高二下数学人教A版（2019）选择性必修第三册第六章计数原理单元检测卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 高二下数学人教A版（2019）选择性必修第三册第六章计数原理单元检测卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 336.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 08:50:48 | ||
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文档简介
第六章计数原理单元检测卷
一、单选题
1．已知，二项式展开式中常数项为，且的展开式中所有项系数和为192，则的展开式中常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
2．若，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
3．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（ ）
A．20 B．14 C．12 D．6
4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．某人忘了电脑屏保密码的后两位，但记得最后一位是1，3，5，7，9中的一个数字，倒数第二位是G，O，D中的一个字母，若他尝试输入密码，则一次输入就解开屏保的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
7．数学中有回文数，如343，12521等．两位数的回文数有11，22，33，…，99，共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
8．若二项式展开式中第4项为常数项，则n=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．第项的二项式系数最大
C．第项的系数最大 D．所有项的系数和为
10．若的展开式中的系数为－56，则下列结论正确的是（ ）
A．a的值为－2 B．展开式中各项系数和为0
C．展开式中x的系数为4 D．展开式中二项式系数最大为70
11．记的展开式中第项的系数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，展开式中的常数项是
C．若，则
D．若展开式中含常数项，则的最小值是
12．在的二项展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中各项的二项式系数之和为
B．展开式中第项的二项式系数最大
C．展开式中含项的系数为
D．展开式中常数项为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．的值为___________.
14．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则___________.
15．某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
16．已知，若，则___________.
四、解答题
17．求的展开式中的常数项和含的项．
18．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
20．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
21．计算：
(1)；
(2)．
22．凸五边形有多少条对角线？凸n边形呢？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用二项式的通项公式求某一项.
【详解】
设二项式 展开式中的第 项为常数项，则 ，
，所以 ，
令 ，则 ，所以或舍去，
所以 ，又因为 ， 所以，
所以 的展开式中的常数项，由展开式中的常数项和 的项构成，则 ，
当为常数项时，，；
当为含 的项时， ，，；
所以 的展开式中的常数项为 .
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
令，求出，再令，代入即可求解.
【详解】
，令可得
，令，可得，
所以.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】
解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.
【详解】
解：因为展开式的二项式系数之和为，则，
所以，
令，求得，
所以展开式的常数项为.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
应用分步计数法求后两位的可能组合数，即可求一次输入就解开屏保的概率.
【详解】
由题设，后两位的可能情况有，
∴一次输入就解开屏保的概率是.
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式代入即可解决.
【详解】
二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故选：C
7．A
【解析】
【分析】
首先安排末（首）位，再考虑中间位置，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8．如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以在三位数的回文数总偶数的个数是．
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】
二项式展开式的通项公式为：，
因为二项式展开式中第4项为常数项，
所以，
解得，
故选：C
9．BC
【解析】
【分析】
先求的通项公式可得选项A,C的正误，利用的值可得选项B的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解.
【详解】
展开式的通项为，
由，得，所以常数项为，A错误；
展开式共有项，所以第项二项式系数最大，B正确；
由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，可知第项的系数最大，C正确；
令，得，所有项的系数和为，D错误；
故选：BC.
10．BD
【解析】
【分析】
根据二项式性质结合已知求出的值，最后结合二项式性质逐一判断即可.
【详解】
因为的展开式中的系数为－56，
所以由可得：
，解得，选项A结论不正确，且，
令，，所以展开式中各项系数和为0，选项B结论正确；
展开式中x的系数为，所以选项C的结论不正确；
展开式中二项式系数最大为，所以选项D的结论正确，
故选：BD
11．ABC
【解析】
【分析】
根据二项式定理求特定项系数.
【详解】
当时，的展开式中第项的系数，故A正确；
展开式中第项，当时为常数项，故B正确；
若，则，所以，，故C正确；
若展开式中含常数项，则的最小值是，故D错误，
故选：ABC．
12．AC
【解析】
【分析】
由判断A；利用判断B；利用赋值法判断CD.
【详解】
，A正确﹔由可知展开式中第项的二项式系数最大，B错误﹔
，令得，C正确﹔
令，无解﹐故展开式中无常数项，D错误.
故选：AC
13．62
【解析】
【分析】
利用二项式系数之和的性质即可求解.
【详解】
由二项式系数之和的性质可知，，
因为，
所以.
故答案为：62.
14．8
【解析】
【分析】
由二项展开式通项公式可得前三项的系数，再解方程即可解决
【详解】
由通项公式
得展开式前三项系数分别为1、、
所以1+=，解之得，或（舍）
故答案为：8
15．
【解析】
【分析】
先从10人中选出2人，再从余下的8人中选出1人，最后从剩下的7人中选出1人，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下的8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1人参加会议丙，
根据分步计数原理，不同的安排方法共有（种）．
故答案为：.
16．1
【解析】
【详解】
首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和.
展开式的通项为，令，则，即，
故，令，得.
故答案为：1
17．；.
【解析】
【分析】
根据二项展开式通项可依次确定常数项和含的项中的取值，代入即可求解.
【详解】
展开式的通项为，
则常数项为；
含的项为.
18．(1)455
(2)1313400
(3)1313400
(4)126
【解析】
【分析】
（1）直接应用组合数公式得到结果即可；（2）直接应用组合数公式得到结果即可；（3）先由组合数性质得到，再由组合数运算公式得到结果即可；（4）先由组合数性质得到，再由组合数运算公式得到结果即可.
(1)
根据组合数运算公式得到：.
(2)
根据组合数公式得到：.
(3)
根据组合数性质和运算公式得到：.
(4)
先由组合数运算性质得到: ，
根据运算公式得到：.
19．30
【解析】
【分析】
安排一场比赛，可先安排一支主队，再剩余的中安排一支客队即可，由分步乘法计数原理求解，也可直接转化为排列问题求解.
【详解】
法一，可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为．
法二，根据主客场比赛，一场比赛就是在6个队中选两个队的一个排列，
故有种安排方法，即每组共进行30场比赛.
20．答案见解析
【解析】
【分析】
给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举．
【详解】
解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．
由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
21．(1)330
(2)32
【解析】
【分析】
根据所给式子的结构特点，利用组合数的性质，将其化简即可求解.
(1)
解：根据组合数的性质，
则有；
(2)
解：根据组合数的性质，
则有.
22．5；.
【解析】
【分析】
利用对角线的含义及组合数公式即得
【详解】
凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边以外都是对角线，所以共有对角线（条）；
凸n边形有n个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸n边形的边以外都是对角线，所以共有对角线（条）.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知，二项式展开式中常数项为，且的展开式中所有项系数和为192，则的展开式中常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
2．若，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
3．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（ ）
A．20 B．14 C．12 D．6
4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．某人忘了电脑屏保密码的后两位，但记得最后一位是1，3，5，7，9中的一个数字，倒数第二位是G，O，D中的一个字母，若他尝试输入密码，则一次输入就解开屏保的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
7．数学中有回文数，如343，12521等．两位数的回文数有11，22，33，…，99，共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
8．若二项式展开式中第4项为常数项，则n=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．第项的二项式系数最大
C．第项的系数最大 D．所有项的系数和为
10．若的展开式中的系数为－56，则下列结论正确的是（ ）
A．a的值为－2 B．展开式中各项系数和为0
C．展开式中x的系数为4 D．展开式中二项式系数最大为70
11．记的展开式中第项的系数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，展开式中的常数项是
C．若，则
D．若展开式中含常数项，则的最小值是
12．在的二项展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中各项的二项式系数之和为
B．展开式中第项的二项式系数最大
C．展开式中含项的系数为
D．展开式中常数项为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．的值为___________.
14．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则___________.
15．某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
16．已知，若，则___________.
四、解答题
17．求的展开式中的常数项和含的项．
18．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
20．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
21．计算：
(1)；
(2)．
22．凸五边形有多少条对角线？凸n边形呢？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用二项式的通项公式求某一项.
【详解】
设二项式 展开式中的第 项为常数项，则 ，
，所以 ，
令 ，则 ，所以或舍去，
所以 ，又因为 ， 所以，
所以 的展开式中的常数项，由展开式中的常数项和 的项构成，则 ，
当为常数项时，，；
当为含 的项时， ，，；
所以 的展开式中的常数项为 .
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
令，求出，再令，代入即可求解.
【详解】
，令可得
，令，可得，
所以.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】
解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得结果即可.
【详解】
解：因为展开式的二项式系数之和为，则，
所以，
令，求得，
所以展开式的常数项为.
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
应用分步计数法求后两位的可能组合数，即可求一次输入就解开屏保的概率.
【详解】
由题设，后两位的可能情况有，
∴一次输入就解开屏保的概率是.
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
由二项展开式的通项公式代入即可解决.
【详解】
二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故选：C
7．A
【解析】
【分析】
首先安排末（首）位，再考虑中间位置，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8．如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以在三位数的回文数总偶数的个数是．
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】
二项式展开式的通项公式为：，
因为二项式展开式中第4项为常数项，
所以，
解得，
故选：C
9．BC
【解析】
【分析】
先求的通项公式可得选项A,C的正误，利用的值可得选项B的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解.
【详解】
展开式的通项为，
由，得，所以常数项为，A错误；
展开式共有项，所以第项二项式系数最大，B正确；
由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，
由，可知第项的系数最大，C正确；
令，得，所有项的系数和为，D错误；
故选：BC.
10．BD
【解析】
【分析】
根据二项式性质结合已知求出的值，最后结合二项式性质逐一判断即可.
【详解】
因为的展开式中的系数为－56，
所以由可得：
，解得，选项A结论不正确，且，
令，，所以展开式中各项系数和为0，选项B结论正确；
展开式中x的系数为，所以选项C的结论不正确；
展开式中二项式系数最大为，所以选项D的结论正确，
故选：BD
11．ABC
【解析】
【分析】
根据二项式定理求特定项系数.
【详解】
当时，的展开式中第项的系数，故A正确；
展开式中第项，当时为常数项，故B正确；
若，则，所以，，故C正确；
若展开式中含常数项，则的最小值是，故D错误，
故选：ABC．
12．AC
【解析】
【分析】
由判断A；利用判断B；利用赋值法判断CD.
【详解】
，A正确﹔由可知展开式中第项的二项式系数最大，B错误﹔
，令得，C正确﹔
令，无解﹐故展开式中无常数项，D错误.
故选：AC
13．62
【解析】
【分析】
利用二项式系数之和的性质即可求解.
【详解】
由二项式系数之和的性质可知，，
因为，
所以.
故答案为：62.
14．8
【解析】
【分析】
由二项展开式通项公式可得前三项的系数，再解方程即可解决
【详解】
由通项公式
得展开式前三项系数分别为1、、
所以1+=，解之得，或（舍）
故答案为：8
15．
【解析】
【分析】
先从10人中选出2人，再从余下的8人中选出1人，最后从剩下的7人中选出1人，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下的8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1人参加会议丙，
根据分步计数原理，不同的安排方法共有（种）．
故答案为：.
16．1
【解析】
【详解】
首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和.
展开式的通项为，令，则，即，
故，令，得.
故答案为：1
17．；.
【解析】
【分析】
根据二项展开式通项可依次确定常数项和含的项中的取值，代入即可求解.
【详解】
展开式的通项为，
则常数项为；
含的项为.
18．(1)455
(2)1313400
(3)1313400
(4)126
【解析】
【分析】
（1）直接应用组合数公式得到结果即可；（2）直接应用组合数公式得到结果即可；（3）先由组合数性质得到，再由组合数运算公式得到结果即可；（4）先由组合数性质得到，再由组合数运算公式得到结果即可.
(1)
根据组合数运算公式得到：.
(2)
根据组合数公式得到：.
(3)
根据组合数性质和运算公式得到：.
(4)
先由组合数运算性质得到: ，
根据运算公式得到：.
19．30
【解析】
【分析】
安排一场比赛，可先安排一支主队，再剩余的中安排一支客队即可，由分步乘法计数原理求解，也可直接转化为排列问题求解.
【详解】
法一，可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为．
法二，根据主客场比赛，一场比赛就是在6个队中选两个队的一个排列，
故有种安排方法，即每组共进行30场比赛.
20．答案见解析
【解析】
【分析】
给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举．
【详解】
解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．
由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
21．(1)330
(2)32
【解析】
【分析】
根据所给式子的结构特点，利用组合数的性质，将其化简即可求解.
(1)
解：根据组合数的性质，
则有；
(2)
解：根据组合数的性质，
则有.
22．5；.
【解析】
【分析】
利用对角线的含义及组合数公式即得
【详解】
凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边以外都是对角线，所以共有对角线（条）；
凸n边形有n个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸n边形的边以外都是对角线，所以共有对角线（条）.
答案第1页，共2页
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