华东师大版八年级下册数学 19.2.2 菱形的判定 课件(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 华东师大版八年级下册数学 19.2.2 菱形的判定 课件(共19张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 150.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-15 13:58:44 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
菱形的判定
A
B
C
D
O
菱形的两条对角线互相平分且垂直
并且每一条对角线平分一组对角；
复习菱形的性质
菱形是轴对称图形，
也是中心对称 图形
菱形的性质
边
角
对角线
菱形的两组对角相等
对称性
∵ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
AB∥DC,AD∥BC
菱形的两组对边平行
且四条边都相等；
∴∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∴AC⊥BD
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
判定１
有一组邻边相等的平行四边形
是菱形
A
B
C
D
∵平行四边形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。
特殊性质１
菱形的四条边相等
判定２
四条边相等的四边形是菱形
A
B
C
D
已知：四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ；
求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形。
证明： ∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＤＡ；
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。
∵ＡＢ＝ＢＣ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定１）
特殊性质２
菱形的对角线互相垂直
判定３
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ；
求证：四边形ＡＢＣＤ中菱形、
证明：在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ＝ＥＣ，
∵ＡＣ⊥ＢＤ，
∴ＡＤ＝ＣＤ。
∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＤ＝ＣＤ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定２）
归纳菱形的判定
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四条边相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例１、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四条边的中点，试问四边形ＥＦＧＨ是什么图形？并说明理由。
解：在矩形ＡＢＣＤ中，
∠Ａ＝ ∠Ｂ，ＡＤ＝ＢＣ；
∵Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是四条边的中点，
∴ＡＥ＝ＥＢ，ＡＨ＝ＢＦ，
∴ △ＡＥＨ≌ △ＢＥＦ（ＳＡＳ）
∴ＥＨ＝ＥＦ；
同理可得：ＥＦ＝ＦＧ，ＦＧ＝ＨＧ，
∴ＥＨ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。
顺次连接矩形各边中点形成菱形
例２、如图，已知矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的垂直平分线与边ＡＤ、ＢＣ分别交于点Ｅ、Ｆ。
求证：四边形ＡＥＣＦ的菱形。
证明：在矩形ＡＢＣＤ中，
∵ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＤＡＣ＝ ∠ＢＣＡ， ∠ＡＥＦ＝ ∠ＣＦＥ
又∵ＥＦ平分ＡＣ，
∴ＯＡ＝ＯＣ，
△ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ（ＡＡＳ）
∴ＯＥ＝ＯＦ。
∵ＯＡ＝ＯＣ，ＯＥ＝ＯＦ，
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。
∵平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＥＦ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定３）
例３、试说明菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半。
已知：菱形ＡＢＣＤ，ＡＣ和ＢＤ是对角线，交于点Ｅ。
求证：Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝
证明：在菱形ＡＢＣＤ中，
∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＢＥ＝ＤＥ，
∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＣ+Ｓ△ＡＤＣ
＝
菱形的面积等于对角线乘积的一半
例４、如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
C
F
G
B
D
A
E
∵ ∠3= 90°－∠1, ∠4= 90°－∠2,
∴ CE=CF
（等腰三角形的定义）
∴ ∠3= ∠4
C
F
G
B
D
A
E
１
２
３
４
∵ AF是∠BAC的平分线，
（角平分线的定义）
∴ ∠1= ∠2
∵ FC⊥AC， FG⊥AB， AF是∠BAC的平分线，
∴ FC=FG
（角平分线的性质）
∵ FG⊥AB， CD⊥AB，
∴ CD∥FG
（垂直于同一条直线的两条直线平行）
证明：
∴ ＥC=FG
（等量代换）
1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A、对角线互相平分的四边形
B、对角线互相垂直且平分的四边形
C、对角线相等的四边形
D、对角线相等且互相垂直的四边形
B
A
O
D
C
B
练一练
２、下列三个图形都是菱形吗 为什么？
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
3
3
4
4
┍
练一练
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
４、如图， 平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6；
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
５、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形
A
B
F
C
D
E
O
∟
６、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
A
B
F
N
D
M
E
C
A
B
C
D
O
E
７.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
谢 谢
菱形的判定
A
B
C
D
O
菱形的两条对角线互相平分且垂直
并且每一条对角线平分一组对角；
复习菱形的性质
菱形是轴对称图形，
也是中心对称 图形
菱形的性质
边
角
对角线
菱形的两组对角相等
对称性
∵ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
AB∥DC,AD∥BC
菱形的两组对边平行
且四条边都相等；
∴∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∴AC⊥BD
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
判定１
有一组邻边相等的平行四边形
是菱形
A
B
C
D
∵平行四边形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。
特殊性质１
菱形的四条边相等
判定２
四条边相等的四边形是菱形
A
B
C
D
已知：四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ；
求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形。
证明： ∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＤＡ；
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。
∵ＡＢ＝ＢＣ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定１）
特殊性质２
菱形的对角线互相垂直
判定３
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ；
求证：四边形ＡＢＣＤ中菱形、
证明：在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ＝ＥＣ，
∵ＡＣ⊥ＢＤ，
∴ＡＤ＝ＣＤ。
∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＤ＝ＣＤ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定２）
归纳菱形的判定
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四条边相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例１、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四条边的中点，试问四边形ＥＦＧＨ是什么图形？并说明理由。
解：在矩形ＡＢＣＤ中，
∠Ａ＝ ∠Ｂ，ＡＤ＝ＢＣ；
∵Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是四条边的中点，
∴ＡＥ＝ＥＢ，ＡＨ＝ＢＦ，
∴ △ＡＥＨ≌ △ＢＥＦ（ＳＡＳ）
∴ＥＨ＝ＥＦ；
同理可得：ＥＦ＝ＦＧ，ＦＧ＝ＨＧ，
∴ＥＨ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。
顺次连接矩形各边中点形成菱形
例２、如图，已知矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的垂直平分线与边ＡＤ、ＢＣ分别交于点Ｅ、Ｆ。
求证：四边形ＡＥＣＦ的菱形。
证明：在矩形ＡＢＣＤ中，
∵ＡＤ∥ＢＣ，
∴ ∠ＤＡＣ＝ ∠ＢＣＡ， ∠ＡＥＦ＝ ∠ＣＦＥ
又∵ＥＦ平分ＡＣ，
∴ＯＡ＝ＯＣ，
△ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ（ＡＡＳ）
∴ＯＥ＝ＯＦ。
∵ＯＡ＝ＯＣ，ＯＥ＝ＯＦ，
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。
∵平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＥＦ，
∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定３）
例３、试说明菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半。
已知：菱形ＡＢＣＤ，ＡＣ和ＢＤ是对角线，交于点Ｅ。
求证：Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝
证明：在菱形ＡＢＣＤ中，
∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＢＥ＝ＤＥ，
∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＣ+Ｓ△ＡＤＣ
＝
菱形的面积等于对角线乘积的一半
例４、如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
C
F
G
B
D
A
E
∵ ∠3= 90°－∠1, ∠4= 90°－∠2,
∴ CE=CF
（等腰三角形的定义）
∴ ∠3= ∠4
C
F
G
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E
１
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３
４
∵ AF是∠BAC的平分线，
（角平分线的定义）
∴ ∠1= ∠2
∵ FC⊥AC， FG⊥AB， AF是∠BAC的平分线，
∴ FC=FG
（角平分线的性质）
∵ FG⊥AB， CD⊥AB，
∴ CD∥FG
（垂直于同一条直线的两条直线平行）
证明：
∴ ＥC=FG
（等量代换）
1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A、对角线互相平分的四边形
B、对角线互相垂直且平分的四边形
C、对角线相等的四边形
D、对角线相等且互相垂直的四边形
B
A
O
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练一练
２、下列三个图形都是菱形吗 为什么？
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有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
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练一练
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
A
B
C
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O
矩
菱
矩
菱
４、如图， 平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6；
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
５、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形
A
B
F
C
D
E
O
∟
６、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
A
B
F
N
D
M
E
C
A
B
C
D
O
E
７.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
谢 谢