4，根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后可求得AP的长，再根据勾股定理求得PB的长，则三角形的周长可求解；
（2）由题意可分两种情况： ①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP；
②若P在AB边上时，有三种情况：
第一种： 若使BP＝CB，结合题意可求解；
第二种：若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，结合题意可求解；
第三种：若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分可得关于t的方程，解方程可求解；
②当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分可得关于t的方程，解方程可求解.
25．（2021八下·长沙开学考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6.
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6.
【答案】（1）解：x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）解：x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）.
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）将 7x拆分为 x 6x，分组后第一组提取公因式后再利用平方差公式分解，第二组利用提取公因式法分解，然后整体提取公因式法分解后，再利用十字相乘法分解，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
1 / 1湖南省长沙市雨花外国语学校2020-2021学年八年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021八下·吉林期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．9，40，41 C．3，4，5 D．2，3，4
2．（2021八下·长沙开学考）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2
C．（a2）3＝a5 D．a12÷a3＝a4
3．（2021八下·长沙开学考）下列二次根式中，（ ）是最简二次根式.
A． B． C． D．
4．（2020八下·成都期中）△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，若AB=6，则AC=（ ）
A．6 B．8 C．5 D．13
5．（2020八上·河西期末）如果把分式 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的3倍 D．不变
6．（2021八下·长沙开学考）的倒数是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
7．（2021八下·长沙开学考）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（ ）
A．16 B．20 C．20 D．24
8．（2021八下·长沙开学考）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
9．（2021八下·长沙开学考）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2.
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2021八下·长沙开学考）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（ ）
A．81 B．64 C．47 D．30
11．（2021八下·长沙开学考）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021八下·长沙开学考）观察下列运算
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）
A．32022﹣1 B． C． D．
二、填空题
13．（2021八下·长沙开学考）若点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，n），则m+n的值是 .
14．（2019·潮南模拟）若分式 有意义，则x的取值范围为 ．
15．（2017八下·蚌埠期中）在实数范围内分解因式：x4﹣9= ．
16．（2021八下·长沙开学考）如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE.如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝ .
三、解答题
17．（2021八下·长沙开学考）计算：（）0﹣（1+）2÷（﹣）﹣2.
18．（2021八下·长沙开学考）先化简，再求值.先化简：÷（1﹣），再求值，其中a＝﹣1.
19．（2021八下·长沙开学考）作图题：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，3），点B（5，1），如果在x轴上有一点C，使AC+BC最短.
（1）请你在图中画出点C的位置；（保留作图痕迹）
（2）求出AC+BC的最小值.
20．（2021八下·长沙开学考）列分式方程解应用题：一批“新冠”疫苗的生产，先由A制药厂单独生产一个月完成总量的三分之一，为了加快生产进度，这时，B制药厂加入生产，两个药厂又共同工作了半个月，生产全部完成.求B制药厂单独生产这批疫苗需要几个月完成？
21．（2019八上·宁化月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
22．（2021八下·长沙开学考）代数证明题：已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca，如果△ABC的三边长是a，b，c，求证△ABC是等边三角形.
23．（2021八下·长沙开学考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
（1）求证：AC＝EF；
（2）求证：△AEF≌△FDA.
24．（2020八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒.
（1）
出发2秒后，求△ABP的周长.
（2）
问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）
另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
25．（2021八下·长沙开学考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6.
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ 52+122=132，∴ 能作为直角三角形三边长，故A不符合题意；
B、∵ 92+402=412，∴ 能作为直角三角形三边长，故B不符合题意；
C、∵ 32+42=52，∴ 能作为直角三角形三边长，故C不符合题意；
D、∵ 22+32≠42，∴ 不能作为直角三角形三边长，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a2 a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项符合题意；
C、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D、a12÷a3＝a9，故本选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断A；根据积的乘方法则“积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断B；根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断D.
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C、，的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠C＝∠B，
∴AC＝AB＝6．
故答案为：A．
【分析】由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可．
5．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，
则
故答案为：A．
【分析】把x和y的值都扩大为原来的3倍，再根据分式的性质计算，即可得答案．
6．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：+1的倒数是.
故答案为：C.
【分析】根据1除以一个数等于这个数的倒数可得+1的倒数是，然后给分子、分母同时乘以-1分母有理化即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，
∴CD＝3，EF＝6，
利用平移的性质可得，AG＝AB＋CD＋EF＝12，GF＝BC＋DE＝16，
在Rt△AGF中，
AF＝＝＝20.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，由已知易得CD＝3，EF＝6，利用平移的性质可得AG＝AB＋CD＋EF＝12，GF＝BC＋DE＝16，然后在Rt△AGF中，利用勾股定理求解即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长DC到E，使CE＝AD，连接BE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BCE+∠DCB＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴∠1＝∠2，DB＝BE＝7，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴，
∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，
∴
∴Rt△ADC的周长＝AD+DC+AC，
＝CE+CD+AC＝DE+AC＝.
故答案为：D.
【分析】延长DC到E，使CE＝AD，连接BE，根据四边形内角和为360°可得∠DAB+∠DCB＝180°，由邻补角的性质可得∠BCE+∠DCB＝180°，则∠BCE＝∠BAD，证明 △ADB≌△CEB，得到∠1＝∠2，DB＝BE＝7，推出△DBE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出DE，AC，据此求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴S△BDE=S△FDE（等底等高的三角形面积相等）
同理S△DAF=S△EFC=S△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得DF为△ABC的中位线，则DF∥BC，DF＝BC，根据线段中点的概念可得BE＝BC，则DF＝BE，根据等底等高的三角形面积相等可得S△BDE=S△FDE，同理S△DAF=S△EFC=S△FED，则可推出S△DEF＝S△ABC，据此解答.
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+3x+1＝0，
∴x+3+＝0，
∴x+＝﹣3，
∴（x+）2＝9，
∴x2+2+＝9，
∴x2+＝7，
∴（x2+）2＝49，
∴x4+2+＝49，
∴x4+＝47.
故答案为：C.
【分析】根据x2＋3x＋1＝0，可以得到x+的值，然后平方变形，再平方，再变形，即可求得所求式子的值．
11．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据提速前列车的平均速度为，得提速后的速度为，列车用相同时间比提速前多行驶，列方程得.
故答案为：A.
【分析】根据时间等于路程除以速度，分别表示出提速前行驶400km所用的时间及提速后行驶500km所用的时间，然后根据时间相同就可列出方程.
12．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数），
∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，
∴32021+32020+…+33+32+3+1＝，
∴32021+32020+…+33+32+3＝.
故答案为：D.
【分析】观察等式得一般性规律，再用规律得（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，据此即可得所求式子的结果.
13．【答案】3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；有理数的加法
【解析】【解答】解：∵点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A的坐标是（m，n），
∴m＝2，n＝1，
故m+n＝3.
故答案为：3.
【分析】根据关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得m、n的值，然后利用有理数的加法法则进行计算.
14．【答案】x≥﹣1且x≠2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2，
故答案为x≥﹣1且x≠2．
【分析】分式有意义的条件，即分母不等于0.且分子二次根式≥0.列出不等式 求解即可。
15．【答案】（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：x4﹣9=（x2）2﹣32=（x2﹣3）（x2+3）=（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）．
故答案为：（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）．
【分析】根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质知：PB＝PB′，若点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，由题意知：如图所示，连接AD，BB′
由折叠的性质可知AB＝AB′＝3，BE=B′E，
∴∠EBB′=∠EB′B，
∵PB=PB'，
∴∠PBB′=∠PB′B，
∴∠EBP=∠EB′P，
∵四边形ABDC是矩形，
∴BD⊥CD，∠C=∠BDC=∠ABD=90°，CD=AB=3，AC=BD
∴BD∥B′P，
∴∠EB'P=∠DEB′，
∴∠DEB′=∠EBP，
∴BP∥B′E，
∴四边形PB′EB是平行四边形，
∴
在直角三角形ABD中，
∴，
在直角三角形ACB'中，
∴，
设，则，
在直角三角形DEB'中，
∴
解得：
PB＝，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质知：PB＝PB′，由题意可得PB′⊥CD，连接AD，BB′，则AB＝AB′＝3，BE=B′E，∠EBB′=∠EB′B，根据等腰三角形的性质可得∠PBB′=∠PB′B，得到∠EBP=∠EB′P，由矩形的性质可得BD⊥CD，∠C=∠BDC=∠ABD=90°，CD=AB=3，AC=BD，根据平行线的性质可得∠EB'P=∠DEB′，∠DEB′=∠EBP，推出BP∥B′E，得到四边形PB′EB是平行四边形，由勾股定理求出B'D，CB'，进而得到DB'，设PB=BE=B′E=x，则DE=-x，由勾股定理求出x，据此可得PB.
17．【答案】解：原式＝1+2﹣（2+4）÷4，
＝1+2﹣﹣1，
＝.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、完全平方公式及二次根式的性质分别计算，再合并同类项即可.
18．【答案】解：原式＝÷
＝﹣
＝﹣，
当a＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
19．【答案】（1）解：作点B关于x轴的对称点 ，连接AB′交x轴于C，连接BC，点C即为所求作
如图，点C即为所求作；
（2）解：∵点B（5，1），点B关于x轴的对称点 ，
∴ ， ，
∵点A（1，3），
∴AC+BC的最小值等于 .
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）作点B关于x轴的对称点B′ ，连接AB′交x轴于C，连接BC，点C即为所求作；
（2）易得B′（5，-1），BC=B′C， 此时AC+BC=AC+B'C=AB'最短， 然后利用两点间距离公式求解即可.
20．【答案】解：设B制药厂单独生产这批疫苗需要x个月完成，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：B制药厂单独生产这批疫苗需要1个月完成.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设B制药厂单独生产这批疫苗需要x个月完成，则A一个月的完成量为，A、B制药厂 半个月的完成量为×+×，接下来结合总量为1建立方程，求解即可.
21．【答案】解：连接AC，
∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴AC＝ ，且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2＋AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD＋∠CAB＝135°．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 连接AC， 根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出AC的长及∠CAB的度数，再根据勾股定理的逆定理，得出∠CAD＝90°， 即可求出∠A的度数．
22．【答案】证明： ∵a2+b2+c2＝ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca
∴ 2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac =0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ca+a2） =0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2 =0
根据非负数的性质得，（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0，
可知a＝b＝c，
故这个三角形是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】首先给已知等式两边同时乘以2，然后将右边的式子移至左边，利用完全平方公式变形可得
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 =0，根据偶次幂的非负性可得a-b=0，b-c=0，c-a=0，推出a＝b＝c，据此判断.
23．【答案】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠AFD＝∠FAE，
在△AEF与△FDA中，
，
∴△AEF≌△FDA（AAS）.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，根据等边三角形的性质得AB＝2AF，则AF＝BC，证明Rt△AFE≌Rt△BCA，据此可得结论；
（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，则∠DAB＝90°，推出EF∥AD，根据AC＝EF，AC＝AD，可得EF＝AD，则四边形ADFE是平行四边形，得到∠AFD＝∠FAE，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
24．【答案】（1） 解：如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝ ＝ ，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+ ＝7 .
（2） 解：①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝ ＝ ＝1.8，
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3） 解：如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由勾股定理求得AC＝4，根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后可求得AP的长，再根据勾股定理求得PB的长，则三角形的周长可求解；
（2）由题意可分两种情况： ①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP；
②若P在AB边上时，有三种情况：
第一种： 若使BP＝CB，结合题意可求解；
第二种：若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，结合题意可求解；
第三种：若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分可得关于t的方程，解方程可求解；
②当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分可得关于t的方程，解方程可求解.
25．【答案】（1）解：x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）解：x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）.
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】（1）将 7x拆分为 x 6x，分组后第一组提取公因式后再利用平方差公式分解，第二组利用提取公因式法分解，然后整体提取公因式法分解后，再利用十字相乘法分解，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
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