三角形全等的判定课件
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课件29张PPT。三角形全等的判定
ASA或AAS用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAABDABCSSA不能判定全等 例：如图，要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含有条件是_________根据所给的判定方法，在下列横线上写出还需要的两个条件
（1） (SAS)
( 2 ) (SAS)AB=ABAC=AD∠CAB= ∠DABBC=BD∠CBA= ∠DBA两个三角形的全等，
我们进行了哪些探索？③三个条件②两个条件①一个条件一边一角两角一边一角三角两边两角一边？（两边夹角） 探讨三角形全等的条件：两角一边思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角
与这条边的位置上有几种可能性呢？ABCABC图1图2在图1中， 边AB是∠A与∠B的夹边，在图2中， 边BC是∠A的对边， 我们称这种位置关系为两角夹边 我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。观察△ABC，画一个△A B C ，使A B =AB , ∠A = ∠A， ∠B = ∠B结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).′′′′′′′探索？观察：△A B C 与 △ABC 全等吗？为什么？画法: 1.画 A B =AB；2.在A B 的同旁画∠DA B = ∠A ,∠EB A = ∠B,
A D、B E交于点C′′′′′′′′′A′EDCB′′′思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？′′′′′在△ABC和△DEF中∴ △ABC≌△DEF（ASA） 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA 思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D , ∠C=∠F和AB=DE时,能否得到 △ABC≌△DFE? 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“角边角”或“AAS”）。1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个
直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？答：全等，根据AAS答：全等，根据AAS 例1：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B= ∠C,求证：AD=AE ∠B=∠C（已知） 证明：在△ABE和△ACD中AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）例2：如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。证明：∵ BE=CF(已知) ∴BC=EF(等式性质) ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中BC=EF ∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA） 例3：已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
证明：例4：如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？ABCD234证明：∵ AB∥CD，AD∥BC（已知 ）
∴ ∠1＝∠2
∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
∴在△ABC与△CDA中
∠1＝∠2 （已证）
AC=AC （公共边）
∠3＝∠4 （已证）
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）1例5:如图，已知∠ABC＝∠DCB，
∠ACB＝ ∠DBC，
求证： △ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB，
BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
证明在△ABC和△DCB中，∵
∴ △ABC≌△DCB（ ）A.S.A.AAS？例6:如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，
求证：△ABD≌△ACE证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B= ∠C（等边对等角）
∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
∴ △ABD≌△ACE（AAS）ABCDEF 如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ------------------------- ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）。∠B=∠E或∠A=∠D或 AC=DF你能吗（ASA）（AAS）（SAS）利用“角边角定理”可知,带B块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形玻璃?如果可以,带哪块去合适?说明理由。玻璃问题若△ABC中, BE⊥AD于E, CF⊥AD于F,且BE=CF,那么BD与CD相等吗？为什么？证明：∵ BE⊥AD， CF⊥AD（已知）∴∠BED=∠CFD= (垂直的定义） 在△BDE和△CDF中∠BED=∠CFD（已证）∠BDE=∠CDF（对顶角相等）BE=CF（已知）∴△BDE≌△CDF（AAS）更上一层楼ABCDE12 如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？解： △ABC和△ADE全等。
∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC ∴ △ABC≌△ADE（AAS）在△ABC和△ADC 中即∠BAC＝∠DAE ???í＝（已知）ADAB更上一层楼练一练1.已知： △ABC和△ A′B′C′中,AB=A′B′,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,
则△ABC≌△ A′B′C′的根据是（ ）
A; SAS B: ASA C: AAS D：都不对
BD2.已知： △ABC和△A′B′C ′中，AB=A′B′,
∠A=∠A′, 若△ABC≌△ A′B′C′,
还需要什么条件（ ）
A：∠B=∠B′ B： ∠C=∠C′
C: AC=A′C′ D: A、B、C均可
3.如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。∠AEC=∠BFDAC=BD∠A=∠B∠C=∠DAC=BD∠A=∠B 4.如图,O是AB的中点， = ， 与 全等吗?
为什么？两角和夹边对应相等(已知)(中点的定义)(对顶角相等)在 和 中（ ） 5、如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD
判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
不全等。
因为虽然有两组内角相等，且BC＝BC，但不都是两个三角形两组内角的夹边，所以不全等。 7. 如图，△ABC是等腰三角形，AD、 BE分别是
∠BAC、∠ABC的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？
试说明理由．
全等。
∵ △ABC是等腰三角形
∴ ∠ABD＝∠BAE
∵ AD、 BE分别是
∠BAC、∠ABC的角平分线
∴ ∠BAD＝∠ABE＝等腰△ABC底角的一半
∵AB＝BA
∴ △ABD≌△BAE（ASA）8.已知 和 中, = ,AB=AC.求证: (1) (3) AB=AC(4) BD=CE证明: (2) AE=AD (全等三角形对应边相等)(已知)(已知)(公共角)(全等三角形对应边相等)(等式的性质)1. 已知:点E是正方形ABCD的边CD上一点，
点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，
求证：DE=BF2. 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC与E，BE、CD交于O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC作业：3.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？4、如图，已知∠1=∠2 ∠3=∠4
求证：BD=CD小结(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”.(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.（3）三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
ASA或AAS用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)FEDCBAABDABCSSA不能判定全等 例：如图，要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含有条件是_________根据所给的判定方法，在下列横线上写出还需要的两个条件
（1） (SAS)
( 2 ) (SAS)AB=ABAC=AD∠CAB= ∠DABBC=BD∠CBA= ∠DBA两个三角形的全等，
我们进行了哪些探索？③三个条件②两个条件①一个条件一边一角两角一边一角三角两边两角一边？（两边夹角） 探讨三角形全等的条件：两角一边思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角
与这条边的位置上有几种可能性呢？ABCABC图1图2在图1中， 边AB是∠A与∠B的夹边，在图2中， 边BC是∠A的对边， 我们称这种位置关系为两角夹边 我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。观察△ABC，画一个△A B C ，使A B =AB , ∠A = ∠A， ∠B = ∠B结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).′′′′′′′探索？观察：△A B C 与 △ABC 全等吗？为什么？画法: 1.画 A B =AB；2.在A B 的同旁画∠DA B = ∠A ,∠EB A = ∠B,
A D、B E交于点C′′′′′′′′′A′EDCB′′′思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？′′′′′在△ABC和△DEF中∴ △ABC≌△DEF（ASA） 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA 思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D , ∠C=∠F和AB=DE时,能否得到 △ABC≌△DFE? 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“角边角”或“AAS”）。1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个
直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？答：全等，根据AAS答：全等，根据AAS 例1：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B= ∠C,求证：AD=AE ∠B=∠C（已知） 证明：在△ABE和△ACD中AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）例2：如图：已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。证明：∵ BE=CF(已知) ∴BC=EF(等式性质) ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中BC=EF ∠C=∠F∴△ABC≌△DEF（ASA） 例3：已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
证明：例4：如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？ABCD234证明：∵ AB∥CD，AD∥BC（已知 ）
∴ ∠1＝∠2
∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
∴在△ABC与△CDA中
∠1＝∠2 （已证）
AC=AC （公共边）
∠3＝∠4 （已证）
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）1例5:如图，已知∠ABC＝∠DCB，
∠ACB＝ ∠DBC，
求证： △ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB，
BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
证明在△ABC和△DCB中，∵
∴ △ABC≌△DCB（ ）A.S.A.AAS？例6:如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，
求证：△ABD≌△ACE证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B= ∠C（等边对等角）
∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
∴ △ABD≌△ACE（AAS）ABCDEF 如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 ------------------------- ，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可）。∠B=∠E或∠A=∠D或 AC=DF你能吗（ASA）（AAS）（SAS）利用“角边角定理”可知,带B块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形玻璃?如果可以,带哪块去合适?说明理由。玻璃问题若△ABC中, BE⊥AD于E, CF⊥AD于F,且BE=CF,那么BD与CD相等吗？为什么？证明：∵ BE⊥AD， CF⊥AD（已知）∴∠BED=∠CFD= (垂直的定义） 在△BDE和△CDF中∠BED=∠CFD（已证）∠BDE=∠CDF（对顶角相等）BE=CF（已知）∴△BDE≌△CDF（AAS）更上一层楼ABCDE12 如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？解： △ABC和△ADE全等。
∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC ∴ △ABC≌△ADE（AAS）在△ABC和△ADC 中即∠BAC＝∠DAE ???í＝（已知）ADAB更上一层楼练一练1.已知： △ABC和△ A′B′C′中,AB=A′B′,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,
则△ABC≌△ A′B′C′的根据是（ ）
A; SAS B: ASA C: AAS D：都不对
BD2.已知： △ABC和△A′B′C ′中，AB=A′B′,
∠A=∠A′, 若△ABC≌△ A′B′C′,
还需要什么条件（ ）
A：∠B=∠B′ B： ∠C=∠C′
C: AC=A′C′ D: A、B、C均可
3.如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。∠AEC=∠BFDAC=BD∠A=∠B∠C=∠DAC=BD∠A=∠B 4.如图,O是AB的中点， = ， 与 全等吗?
为什么？两角和夹边对应相等(已知)(中点的定义)(对顶角相等)在 和 中（ ） 5、如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD
判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
不全等。
因为虽然有两组内角相等，且BC＝BC，但不都是两个三角形两组内角的夹边，所以不全等。 7. 如图，△ABC是等腰三角形，AD、 BE分别是
∠BAC、∠ABC的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？
试说明理由．
全等。
∵ △ABC是等腰三角形
∴ ∠ABD＝∠BAE
∵ AD、 BE分别是
∠BAC、∠ABC的角平分线
∴ ∠BAD＝∠ABE＝等腰△ABC底角的一半
∵AB＝BA
∴ △ABD≌△BAE（ASA）8.已知 和 中, = ,AB=AC.求证: (1) (3) AB=AC(4) BD=CE证明: (2) AE=AD (全等三角形对应边相等)(已知)(已知)(公共角)(全等三角形对应边相等)(等式的性质)1. 已知:点E是正方形ABCD的边CD上一点，
点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，
求证：DE=BF2. 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC与E，BE、CD交于O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC作业：3.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。为什么？4、如图，已知∠1=∠2 ∠3=∠4
求证：BD=CD小结(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”.(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.（3）三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。