高二下数学人教A版（2019）选择性必修第三册第六章计数原理单元检测卷（提升卷）（word含答案解析）

第六章计数原理单元检测卷
一、单选题
1．二项式的展开式的中间项为（ ）
A． B． C．和 D．和
2．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中，x的指数为偶数的项的系数之和为（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
5．若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．已知等比数列的首项为1，公比为-2，在该数列的前六项中随机抽取两项，，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）
A．7 B．－7 C．21 D．－21
8．现有甲 乙 丙 丁 戊五位同学，分别带着A B C D E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知（其中）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为
B．展开式中常数项为第8项
C．展开式中有理项有3项
D．二项式系数最大的项是第7项
10．在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大 B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为
11．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共种
12．下列二项式中，其展开式存在常数项的有（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知的二项式展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式的常数项为_______.（结果用数值表示）
14．已知，则___________.
15．已知直线方程，若从、、、、、这六个数中每次取两个不同的数分别作为、的值，则可表示______条不同的直线．
16．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______．
四、解答题
17．已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
（1）求a2的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
（3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
18．已知，其中，，，．
（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；
（2）试猜测fn（x）关于n的表达式，并证明你的结论.
19．已知的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项.
20．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
21．在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求展开式中x的一次项．
22．已知的展开式中，第6项为常数项.求：
（1）展开式中的系数；
（2）含的整数次幂的项的个数.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先根据二项式定理确定二项式的展开式的中间项的项数，再由通项公式求中间项的表达式.
【详解】
二项式的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，，
故选：C．
2．D
【解析】
【分析】
利用赋值法求解，令可求得答案
【详解】
令，则
，
令，则
，
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
根据二项式系数的单调性，求得；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数.
【详解】
解：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，
所以的展开式的通项
令，得.
所以展开式中的系数为.
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
根据与的展开式中x的指数为偶数的项相乘及与的展开式中x的指数为偶数的项相乘，得到展开式中x的指数为偶数的项的系数之和.
【详解】
的展开式中，所有x的指数为偶数的项的系数之和为.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
根据题意写出并求出，进而结合二项式定理求得答案.
【详解】
由题意得，
∴
.
∵
，
∴.
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
由题设写出前6项，根据讨论m，n的取值，进而应用组合数求不同取值情况下符合要求的情况数，再应用古典概型的概率求法求概率即可.
【详解】
由题意知：，，，，，，
由，则m，n奇偶相同，
若m，n都为偶数时，符合题意，情况数为种；
若m，n都为奇数时，仅有不符题意，情况数为种，
综上，符合题意的情况数为种，而总情况数为种，
∴概率．
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
根据题意令可得；然后利用展开式通项确定的值，代入即可求解.
【详解】
令，则，所以，所以二项式为，
其展开式的通项为，，
当时，可得，
所以展开式中的系数是.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】
先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
9．AC
【解析】
【分析】
首先由条件求出，再根据二项式定理判断选项.
【详解】
由条件可知，即，
化简得，∵，∴，
所以展开式中奇数项的二项式系数和为 ，故A正确；
展开式通项为，
，显然不成立，无常数项，B错误；
当时，为整数，因此展开式中有3项为有理项，C正确；
展开式有15项，二项式系数最大的项为第8项，D错误．
故选：AC．
10．BD
【解析】
【分析】
第9项系数大于第5项系数，可判断A；令，可得所有项的系数和，可判断B；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为，可判断C，D
【详解】
选项A，由于，，第9项系数大于第5项系数，A错误；
选项B，令，可得所有项的系数和为，可知B正确；
选项C，所有奇数项的二项式系数和为，C错误；
选项D，所有偶数项的二项式系数和为，D正确.
故选:BD
11．ABC
【解析】
【分析】
选项A，B，C均可用分类加法计数原理求解；选项D可用分步乘法计数原理求解.
【详解】
选项A：若C企业最多派1名医生，则有以下两种情况：
①派1名医生去C企业，剩余3名医生派到企业A或企业B中，有种；
②4名医生全部派到企业A或企业B中，有种.
故共有种不同分派方案，故选项A正确；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有以下三种情况：
①派2名医生去A企业，剩余2名医生一人去B企业，一人去C企业，有种；
②派2名医生去B企业，剩余2名医生一人去A企业，一人去C企业，有种；
③派2名医生去C企业，剩余2名医生一人去A企业，一人去B企业，有种.
故共有种不同分派方案，故选项B正确；
选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则有以下三种情况：
①派医生甲去A企业，再派一名医生去A企业，剩余2名医生一人去B企业，一人去C企业，有种不同分派方案；
②派医生甲去A企业，派2名医生去B企业，剩余1名医生去C企业，有种；
③派医生甲去A企业，派2名医生去C企业，剩余1名医生去B企业，有种.
共有种不同分派方案，故选项C正确；
选项D：第一步：派医生甲去3个企业中的任何一个，有3种；
第二步：派医生乙去3个企业中的任何一个，有3种；
第三步：派医生丙去3个企业中的任何一个，有3种；
第四步：派医生丁去3个企业中的任何一个，有3种；
由分步乘法计数原理知，所有不同分派方案共种，故选项D错误；
故选：ABC.
12．BC
【解析】
【分析】
求出每个选项的通项公式后合并同类项，令的指数为0，得出的是否为符合条件的整数可逐项验证排除得到答案.
【详解】
展开式的通项公式为，，
令，不成立，故A错误；
展开式的通项公式为，，令，，展开式第4项为常数项，故B正确；
的展开式的通项公式为，，令，，展开式第4项为，所以的展开式的常数项为，故C正确；
的展开式的通项公式为，，令，令，， 所以的展开式不存在常数项，故D错误.
故选：BC.
13．1120
【解析】
【分析】
由的二项展开式的所有二项式系数的和为可求得的值，进而可写出该二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可求得结果.
【详解】
由于的二项展开式的所有二项式系数的和为，解得.
的展开式通项为，
令，解得.
因此，的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.
【详解】
，则展开式通项为，
∴时，
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
分三类讨论：①；②；③.分别求出三种情况下，方程所表示的直线条数，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
当时，可表示条直线；
当时，可表示条直线；
当时，有种选法，有种选法，可表示条不同的直线．
由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
首先根据题意，可得，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的值代入通项可得其展开式中的项，即可得答案．
【详解】
由题知，则，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
17．（1）－49×10；（2）0；（3）310.
【解析】
【分析】
令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）结合展开式可得a2＝C(－4)9，从而可的答案；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，粮食相减即可得解；
（3）由（2）两式相加即可得解.
【详解】
解：∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，
令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）a2＝(－4)9＝－49×10；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，①
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，②
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0；
（3）由（2）①+②得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
18．（1）1，2，6；（2）fn（x）=n!，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用组合数公式直接计算；
（2）根据（1）的计算猜想公式，再利用数学归纳法证明．
【详解】
解：（1），
，
，
（2）猜想：．
证明：①当时，猜想显然成立；
②假设时猜想成立，即，
则时，
．
当时，猜想成立．
所以原题得证.
19．
【解析】
【分析】
由二项式系数的性质可求n＝4，再利用展开式通项公式即得.
【详解】
因为的展开式中的偶数项的二项式系数和为，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为，
所以有＝－120，
∴，即n＝4，
故第一个展开式中第3项为.
20．(1)720
(2)1440
(3)144
(4)960
(5)840
【解析】
【分析】
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
(1)
3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)
先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)
3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)
先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)
从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
21．
【解析】
【分析】
求出展开式通项，根据前3项的系数成等差数列建立关系即可求出，再令的指数为1即可求出一次项.
【详解】
的展开式通项为，
前3项的系数分别为，
因为前3项的系数成等差数列，所以，
即，解得（舍去）或，
则，令，解得，
所以展开式中x的一次项为.
22．（1）；（2）3个.
【解析】
【分析】
（1）写出展开式通项公式，由第6（）项为常数项求得值，再求得所在项数，得其系数；
（2）由展开式中的指数为整数，分析的可能取值可得结论．
【详解】
（1）的展开式的通项.
∵第6项为常数项，时，有，解得.令，得，的展开式中的系数为.
（2）根据题意，得.
令，则，即.
，应为偶数，又，可取2，0，－2，即可取2，5，8.
展开式的第3项、第6项、第9项均为含的整数次幂的项，共3个.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页