2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步练习题（Word版 附答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《1-1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，若EF＝3，BD＝8，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
3．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．五边形的内角和为720°
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．三角形的外角和为360°
4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
5．数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明：
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
甲的证法：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OB＝OD，
又∵AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD，
∴∠AOB＝∠AOD
∵∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD．
乙的证法：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OB＝OD，
∴AO⊥OB，
∴AC⊥BD．
则关于两人的证明过程，说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人都对 B．甲对，乙不对
C．乙对，甲不对 D．甲、乙两人都不对
6．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
7．下列说法中，正确的是（　　）
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
8．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形
C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形
9．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．2 B．8 C．8 D．12
10．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断 ABCD是菱形的为（　　）
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC
11．已知菱形的边长为4，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长为　 　．
12．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件　 　，则四边形ABCD为菱形．
13．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为　 　．
14．一组邻边相等且对角线　 　的四边形是菱形．
15．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．
17．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　 　°时，四边形BECD是菱形．
18．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，
（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．
19．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD．
（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：
性质1：　 　；性质2：　 　．
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD＝4，
∴∠AOB＝90°，
∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝6，
∴OA＝3，
∴AB＝＝＝5，
即菱形ABCD的边长为5，
故选：D．
2．解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
3．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴选项B不符合题意；
C、∵一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵三角形的外角和为360°，
∴选项D符合题意；
故选：D．
4．解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OB＝OD，
又∵AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（SSS），
∴∠AOB＝∠AOD
∵∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD．
即甲的证法正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OB＝OD，
∴AO⊥OB，
∴AC⊥BD．
即乙的证法正确；
故选：A．
6．解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴BC＝AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；
即菱形ABCD的较大内角度数为120°；
故选：B．
7．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵四边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
9．解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AD＝＝2，
∴菱形的周长＝4AD＝8；
故选：C．
10．解：选项A，由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故A不符合题意；
选项B，由 ABCD中AO＝BO可推得AC＝BD，可以证明 ABCD为矩形，但不能判定 ABCD为菱形，故B不符合题意；
选项C，当∠AOB＝∠BOC时，由于∠AOB+∠BOC＝180°，故∠AOB＝∠BOC＝90°，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
选项D，由平行四边形的性质可知，∠BAD+∠ABC＝180°，故当∠BAD＝∠ABC时，∠BAD＝∠ABC＝90°，从而可判定 ABCD为矩形，故D不符合题意．
综上，只有选项C可以判定 ABCD是菱形．
故选：C．
11．解：∵菱形的边长为4，一个内角为60°，
∴AB＝BC，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
即这个菱形的较短的对角线长为4，
故答案为：4．
12．解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
13．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
14．解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为：互相平分．
15．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的面积＝BG×AB＝×6＝；
故答案为：．
16．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝50°，AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝130°，
∵四边形BECD是菱形，
∴BC⊥DE，
∴∠COD＝90°，
∴∠ODC＝90°﹣∠BCD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
故答案为：90．
18．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，
又∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA．
∴△ABC与△CDA为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△EAF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∴60°+20°＝60°+∠CEF，
∴∠CEF＝20°．
19．（1）解：由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC；
故答案为：对角线互相垂直，是轴对称图形；
（2）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BO＝DO，
同理：BC＝DC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠ODC，
在△ABO和△CDO中，，
∴△AOB≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴AB＝CD＝BC＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．