高二下数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分别单元检测卷（提升卷）（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 高二下数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分别单元检测卷（提升卷）（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 783.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 08:51:24 | ||
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文档简介
第七章随机变量及其分别单元检测卷
一、单选题
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（，，），不计其他得分情况）．已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
4．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：，高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
6．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
8．某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球（，，，），从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
①放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为
②放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（）A． B．
C． D．
10．假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．
11．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布，则，（ ）
A．， B．
C． D．
12．为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为 B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%．记为“零件为第台机床加工”．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的一个零件是次品，分别计算它是第1，2台机床加工的概率．
14．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.
15．甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为，设为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是，则______．
16．某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
四、解答题
17．在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.
(2)若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.
①写出X的分布列，并求数学期望；
②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.
18．2021年10月昆明生物多样性会议期间，一位摄影爱好者来到云南省旅游城市大理，这里有蝴蝶泉公园、洱海生态廊道、苍山地质公园三个著名的旅游景点，若这位摄影爱好者游览这三个景点的概率分别是，，，且是否游览哪个景点互不影响，设表示这位摄影爱好者离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率．
19．在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线.考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据.每一个学科的评价都有一个标准进行判断.以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一 二 三档，前定为一档，前到前定为二档，后定为三档.在一次全市的模拟考试中，考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为.
(1)求成绩位于时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；
(2)在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为.在此次模拟考试中，甲 乙 丙三位考生的数学成绩分别为.请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分上特控线的人数的分布列及数学期望.
20．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验． 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：
传统艺术活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
书画 古琴 汉服 戏曲 面塑
高一体验人数 80 45 55 20 45
高二体验人数 40 60 60 80 40
高三体验人数 15 50 40 75 30
(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况， 现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈． 设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系．
21．中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.
(1)若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；
(2)若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为，求的分布列和数学期望.
22．甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：
(1)甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先列出投篮得分的分布列，求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
设投篮得分为随机变量，则的分布列为
3 2 0
，所以，当且仅当，即，时，等号成立．
故的最大值为．
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【详解】
因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算为2，4的概率，为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.
【详解】
解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，
为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮
，
故．
故选：B
4．D
【解析】
【分析】
求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.
【详解】
因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
正态总体的取值关于X＝120对称，在130分以上的概率近似为（1﹣0.6826）＝0.1587，得到要求的结果.
【详解】
∵数学成绩近似地服从正态分布N（120，102），
又
∴
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为（1﹣0.6826）＝0.1587
∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6.
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】
设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
根据公式算出期望和方差，进而结合二次函数的性质求得答案.
【详解】
若，则，故A,B均错误；
若，则，，其对称轴为：，则时，有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
利用正态分布的性质得出的值，进而估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数.
【详解】
因为服从正态分布，所以
则
且在区间内的个数为，故可估计值约万个.
则
故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为.
故选：B.
9．AD
【解析】
【分析】
求得随机变量，的分布列，根据数学期望公式计算可得选项.
【详解】
解：因为，，所以随机变量的分布列为：
1 2
因为，，，所以随机变量的分布列为：
1 2 3
所以，，所以．
因为，，所以，所以．
故选：AD．
10．AD
【解析】
【分析】
由计算可判断A；
由可判断B；
由图可知Y分布更集中，有，由此可判断C；
由图可知，由此可判断D.
【详解】
解：由正态分布，，
则，故A正确；
，故B错误；
由图可知Y分布更集中，所以，则，所以C错误；
由图可知，所以，则D正确，
故选：AD.
11．BCD
【解析】
【分析】
根据正态分布的知识可以确定A，再根据正态曲线的对称性确定B,C,D.
【详解】
依题意，所以，，即，，故A错误；
由于，所以，故B正确；
由于，，所以，故C正确.
由于，，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．BC
【解析】
【分析】
首先理解概率类型为超几何概率，结合组合数公式，即可计算，并判断选项.
【详解】
的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.
故选：BC.
13．（1）0.055；（2）.
【解析】
【分析】
（1）任取一个零件为次品包括三种情况：可能是第1台机床加工的次品，可能是第2台机床加工的次品，可能是第3台机床加工的次品，且每两种情况都是互斥的，所以利用互斥事件的概率公式求解；
（2）利用条件概率的概率公式求解
【详解】
（1）解：设“任取一个零件为次品”
由题意，，且，，两两互斥，由全概率公式，得
（2）
．
14．
【解析】
【分析】
根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值.
【详解】
的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
先利用相互独立事件的概率公式求出每局游戏中甲乙两名队员获得胜利的概率，再由二项分布的期望公式即可求期望.
【详解】
每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利，
每局游戏胜利包括三种情况：
甲投中次，乙投中次，概率为，
甲投中次，乙投中次，概率为，
甲投中次，乙投中次，概率为，
所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为，
若游戏的局数是，为甲乙两名队员获得胜利的局数，则，
所以，
故答案为：.
16．9.1
【解析】
【分析】
由题意可得X的取值范围为，然后结合X的分布列求出对应的概率，从而可求出的分布列，进而可求得
【详解】
X的取值范围为，且
，
，
，
.
所以分布列为
7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
.
故答案为：9.1
17．(1)65分
(2)①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元
【解析】
【分析】
（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，
（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得其分布列和期望，②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则，然后由①结合期望的性质可求得答案
(1)
这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.
由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分.
(2)
①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，
X的可能取值分别为0，1，2，3，
，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故.
②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则（元），
所以元，
故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元.
18．(1)分布列见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式求解概率，得到分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（2）利用参变量分离，将不等式转化为对于恒成立，利用基本不等式求解最值，求出的取值范围，确定的值，求解概率即可．
(1)
解：分别记“摄影爱好者游览蝴蝶泉公园”，“摄影爱好者游览洱海生态廊道”，“摄影爱好者游览苍山地质公园”为事件，，，
由已知，，相互独立，，，，
摄影爱好者游览的景点数的可能取值为，，，，相应地，没有游览的景点数的可能取值为，，，，所以的可能取值为，，
，
，
所以的分布列为
；
(2)
解：的可能取值为，，且时，不等式恒成立，
有恒成立，即；
当时，不等式恒成立，
当时，不等式不恒成立．
所以．
19．(1)，第一档的分数段为，第二档的分数段为
(2)
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为
【解析】
【分析】
（1）根据小矩形面积之和为1，求出成绩在所对应的频率为，结合题干条件求出一档、二档的分数段；（2）判断出甲乙丙的成绩属于哪一档，进而求出的可能取值，求出相应的概率，得到分布列，并求出期望值.
(1)
根据频率分布直方图的信息，成绩在，对应的频率分别为.
根据总的频率和为1，可得成绩在所对应的频率为.
，且，可知成绩在内的前也属于第一档.即可知第一档的分数段为，0.58=0.06+0.24+0.28且，故成绩在第内的后也属于第二档，所以二档的分数段为
(2)
根据第（1）问的结论可知，甲的成绩属于第三档，乙的成绩属于第二档，丙的成绩属于第一档.则的所有可能取值为
其中
则的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望为：.
20．(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【解析】
【分析】
（1）结合古典概型可直接求解；
（2）先判断取值为1,2,3，再结合超几何分布求解对应分布列和数学期望即可；
（3）结合相互独立事件概率公式求出，即可判断大小.
(1)
由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，
其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，
设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为；
(2)
由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有古琴、汉服、戏曲3项，
的所有可能值为1，2，3，
，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
故的数学期望；
(3)
由题可知，，，
，，，
故．
21．(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）任选2名学生，至多有1名学生未观看直播包括这2名学生都观看直播和恰好有1人观看直播两种情况，根据古典概率公式可得答案.
（2）由题意可取0，1，2，3，分别求出其概率，可得分布列，由期望公式可得数学期望.
(1)
设“从10名学生中任选2名学生，至多有1名学生未观看直播”为事件，
.
(2)
由题意可知可取0，1，2，3
，，，，
【点睛】
.
22．(1)
(2)
X 0 1 2 3 4
p
期望为.
【解析】
【分析】
（1）求出甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率，进而求出答案；（2）求出X的可能取值及相应的概率，写出分布列，求出期望值.
(1)
由题意得：甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率为，故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
(2)
X的可能取值为0,1,2,3,4
，，，，
故分布列为：
X 0 1 2 3 4
p
数学期望为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（，，），不计其他得分情况）．已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
4．设，随机变量的分布
0 1
则当在内增大时，（ ）A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：，高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
6．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 a 9
P b b
其中，，则下列说法正确的是（ ）A．若，则当时，随b的增大而增大
B．若，则当时，随b的增大而减小
C．若，则当时，有最小值
D．若，则当时，有最大值
8．某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球（，，，），从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．
①放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为
②放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为．则（）A． B．
C． D．
10．假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．
11．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布，则，（ ）
A．， B．
C． D．
12．为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为 B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%．记为“零件为第台机床加工”．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的一个零件是次品，分别计算它是第1，2台机床加工的概率．
14．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值______.
15．甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为，设为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是，则______．
16．某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.
四、解答题
17．在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.
(2)若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.
①写出X的分布列，并求数学期望；
②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.
18．2021年10月昆明生物多样性会议期间，一位摄影爱好者来到云南省旅游城市大理，这里有蝴蝶泉公园、洱海生态廊道、苍山地质公园三个著名的旅游景点，若这位摄影爱好者游览这三个景点的概率分别是，，，且是否游览哪个景点互不影响，设表示这位摄影爱好者离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率．
19．在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线.考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据.每一个学科的评价都有一个标准进行判断.以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一 二 三档，前定为一档，前到前定为二档，后定为三档.在一次全市的模拟考试中，考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为.
(1)求成绩位于时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；
(2)在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为.在此次模拟考试中，甲 乙 丙三位考生的数学成绩分别为.请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分上特控线的人数的分布列及数学期望.
20．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验． 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：
传统艺术活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
书画 古琴 汉服 戏曲 面塑
高一体验人数 80 45 55 20 45
高二体验人数 40 60 60 80 40
高三体验人数 15 50 40 75 30
(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况， 现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈． 设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系．
21．中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.
(1)若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；
(2)若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为，求的分布列和数学期望.
22．甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：
(1)甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先列出投篮得分的分布列，求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
设投篮得分为随机变量，则的分布列为
3 2 0
，所以，当且仅当，即，时，等号成立．
故的最大值为．
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【详解】
因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算为2，4的概率，为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.
【详解】
解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，
为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮
，
故．
故选：B
4．D
【解析】
【分析】
求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.
【详解】
因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
正态总体的取值关于X＝120对称，在130分以上的概率近似为（1﹣0.6826）＝0.1587，得到要求的结果.
【详解】
∵数学成绩近似地服从正态分布N（120，102），
又
∴
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为（1﹣0.6826）＝0.1587
∴理论上说在130分以上人数约为0.1587×40≈6.
故选：C
6．C
【解析】
【分析】
设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】
设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
根据公式算出期望和方差，进而结合二次函数的性质求得答案.
【详解】
若，则，故A,B均错误；
若，则，，其对称轴为：，则时，有最小值，即C正确，D错误.
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
利用正态分布的性质得出的值，进而估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数.
【详解】
因为服从正态分布，所以
则
且在区间内的个数为，故可估计值约万个.
则
故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为.
故选：B.
9．AD
【解析】
【分析】
求得随机变量，的分布列，根据数学期望公式计算可得选项.
【详解】
解：因为，，所以随机变量的分布列为：
1 2
因为，，，所以随机变量的分布列为：
1 2 3
所以，，所以．
因为，，所以，所以．
故选：AD．
10．AD
【解析】
【分析】
由计算可判断A；
由可判断B；
由图可知Y分布更集中，有，由此可判断C；
由图可知，由此可判断D.
【详解】
解：由正态分布，，
则，故A正确；
，故B错误；
由图可知Y分布更集中，所以，则，所以C错误；
由图可知，所以，则D正确，
故选：AD.
11．BCD
【解析】
【分析】
根据正态分布的知识可以确定A，再根据正态曲线的对称性确定B,C,D.
【详解】
依题意，所以，，即，，故A错误；
由于，所以，故B正确；
由于，，所以，故C正确.
由于，，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．BC
【解析】
【分析】
首先理解概率类型为超几何概率，结合组合数公式，即可计算，并判断选项.
【详解】
的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.
故选：BC.
13．（1）0.055；（2）.
【解析】
【分析】
（1）任取一个零件为次品包括三种情况：可能是第1台机床加工的次品，可能是第2台机床加工的次品，可能是第3台机床加工的次品，且每两种情况都是互斥的，所以利用互斥事件的概率公式求解；
（2）利用条件概率的概率公式求解
【详解】
（1）解：设“任取一个零件为次品”
由题意，，且，，两两互斥，由全概率公式，得
（2）
．
14．
【解析】
【分析】
根据题意得出的所有可能取值为，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算取每个值时的概率，从而求的均值.
【详解】
的所有可能取值为，
大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；
每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有个；
每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有个小正方体涂有一面油漆；
剩余的个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，
所以，，，，
.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
先利用相互独立事件的概率公式求出每局游戏中甲乙两名队员获得胜利的概率，再由二项分布的期望公式即可求期望.
【详解】
每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利，
每局游戏胜利包括三种情况：
甲投中次，乙投中次，概率为，
甲投中次，乙投中次，概率为，
甲投中次，乙投中次，概率为，
所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为，
若游戏的局数是，为甲乙两名队员获得胜利的局数，则，
所以，
故答案为：.
16．9.1
【解析】
【分析】
由题意可得X的取值范围为，然后结合X的分布列求出对应的概率，从而可求出的分布列，进而可求得
【详解】
X的取值范围为，且
，
，
，
.
所以分布列为
7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
.
故答案为：9.1
17．(1)65分
(2)①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元
【解析】
【分析】
（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，
（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得其分布列和期望，②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则，然后由①结合期望的性质可求得答案
(1)
这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.
由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分.
(2)
①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，
X的可能取值分别为0，1，2，3，
，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故.
②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则（元），
所以元，
故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元.
18．(1)分布列见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式求解概率，得到分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（2）利用参变量分离，将不等式转化为对于恒成立，利用基本不等式求解最值，求出的取值范围，确定的值，求解概率即可．
(1)
解：分别记“摄影爱好者游览蝴蝶泉公园”，“摄影爱好者游览洱海生态廊道”，“摄影爱好者游览苍山地质公园”为事件，，，
由已知，，相互独立，，，，
摄影爱好者游览的景点数的可能取值为，，，，相应地，没有游览的景点数的可能取值为，，，，所以的可能取值为，，
，
，
所以的分布列为
；
(2)
解：的可能取值为，，且时，不等式恒成立，
有恒成立，即；
当时，不等式恒成立，
当时，不等式不恒成立．
所以．
19．(1)，第一档的分数段为，第二档的分数段为
(2)
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为
【解析】
【分析】
（1）根据小矩形面积之和为1，求出成绩在所对应的频率为，结合题干条件求出一档、二档的分数段；（2）判断出甲乙丙的成绩属于哪一档，进而求出的可能取值，求出相应的概率，得到分布列，并求出期望值.
(1)
根据频率分布直方图的信息，成绩在，对应的频率分别为.
根据总的频率和为1，可得成绩在所对应的频率为.
，且，可知成绩在内的前也属于第一档.即可知第一档的分数段为，0.58=0.06+0.24+0.28且，故成绩在第内的后也属于第二档，所以二档的分数段为
(2)
根据第（1）问的结论可知，甲的成绩属于第三档，乙的成绩属于第二档，丙的成绩属于第一档.则的所有可能取值为
其中
则的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望为：.
20．(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【解析】
【分析】
（1）结合古典概型可直接求解；
（2）先判断取值为1,2,3，再结合超几何分布求解对应分布列和数学期望即可；
（3）结合相互独立事件概率公式求出，即可判断大小.
(1)
由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，
其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，
设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为；
(2)
由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有古琴、汉服、戏曲3项，
的所有可能值为1，2，3，
，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
故的数学期望；
(3)
由题可知，，，
，，，
故．
21．(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）任选2名学生，至多有1名学生未观看直播包括这2名学生都观看直播和恰好有1人观看直播两种情况，根据古典概率公式可得答案.
（2）由题意可取0，1，2，3，分别求出其概率，可得分布列，由期望公式可得数学期望.
(1)
设“从10名学生中任选2名学生，至多有1名学生未观看直播”为事件，
.
(2)
由题意可知可取0，1，2，3
，，，，
【点睛】
.
22．(1)
(2)
X 0 1 2 3 4
p
期望为.
【解析】
【分析】
（1）求出甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率，进而求出答案；（2）求出X的可能取值及相应的概率，写出分布列，求出期望值.
(1)
由题意得：甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率为，故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
(2)
X的可能取值为0,1,2,3,4
，，，，
故分布列为：
X 0 1 2 3 4
p
数学期望为
答案第1页，共2页
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