华东师大版七年级下册数学 9.1.2 三角形的内角和与外角和 教案

多边形的内角和与外角和
课程名称：几何
案例名：选地砖
一、案例背景
该班生源较好，主要表现在两个方面；第一是上课思路相对集中，不容易被其它同学讲话，相互干扰等外因打断自己思考问题的思路。第二发散性思维能力较强。主要表现在学生思考某一问题时能够从不同的侧面、不同的角度发表自己的看法和观点。对于同一个命题，学生能分清题设和结论部分，并有部分学生具有逆向思维能力。但在该班仍有少部分学生学习态度不够端正，学习习惯也不是很好，从而造成数学思维能力、计算能力等不是很强。
教师希望通过这堂课的学习使成绩优良的学生进一步锻炼和发展自己的思维能力，使少部分成绩较差的学生在分层教学和分小组讨论的过程中也能体会学习的乐趣，使全班同学不仅学会多边形内角和的应用，而且要学会发现问题、分析问题、研究问题和解决问题的思维方式和方法。
基于这样的现状，教师在课前做了大量的准备工作。首先布置所有同学进行《多边形内角和》的认真预习，其次，课堂上的位置也是精心编排的。让每组中都有不同层次的同学，希望培养学生的团队精神与合作意识。再次，对于课堂内容，教师进行了目标分层、问题分层、习题分层，并且该课的习题也精心设计有练习题和思考题，练习题是每位同学必须完成的，较难的思考题是选做的。教师希望学生要学会数学知识，但更重要的是学会如何学习。
二、教育过程
（一）新课导入
1、选地砖
“哦，挑那一种地砖好呢？”太太叹了口气。画面上一对年轻夫妇正在挑选装修地板的瓷砖。面对着琳琅满目的瓷砖，他们既希望色彩称心，又希望形状独特别致。
这时候，专业设计师走来向他们推荐。在初步商量之后，设计师向他们展示了三幅不同的拼花图案。
2、调查研究
T：这三幅图案是同学们在日常生活中经常可以看到的。请大家观察一下这三种图案都是由哪些基本图形组成的？有没有同学知道？
S1：第一幅图是由六边形组成的。
T：回答很好，六边形。那第二幅图呢？
S2：五边形与三角形。
T：五边形吗？也是六边形，对，还有吗？这是什么？
S1：三角形。
T：第三幅图呢？
S3：正方形。
T： （微笑）正方形。还有这是什么，几边形？
S3：六边形。
T：六边形吗？
S：八边形。
T：八边形，很好，请坐。
这三幅图我们观察出分别是由边和角相等的三角形、四边形、六边形和八边形所组成的。好，现在呢，我们以第一个图为例。（图1放大）
请大家思考一下，为什么用这样的六边形能拼出平整的没有空隙的平面图形呢？为什么？我们应从哪一些量上去考虑？边相等吗？
S齐：边相等。
T：边都相等，内角怎么样？
S齐：都相等。
T：每个角都相等，而且你看共顶点的三个内角可以形成一个什么角。
S齐：周角。
T：三个内角可以形成，可以拼成平整的没有空隙的平面，对不对？好，那有同学肯定要问了，如果用内角相等，边也相等的七边形可不可以拼成这样的没有空隙的平面图形呢？可不可以？可以？不可以？为什么？（七边形的展示）
我们可以从两个角度来考虑。首先看它的边，边长都相等，这有问题吗？
S齐：没问题。
T：那和角有关的关键是什么？关键是几个七边形的内角能不能拼成一个周角，也就是说七边形的内角度数是不是360的约数？好，也就是说我们要求七边形的内角和。这就是我们今天要研究的一个课题——多边形的内角和。（板书）
好，我们再回到刚才的问题，我们知道这样的六边形可以拼成平整的没有空隙的平面图形。那么，六边形的内角和是多少呢？我们以任意的六边形为例，请大家想想看这样任意的六边形的内角和如何来求呢？朱萍知道了。
（二）分割思想
S3：可以把它分割为一个个的小三角形。
T：（微笑）噢，可以把它分割为一个个的小三角形。为什么要把它分割为一个个的小三角形呢？
S3：我们知道三角形的内角和是180°，就可以利用周角和三角形的内角和来求出六边形的内角和。
T：非常好我们已经知道了三角形内角和是180°，其实我们还知道四边形的内角和是
360°，我们可以将这个六边形分割成三角形和四边形，利用三角形内角和定理和四边形的内角和定理来研究六边形的内角和。
（三）分割方法
现在我们四个同学一组，请每组同学一起讨论，看看哪一组同学把这个六边形分割成三角形或四边形，看哪一组同学方法最多。然后请同学到黑板上来演示一下。
教师走到朱萍同学这一组，（小组成员：A——施安伦，——万钧，——陈裕，C——朱萍）发现学习成绩较差的施安伦在说自己的想法，要求把分割点放在多边形的内部。接下来万钧和朱萍认为分割点还能放在顶点上，施安伦想了一下。这时教师微微一笑正想开口，施安伦叫到：“我知道，我知道，还可以把分割点放在多边形的外部。”“很好，施安伦非常聪明。”教师说。随即教师就到别组进行讨论指导了。
现在我们看哪个小组同学首先上来演示给同学看一下，有没有？现在我们看一下：（分别请五位同学）
图一 图二 图三
图四 图五
T：同学们观察一下，这些分割后的三角形的公共顶点都落在六边形的什么部分？（教师指着图一、图三、图五）
S7：分割后的三角形的顶点分别落在六边形的内部、顶点上和边上。
T：（微笑）分割后的三角形的公共顶点还能落在什么位置呢？
S7：公共顶点还能落在六边形的外部。
T：对，外部。请哪一位同学上来展示一下。
图六
T：如果不考虑分割后三角形公共顶点的位置，除了以上分割方法之外，还有没有其它的分割方法？
S3：还有。（走到黑板上演示）
图七 图八
（四）分类比较
T：同学们，我们对以上所分割的所有图形做一个分类。（教师指着图一到图八）
S：（同学思考后分类如下）我们可以分为三类：第一类把六边形分成三角形；第二类把六边形分成三角形和四边形；第三类把六边形分成四边形。
T：在这些分割方法中，哪些较好，对我们计算六边形内角和比较方便？
S7：我认为是第四种。
T：为什么？
S7：因为这样分割次数最少，仅用一次分割就把六边分为两个四边形。
T：请你把七边形分为几个四边形，好吗？
S7：（沉思片刻，自言自语）这种分割方法对六边形适用，可是对七边形不适用。
T：还有没有同学认为其它方法比较好的？
S6：第三种，公共顶点取在六边形的顶点上。
T：为什么？三角形的个数和六边形的边数有何关系？适合任意多边形吗？
S6：三角形的个数等于六边形的边数减二，这种分割方法不仅适应六边形，也适应任意多边形。
T：公共顶点取在六边形的顶点上，这种方法不错，还有没有其它分割方法是比较直观的呢？
S3：还有第五种。因为三角形的个数等于六边形的边数，这种分割方法不仅适应六边形，也适应任意多边形。
（五）探寻规律
T：如果多边形的内角和计算有一定规律，那我们不用每次去分割多边形了，我们只要用它的规律来求。那么这个多边形的内角和到底是多少呢？我们下面通过列表的方式。我们从简单的多边形——四边形开始来研究它的内角和，然后用观察、猜想、归纳的方法得到多边形内角和定理。对四边形，首先取什么样的方法来分割成三角形来研究呢？用什么样的方法？在刚才两种较好的方法中，大家选哪一种？
S：第三种。
（教师启发，学生填表）
多边形 图形（略） 三角形的个数 多边形的内角和
4 2 360
5 3 540
6 4 720
… … … …
n n-2 (n-2)*180
T：现在有没有同学可以告诉我，多边形内角和定理的内容是什么呢？
S9：n边形的内角和为。
T：（微笑）多边形内角和定理：n边形的内角和为（板书）
公共顶点取在顶点上，除此之外，还可以取在多边形的内部和外部。留一个问题给大家思考：如果公共顶点取在多边形内部，边上，外部，是不是可以同样得到多边形的内角和是呢？
（六）反馈练习一
例1：22边形的内角和是多少度？
解一：
解二：
同学反映：解一错误，解二正确。
教师点评：解一产生错误的原因是没有认真理解n边形的内角和定理。
n是边数，而n边形内角和应为，并不是。
解二正确，这说明这位同学已经能掌握并应用n边形的内角和应用定理了。
例2：如果多边形内角和是，求这个多边形是几边形？
解一：
解二：设多边形的边数为x.
得一元一次方程：
解得：
教师点评：解一的方法属于算数方法
解二的方法属于代数方法，也就是列方程来解决问题。
练习一：<1>八边形的内角和是多少？
<2>十六边形的内角和是多少？
解：<1>
<2>
教师点评：十六边形的边数是八边形的两倍，但是十六边形的内角和却不是八边形内角和的两倍。
练习二：几边形的内角和是八边形的内角和的两倍？
解一：先求出八边形的内角和：
再求出两倍的八边形的内角和为：
最后可求出多边形的边数，为：
解二：设多边形的边数为n
（七）反馈练习二
T：那我们再一次说明了刚才第一小题练习是正向的说明边数是倍数关系，内角和并不是倍数关系。我们第二小题从逆向再一次说明了内角和成倍数关系，边数并不是倍数关系。好。我们来看第三题。
练习三：有一个五边形，它的四个外角分别为，求第五个内角的度数和它外角的度数？
解：四个内角度数和：
第五个内角的度数：
第五个外角的度数：
教师点评：这样的解法不错，先求出第五个内角的度数，再求出它的外角的度数。
请大家仔细观察，五边形的外角和是多少？三角形的外角和呢？四边形的外角和呢？
我们发现三角形、四边形、五边形的外角和都为，我们是不是可以猜测一下：任意一个多边形的外角和都是呢？如果是，怎么证明我们的猜测呢？
证明：n边形有n个内角对应着n个外角
内角和为
每个内角加外角为
n个内角加外角为
外角和为
得出结论：任意多边形的外角和都为，和多边形的边数无关。
解二：第五个外角的度数
第五个内角的度数：
教师点评：比较两种解法，显然解二简洁明了。所以我们不仅要记住n边形的内角和为，而且要记住任意多边形的外角和为。
例3：有一个正多边形，每个内角都是160，求它的边数？
解一：设正多边形有n条边。
则n边形的内角和为：
根据题目可以得出：
解二：每个内角和为，每个外角为
多边形外角和为
则多边形边数为：
现在我们有几个思考题留给大家。（电脑动画）
思考一：n边形的公共顶点在n边形的内部、边上和外部时，多边形内角和定理正确吗？
思考二：多边形的外角最多可以有几个是钝角？为什么？
思考三：你能选用边长均为1分米、且个内角相等的三角形、四边形、六边形、八边形拼出n种无空隙的美观平面图形吗？
（八）小结
T:下面我们对这堂课所学的内容作一个小结，今天这节课我们学了什么内容？多边形的内角和定理和外角和和它的推论。请这个女同学说说看，n边形的内角和是多少？
S6：。
T：n边形的内角和是。多边形的外角和是多少？
S齐：。
T：那再请问你，多边形的内角和和它的形状大小有没有关系？和它的边数有没有关系？
S3：多边形的内角和和它的形状大小没有关系？和它的边数有关系。
T：（赞许的微笑）多边形的内角和和它的形状大没有关系，也就是只和它的边数有关系。
T：那外角和呢？
S14：所有多边形的外角和都是3600。
T：所有多边形的外角和都是3600，外角和与多边形的边数有关系吗？与多边形的形状大小有关系吗？
S：都没关系，任意多边形的外角和都是360゜
T：我们都知道四边形是通过把它分割成了角来研究它的内角和大小的。我们今天研究多边形内角和是怎样研究分来的。我们把它分割成三角形或四边形来得到的。也就是说以后不管是三角形也好，四边形也好，五边形也好。任意的多边形都可以用这个公式来求和，是不是。好。（电脑显示小结图）。当或4的时候形成特例。课后三个思考题。
思考一：n边形的公共顶点在n边形的内部、边上和外部时，多边形内角和定理正确吗？
思考二：多边形的外角最多可以有几个是钝角？为什么？
思考三：你能选用边长均为1分米、且个内角相等的三角形、四边形、六边形、八边形拼出n种无空隙的美观平面图形吗？
三、教学法的问题
1．在本案例中，教师在课前要求学生进行预习，这样做有利于学生认知事物的思维发生发展过程吗？
A、拼成平整的没有空隙的平面图形的条件有三点：〈1〉边相等〈2〉角相等〈3〉共顶点的几个内角形成的周角。在这个过程中，如果教师不进行引导，学生能否通过自己的思考得到答案呢？
B、由七边形的内角是否为的约数引出多边形内角和的计算，你认为是否符合学生思维发展过程。
C、分割思想是求多边形内角和的关键。在案例中顺利完成这种认识上的重要飞跃的原因是预习，如果不进行课前预习，她还能完成这个思维的飞跃吗？预习对于学生认识发展过程中到底起积极作用还是消极作用呢？
2．这节课中教师采取的引入新课的方式对学生思维能力的提高有利吗？
A、教师采用情景引入的目的是什么？
B、情景教学的积极作用是什么？
C、情景教学的消极作用是什么？
D、创设购买地砖的情景能否激发学生的求知欲？
E、有无必要三幅拼花图案在引入新课时同时展出？
3．这节课中教师提问的技巧如何？这节课教师反复提问用意何在，技巧如何？
A、在同一个问题中教师还提出了许多小问题，这样能帮助学生回答问题吗？效果如何？
B、教师提问较细，你认为这有助于提高学生深层次的思维发展吗？
C、在提问的过程中教师注意了对学生学习能力的培养，如几何问题用代数方法，甚至于用方程的思想，这样做对于学生思维的发展有何作用？
4．小组讨论工作进行地如何？
A、在如何分割多边形这一问题的讨论过程中，探求性学习活动是否充分开展？
B、当教师和某组在一起讨论时，课堂上其他小组的工作进展得怎样？
C、教师让学生分组讨论，你认为每一组的水平一样吗？你上课时会把学生分组吗？
D、在分组讨论中你如何给每一个学生的参与打分？你习惯给学生打分吗？
5．本案例采取何种教学方法，有利学生思维发展吗？
A、讲授法一定导致学生机械被动的学习吗？为什么？
B、发现法是课堂教育中一种首要甚至唯一的方法吗？为什么？
C、用列表法寻找规律无疑是一种很好的归纳方法，它在学生发现、研究、解决问题的过程中有什么作用？
D、在练习部分教师引导学生探索边数与内角和的关系，边数与外角和的关系，着在教学中所处的地位如何？
6．你认为这节课学生学到了什么？
A、他们只学会了利用多边形的边数计算多边形的内角和吗？
B、学生有没有学到数学以外的知识？
C、课后思考题对于学有余力的学生开展拓展性学习的作用如何？
D、在案例中教师的教态良好。在学生回答问题的时候常用关注的目光注视着同学，即使同学回答不够完善也抱之以微笑，并参与到小组讨论中去。“微笑教育”的作用是什么？
四、教学注释
1、 这个案例呈现了初学几何的学生常感到困难的问题——如何深入掌握多边形内角和定理。学生往往知道多边形的边数能求多边形的内角和，而已知内角和不知道多边形的边数，也无法总结多边形外角和的`规律。
1、 本案例不仅使学生理解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和定理及其推论，理解其证明思路，能较熟练地运用定理求出多边形的边数，而且通过学生对多边形内角和定理的探求，培养学生探究问题的能力，这才是更重要的事情。
五、案例分析
1、预习是一种良好的学习习惯。学生的学习习惯具有较强的自觉性和稳定性，并且其大部分内容具有公认的标准。预习是学生学习的其实环节，课前预习是一种科学的学习方法，也是培养学生自学能力的有效方法之一。要求学生在每次上新课前自觉的进行预习。对要学的知识作一个初步的了解；把学习的难点、重点和不懂的地方记下来，这样在上课时就可以有的放矢地带着问题听课。
预习的过程中可以具体用划读、询读、注读、议读、比读等形式。
划读———边预习边准确的划出有关内容，便于理解、应用、查考。
询读———在预习过程中发现问题及时向别人请教。
注读———在课本的书页空白处进行批注。如不同解题方法等提出质疑。
议读———在预习过程中抓住难点，提出自己的见解，找别人商量，讨论、争辩，以求一题多解或一题一解的最佳方法。
比读———对于不同内容，相同的或相对的知识，联系自己的知识，温故而知新，加深理解。
在本案例中，有几处思维的飞跃都依赖学生的预习，如①②③这样不仅保证上课时学生注意力的集中，也对学生探求解决问题的方法有一定的帮助。但对于学生思维发生过程和思维发展过程起着一定的阻碍作用。如计算多边形的内角和需要用分割的思想方法，学生是通过自己的预习才顺利完成了这个思维上的飞跃，而教师本意是希望通过提问，在课堂上实行这种飞跃的。
如何指导学生把握预习的分寸和质量对于教师提出了新的挑战。
2、本课的引入贯彻情景教学的思想，对学生的思维变化有一定的积极影响。
它符合人类感知觉的水平的递增顺序，感知觉由低级到高级可分为三个水平：感觉水平、知觉水平和观察水平。
例如：我们对于黑板的感知觉，可以是对它的颜色；形状；软硬度；光洁度等个别属性的反映（感觉水平），进而可以是将各种个别属性组合成一个整体——“黑板”的反映（知觉水平），再进而可以是对这“整体”的更进一步的更精细的理解的反映（观察水平）。事实上这些反映是有机的融合在一起的本课引入部分充分体现和情景教学的优越性，顺利的使学生完成了从感觉水平到知觉水平到观察水平的过渡。
上课时运用电脑动画来展现六边形的不同分割，以及叫学生上黑板动手分割六边形，这样多形式地直观教学手段，特别是活动的直观教学手段，不但使课堂教学气氛更加活跃而且促使学生的注意更为稳定和集中，思维更为积极和敏锐，记忆的保持更为丰富和活跃，教学效果大大提高，这也是知觉规律在教学中的运用。
情景教学不仅符合人的认知规律，而且符合科学的发展规律。心理学讲：能够满足需要，符合兴趣的刺激物容易成为无意注意的对象，利用学生原有的知识、经验，结合学生已知的具体实例，提高了他们的学习积极性，有效的维持注意。本案例开头生动、形象同时富有启发性，容易引起学生的无意注意。故这样的开场有利于发挥无意注意的积极作用，为教学活动服务。虽然数学作为一门学科属于纯科学，但是数学起源于生活，能在生活中加以应用也是研究数学的重要目的之一。所以情景教学不但再现了数学的起源，而且使同学们了解日常生活离不开数学，从而增加了数学的应用性，提高学生学习数学的积极性。
当然情景引入有时也会有一些消极影响。在本案中对于一部分同学专注于录像中年轻夫妇挑地砖这一过程而展开讨论。讨论到自己家里的装修或对于购物的心得体会，就会造成教学上的负迁移，造成学生注意力的分散，从而影响教学效果。
本案的引入新颖别致，但在案例的完整方面还有待提高，如是否可以考虑在引入简介首先引入图1，而将图2、图3留至收尾时再展开，又如是否可以考虑杂乱无章的大理石路也是一种无规则的美，再如是否可以从蜜蜂的蜂巢这个角度着手研究正六边形？
3、本案例中分小组讨论是为了激发学生的合作学习热情。
合作学习派认为，合作是人类相互作用的基本形式之一，是人类社会赖以生存和发展的重要动力，与竞争一样，是人类生活中不可或缺的重要组成部分。合作学习以小组合作活动为主要教学形式，不仅强调生生、师生合作，而且还要求教师与教师也就所授课题进行合作设计，从而显示了令人瞩目的实效。需要指出的是，合作学习并不排斥竞争和个体化的活动，而是将之纳入了合作学习的过程之中，使它们融合统整，形成“组内合作、组间竞争、各尽其能”的格局，最大程度的发挥合作小组的作用。
在本案例中就如何分割多边形这一问题，师生之间、生生之间充分开展了探求性学习，并有利于每组四位学生相互之间的取长补短和师生间教学相长。
4、分层教学：由于种种原因的影响，班级中学生的层次差别明显，有的甚至差异悬殊。这样的现象给教师的课堂教学带来最大的困难是如何确定教学目标如何使部分同学能“吃饱”，而另外一些同学能“吃好”，各得其所。分层教学依据学生的不同层次，确定不同的教学目标和教学方式，制定课堂练习和课后作业，同时又进行分层评价，使A层同学不再害怕数学学习，B层同学跳一跳能摘到果子，同时对C层同学提出了更高的要求，以期大面积提高教学质量。
实施分层教学的基本步骤是学生分层、教学目标分层、分层施教、分层评价、分层提高。从类型上看，实施分层教学又分为显性分层和隐性分层。
本案例实施隐性分层教学主要是考虑考虑到学生年龄尚小，又为了保护较差学生的自尊心，不打击较差学生学习积极性，使他们不会因为分层过于明显而丧失对学习的信心，形成自卑心理。同时考虑在分组讨论问题时四位同学之中可以相互配合、相互帮助，使各组水平相当，保证讨论的速度基本一致，确保讨论的质量。以座位表为例，我们可以研究隐性分层的具体实施：
B2 B1 B2 B1 B2 B1 B2 B1
A C A C A C A C
B2 B1 B2 B1 B2 B1 B2 B1
A C A C A C A C
B2 B1 B2 B1 B2 B1 B2 B1
A C A C A C A C
B2 B1 B2 B1
A C A C
A是指成绩较差的同学；B1是指成绩中下的同学；
B2是指成绩中上的学生；C是指成绩优秀的同学。
上升性思维是从个别的事物和经验中，通过分析、综合、比较、归纳，概括出具有一般特征和普遍规律性的思维。例如，对某些现象的概括，对某些经验的理论上的提炼，都运用这种思维。
发散性思维：着重测量发散思维的三个品质指标：流畅性——在短时间内思维发散的数量；变通性——思维在发散方向上所表现出的变化和灵活；独特性——思维发散的新颖性，独特的程度。
如课中如何把六边形分割成三角形和四边形。被提问小组能作出的回答越多，流畅性越好，被提问小组想象的角度越多，变化性越好。被提问小组回答越新颖，则独特性越好。
差生有困难的问题：图2和图3分别有哪些基本图形组成？
七边形可不可以拼成无空隙的平面图形？
归纳出多边形的内角和定理。
练习题的解答。
差生无困难的问题：图1由哪些基本图形组成的？
把六边形分割成三角形和四边形。在众多分割方法中哪些较好？
对于差生有困难的问题，这样的安排便于组织优良生辅导中差生的活动，通常优良生的上升性思维较强而发散性思维相对较弱。如S7他愿意回答问题并选择了第四种分割方法，但他并没有考虑到分割方法的适用性与普遍性，有时计算的困难也造成了学习困难学生思维发展的障碍。
对于差生无困难问题，如六边形如何分割成三角形和四边形，从课堂反映来看，中差生的思维反而更活跃，更自由。在讨论中，差生施安伦的思维不受定式的约束，他们能够自由的把分割点放在多边形的内部、外部、边上或顶点上。对于发散思维的三大品质指标而言，中差生的变通性和独特性大。
这样实施的目的不仅在于优良生能在差生困难问题上帮助中差生，而且也可以充分调动差生的积极性，发挥他们的优势，从而增强他们的学习兴趣。
本案例中教师经常对于同一个问题提出许多小问题，经常问题较细，这不仅是在分解难点，而是对于差生实行“三多”和“三优”（即多鼓励，多辅导，多练习；优先答题，优先板演，优先面批）的具体过程，在中差生回答后，教师经常抱之以微笑和口头表扬“不错”“好”“很好”等，大大增强了差生的自信心和口头表达的勇气，使他们从“又发言”到“少发言”到“多发言”，从“被动回答”到“主动举手”。
5、本案的另一大特点是把讲授法和发现法的教学方法有机的合理的结合在一起。
讲授法是一种历史悠久的传统教学方法，是教师向学生传授文化科学知识的重要手段。它们的主要优点是教师能够很经济地同时向许多人传授知识，可以亲自向学生呈现学科的基本内容，直接鼓励学生的学习热情，可以用学生易懂的形式有效地概括学科内容。但它最大的缺陷是在教学过程中学生的注意力会逐渐下降。
我们是否因为学习被动的学习而否定讲授法呢？不。学习是有意义还是机械的并不取决于教学或学习的方式，而决定于是否满足有意义学习的心理过程和条件。此外接受学习并不一定是被动的。只要教师正确运用这种方法，它确实是一种传授人类文化知识极有效的方法。
发现法中，教师不是将学习的内容直接提供给学生，而是向学生提供一种问题情景，引导学生对情境发问并收集证据，让学生从中有所发现。发现法有利于激发学生的智慧潜力，有利于培养学生的自我激励的内在动机，有利于学会探索的技巧，有利于培养学生的责任心而且发现的结果也有利于记忆的保持。它最大的缺点在于太耗费时间，人类有着代代相传的宝贵文化遗产，放着祖先积累的知识不去学习而靠自己独立发现，显然是不必要的。
讲授法和发现法都具有独特的地位和作用，它们不是相互排斥，相互抵触的，而是相互补充，相互配合的。
本案例就很好地把这两种教学方法相结合，从选地砖开始，教师引导学生探索“为何六边形或八边形能拼出无空隙的平面”这一问题，再引导学生自己动手分割六边形，比较分割方法。在发现问题、解决问题的过程中，教师以一次又一次的提问来提醒学生，按照仔细规定的程序，把学生引上特定的正确的思想道路，使之在这条道路上自行发现规律——多边形内角和定理，而获得解答。
这两种教学方法在本案例中的运用并不是单纯的链状结构直线型，而是一种有机地网状结构立体型。在讲授提问中渗透着发现教学的思想，而在引导学生发现问题，研究问题和解决问题的过程中也离不开讲授问题。从三角形到四边形到n边形，其中有助于提高学生上升性思维和发散性思维。
6、本案例从学习动机入手，用情景引入，重视教师与学生之间的情感交流，提高学生的学习兴趣。青少年学习动机的主要内驱力成分由以下三个部分组成：认知力驱力、自我提高内驱力、亲和内驱力、自我价值感内驱力。
亲和内驱力是指个体与他人（家长、教师）亲近的心理倾向。这种心理倾向包括需要他人关心、需要友谊、需要爱情、需要他人的认可和支持等。这种内驱力与自我表现提高内驱力一样，导致的也是外在学习动机。只是满足这种动机的奖励不是学习成就之外的一定地位，而是获得同伴和长者的赞许或认可。这里必须指出的是：青少年学生与长者在情感上只有依附性；青少年学生将获得从长者的赞许或认可中引申出来的，不是由他本身成就水平决定的地位，即派生的地位；享受到这种派生地位乐趣的青少年会努力使行为符合长者的期望，以不断地获得赞许，巩固派生地位。本案例中教师多次以“好”，“很好”或微笑来鼓励学生，使学生在回答问题时不知不觉地进行师生间的情感交流，使学生在亲和内驱力的驱动下提高学习效率。
六、教学反思
1、 在分割六边形时费时较长，有无必要将分割定在顶点，边上，内部同时进入，还是应将顶点、边上、内部、外部一一例出或只举其中一到两种其余由学生课后自己思考。
1、 统观全案例，课堂中密度大，速度快，内容多，思维质高，全课渗透“精讲多练”的思想。教师为了兼顾精英学生的培养和教育帮助中差生，不仅精心编排了座位，而且仔细策划了每个问题中的每个小问题。以期精英学生和中差生互相取长补短，从而达到共同进步的目的。这样做法真的能兼顾两者思维的发展吗？