高一下数学人教A版（2019）第七章复数单元检测卷（Word含解析）

第七章复数单元检测卷
一、单选题
1．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知i，则（ ）
A．i B．i C．i D．i
5．已知复数（为虚数单位），若，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设，是复数，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、多选题
9．下列命题不正确的是（ ）
A．若，则当时，为纯虚数
B．若，，，则
C．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系
D．若，则的最大值为
10．下列命题中正确的有（ ）
A．若复数满足，则； B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则； D．若复数，则．
11．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
12．“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A． B．
C．是该方程的根 D．是该方程的根
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
14．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________.
15．已知是虚数单位，若（，），则的值为______．
16．复数的值为________．
四、解答题
17．已知复数z满足，，求复数z．
18．试分别解答下列两个小题：
（1）已知，，为虚数单位，，求复数；
（2）已知复数与都是纯虚数，，为虚数单位，若，试求实数的值．
19．当实数取何值时，复数满足：
（1）为实数
（2）为纯虚数
（3）在复平面内对应的点在第三象限..
20．（1）已知，，求满足的复数z．
（2）已知z，ω为复数，（为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．
21．利用复数的三角形式，求证：．
22．已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
求出，代入，即可求得模长.
【详解】
由题：，，
，
所以.
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
3．B
【解析】
【分析】
求出，再求得解.
【详解】
由得，
所以，
所以.
故选：.
4．A
【解析】
【分析】
化简i得,即得解.
【详解】
因为i，
所以，
所以=，
所以,
所以.
故选：A
5．D
【解析】
【分析】
利用复数模的定义建立不等式即可求得实数a的值．
【详解】
由题意，，
可得，整理得，所以，所以，
故选：D．
6．C
【解析】
【分析】
由已知，应用复数的除法、乘方运算化简求复数，进而求其模长.
【详解】
由，
∴，
∴.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
先求出，即可得到的共轭复数，直接得到答案.
【详解】
，所以的共轭复数，
它对应的点落在第四象限.
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
由模长为零可知，由此知A正确；由反例可知B错误；根据复数可以比较大小知，由此知C正确；设，，利用复数运算可构造方程求得结果，知D正确.
【详解】
对于A，，，，，A正确；
对于B，若，，则，此时，B错误；
对于C，若，可知，，C正确；
对于D，设，，，；
，，由知：设，则，
，，，解得：，
，D正确.
故选：B.
9．ABC
【解析】
【分析】
根据纯虚数的定义可判断A；举反例可判断B；当时可判断C；由复数模的几何意义可判断D，进而可得正确答案.
【详解】
对于A：对于，当且时，为纯虚数，故A说法不正确；
对于B：取，，满足，但不满足，故B说法不正确；
对于C：当时，实数没有纯虚数与之对应，故C说法不正确；
对于D：表示复数对应的点到点的距离等于，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，点到坐标原点的距离为，所以的最大值为，故D说法正确，
故选：ABC.
10．AD
【解析】
【分析】
根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.
【详解】
对于A中，设复数，
可得，
因为，可得，所以，所以A正确；
对于B中，取，可得，所以B不正确；
对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；
对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.
故选：AD
11．ABD
【解析】
【分析】
对于A：根据已知得，再由对数运算可判断；
对于B：由已知计算得，由此可判断；
对于C：由已知得对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，根据垂直的坐标表示可判断；
对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断．
【详解】
∵，∴，故A正确；
∵，∴．故B正确；
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴，或．故C不正确；
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
12．ABD
【解析】
【分析】
根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.
【详解】
解：对于A选项，由于是方程的根，则，
而，故，选项A正确；
对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；
对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；
对于D，，而，代入方程得，，
是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.
故选：ABD.
13．
【解析】
【分析】
根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.
【详解】
不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
根据判断点与x轴正半轴的夹角，得到点与x轴正半轴的夹角，即得复数，再利用复数的乘法运算计算即可.
【详解】
设对应的复数为，可得，
复平面上点与x轴正半轴的夹角为，则点与x轴正半轴的夹角为，
所以，
所以.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
利用复数的乘法及复数相等的概念求得结果.
【详解】
，
，
则，可得
．
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
将复数化简为标准形式即可.
【详解】
故答案为：
17．原方程无解．
【解析】
【分析】
由题得，设，则，解得或，再检验即得解.
【详解】
由已知得，两边取模得，
∵，∴，设，则，
解得或．
检验：当时，，，而，∴，因此原方程无解．
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据复数的除法运算即可求解；
（2）根据复数与都是纯虚数求出，再由求m即可.
【详解】
（1），
（2）设，
为纯虚数，
且，
解得，
，
，
解得.
19．（1）或；（2）或；（3）
【解析】
【分析】
（1）令虚部等于即可求解；
（2）令实部等于，虚部不等于即可求解；
（3）令实部小于，虚部小于即可求解；
【详解】
（1）若为实数，则，
解得：或；
（2）若为纯虚数，则，
解得：或；
（3）若在复平面内对应的点在第三象限，
则即，解得，
所以.
20．（1）；（2）±（7﹣i）．
【解析】
【分析】
（1）把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；
（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用为纯虚数，可得 ，又ω=，|ω|=5，可得
，即可得出a，b，再代入可得ω．
【详解】
（1）由，，
得
=，
则z=；
（2）设（a，b∈R），
∵为纯虚数，
∴．
又ω=
=i，|ω|=5，
∴．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，
∴或
∴ω=±（i）=±（7﹣i）．
21．证明见解析.
【解析】
【分析】
利用复数的三角形式分别计算，，由此证明.
【详解】
设，则
，
∴ ，
，
∴.
22．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
答案第1页，共2页
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