2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步练习题（Word版 附答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《1-2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），那么第四个顶点的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，3） C．（3，3） D．（2，2）
2．四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD，则正确的选法是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．以上都可以
3．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，则AF＝（　　）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
4．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一动点，连接AE、DE，以AE、DE为边作 AEDF，当点E从点B运动到点C的过程中， AEDF的面积（　　）
A．先变小后变大 B．先变大后变小
C．保持不变 D．一直变大
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为（　　）
A． B．1 C． D．
6．如图，在长方形钟面示意图中，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形宽为40cm，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为（　　）cm．
A．80 B．60 C．50 D．40
7．下列说法错误的是（　　）
A．矩形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
D．矩形的对角线相等
8．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
10．矩形的三个顶点坐标分别是（﹣2，﹣3），（1，﹣3），（﹣2，﹣4），那么第四个顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣4） B．（﹣8，﹣4） C．（1，﹣3） D．（3，﹣4）
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（1，2），若锁定OA，向左推矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，要使四边形ABCD为矩形，还需补充的条件可以是：　 　（写1个即可）．
13．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是　 　．
14．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，
可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：　 　；　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．
16．如图，在 ABCD中，∠1＝∠2．此时，四边形ABCD是矩形吗？为什么？
17．设矩形的一条对角线长为2cm，两条对角线组成的对顶角中，有一组是120°，求矩形的周长．
18．如图，在长方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且满足BE＝CF＝a，AB＝EC＝b．
（1）判断△AEF的形状，并证明你的结论；
（2）请用含a，b的代数式表示△AEF的面积；
（3）当△ABE的面积为24，BC长为14时，求△ADF的面积．
19．如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
参考答案
1．解：如图所示：
过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为（﹣1，﹣1）和（3，2），
则第四个顶点坐标为（3，2），
故选：A．
2．解：当具备①③两个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形．
故选：B．
3．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝2.5，DF＝EB，
设DF＝3x，则EB＝3x，
∵5DF＝3AF，
∴AF＝5x，AB＝5x+2.5，
∵DE＝2.5，
∴CE＝3DE＝7.5，
∴CB＝7.5+3x，
∵AB＝CB，
∴5x+2.5＝7.5+3x，
解得x＝2.5，
∴AF＝5x＝12.5，
故选：C．
4．解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，
即 AEDF的面积保持不变；
故选：C．
5．解：∵矩形ABCD中，DF平分∠ADE，DE⊥EF，
∴∠ADF＝∠EDF，∠A＝∠DEF＝90°，
又∵DF＝DF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DE＝DA＝5，AF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∴Rt△CDE中，CE＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣4＝1，
设BF＝x，则AF＝EF＝3﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴BF＝，
故选：D．
6．解：由题意知∠AOC＝2∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°，
∴OB＝BC，
∴矩形ABCD长是宽的倍，
∴长方形的长是40cm；
故选：D．
7．解：A、矩形的对角线互相平分；正确；
B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；
C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；
D、矩形的对角线相等；正确；
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
9．解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形中OA＝OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE，
＝60°+75°，
＝135°．
故选：B．
10．解：如图所示：
∵矩形ABCD中，A、B、D三点的坐标分别（﹣2，﹣3），（1，﹣3），（﹣2，﹣4），
∴点C的横坐标与B的横坐标相等，纵坐标与D的纵坐标相等，
即C的坐标是（1，﹣4）．
故选：A．
11．解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴OB'＝＝＝，B'C'＝OA＝1，
∴点C的对应点C'的坐标为（﹣1，）；
故答案为：（﹣1，）．
12．解：还需补充的条件可以是：∠ABC＝90°，理由如下：
∵AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
13．解：如图，
过点A作AD⊥x轴于点D，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，
则AF⊥CF，
延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS），
∴CF＝BE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
14．解：
①②⑥或③④⑥，
理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：①②⑥，③④⑥．
15．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF．
16．解：四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OB＝BD．
又∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形．
17．解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD＝2cm，
∴OA＝OB＝1cm，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1cm，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝（cm），
∴矩形的周长＝2AB+2BC＝2×1cm+2×cm＝（2+2）cm．
18．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，AD＝BC＝a+b，
在△ABE和△ECF中，，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）∵∠B＝90°，BE＝CF＝a，AB＝CE＝b，
∴AE2＝AB2+BE2＝a2+b2，
∴△AEF的面积＝AE×EF＝AE2＝（a2+b2）；
（3）∵△ABE的面积＝24＝ab，
∴ab＝48，
∵BC＝14，
∴a+b＝14，
∴（a+b）2＝142，
∴a2+2ab+b2＝196，
∴a2+b2＝100，
∴a2﹣2ab+b2＝100﹣96＝4，
即（a﹣b）2＝4，
∵CD＞FC，
∴b＞a，
∴b﹣a＝2，
∴△ADF的面积＝AD×DF＝BC×（b﹣a）＝×14×2＝14．
19．（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，
即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形，
即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．