6.1平面向量的概念A
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相同
B．单位向量并不全相等
C．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小
D．与向量共线的向量，均可以用表示，其中
2．已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且同向，则＞
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
5．下列结论中，正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若向量与都是单位向量，则
C．若向量与是平行向量，则与的方向相同
D．若两个向量相等，则它们的模相等
6．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180°”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等
B．单位向量
C．零向量与任意向量平行
D．若向量，满足，则
E．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若和都是单位向量，则； B．相等的两个向量一定是共线向量；
C．，，则； D．两个非零向量的和可以是零.
11．下列命题中正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若和是都是单位向量，则
C．若，则与的夹角为0°
D．零向量与任何向量共线
12．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； （2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则； （4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同
A．4 B．3 C．2 D．1
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量＝0；
③向量大于向量；
④单位向量都相等.
其中，正确的说法是________(填序号).
14．已知命题“若，，则”是假命题，则__________.
15．如图，已知，则__________.
16．已知，不共线，若向量与向量反向共线，则实数的值为______.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
本题可根据向量的模、共线向量、单位向量、零向量、向量的定义得出结果.
【详解】
A项：向量与向量长度相同，方向相反，A正确；
B项：单位向量的长度为，但方向不确定，B正确；
C项：向量不能比较大小，但向量的长度可以比较大小，C正确；
D项：与向量共线的向量均可以用表示的前提是不是零向量，D错误，
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
计算出向量的坐标，即可得出，即可得解.
【详解】
由题意可得，则，所以，.
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
由向量是既有大小又有方向的量，两个非零向量平行的方向有两种情况：一是同向，二是反向，可判断
【详解】
向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3．
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D.
【详解】
对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，与平行，可能AB∥CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
根据向量相等、单位向量、平行向量的概念进行判断.
【详解】
A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；
B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；
C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；
D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，
故选：D.
6．C
【解析】
【分析】
根据图像，直接判断即可.
【详解】
由图可知，根据正六边形的性质，
与共线的有，，，共3个，
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
利用向量共线基本定理，可得，即求解即可
【详解】
由可知存在实数，使得，所以从而可得．
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
判断命题“若向量，的夹角为180°，则”和命题“若，则向量，的夹角为180°”的真假即可得解.
【详解】
因向量，为非零向量，则当向量，的夹角为180°时，与方向相反，即成立，
当时，与方向相同或者方向相反，即向量，的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量，的夹角为180°”是“”的充分不必要条件.
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.
【详解】
对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；
对于B，单位向量，故B错误；
对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；
对于E，，故E错误；
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断B的正误，根据向量的共线的定义可判断C的正误，根据向量的加法可判断D的正误.
【详解】
对于A，当和的方向不同时，不成立，故A错误.
对于B，相等向量的方向是相同的，故必是共线向量，故B正确.
对于C，若是零向量，则可以不共线，故C错.
对于D，当两个非零向量是相反向量时，它们的和为零向量，不是零.
故选：B.
11．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的概念依次判断即可得出.
【详解】
对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；
对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误；
对C，若，则与的夹角为或，故C错误；
对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.
故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
根据向量的定义即可判断.
【详解】
根据相等向量的定义可知（1）正确；
两个向量方向相反时不相等，（2）错误；
若，则，（3）错误；
向量可以平移，（4）错误.
故选：D.
13．①
【解析】
【分析】
利用向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】
对于①，根据相反向量的概念，，故①正确；
对于②，是一个向量，而0是一个数量，故②错误；
对于③，向量不能比较大小，故③错误；
对于④，单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④正确.
故答案为：①
14．
【解析】
【分析】
根据平面向量共线和零向量定义求解即可.
【详解】
若，，则是假命题，则，，
当时，，，
当时，，，
所以命题“若，，则”是假命题，则
故答案为：
15．1
【解析】
【分析】
利用向量相等可知且，然后利用三角形全等可知.
【详解】
且
根据三角形全等判断可知△△
即
故答案为：1
16．
【解析】
根据向量的共线定理可得关于的方程，可求得实数的值.
【详解】
∵，不共线，∴.又向量与向量反向共线，
∴存在实数，且，使，
即，解得（舍去）或.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量共线定理，关键在于运用待定系数法表示两向量求解方程组，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.1平面向量的概念B
一、单选题
1．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）
A． B． C． D．5
2．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知两个不相等的非零向量与，两组向量，，，，和，，，，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若，则与无关；③ 若∥，则与无关；④ 若，则；⑤若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．②③ D．①⑤
4．已知是两个单位向量，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
5．在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
6．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
7．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
8．点D为内一点，且，则=
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．设点是的外心，，则_______.
10．已知是两个非零向量，且，，则的最大值为_____．
11．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
12．设向量满足，，，．若，则的最大值是________．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．
【详解】
解：设，，，则，从而
，等号可取到．
故选：A
【点睛】
此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．
2．D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
3．B
【解析】
【分析】
按照中的对数分3种情况,求出的值:共3个值,故①不正确;作差比较可得最小,再逐个分析②③④⑤可得.
【详解】
当有零对时,;
当有2对时,;
当有4对时,;
所以有3个不同的值,所以①不正确;
因为,
,
因为,所以,
所以,所以,
对于②,因为,所以,则与无关,只与有关,所以②正确;
对于③,当时,设,则与有关,所以③不正确;
对于④,设与的夹角为,因为,所以 ,所以,故④正确;
对于⑤,因为,所以,因为,所以,所以, 因为,所以,所以与的夹角为,故⑤不正确.
故选.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想,平面向量的数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题.
4．C
【解析】
【分析】
先将因式分解，由此得到，利用向量运算的几何意义，用三角函数表示出，再用辅助角公式和三角函数求最值的方法，求得的最大值.
【详解】
由得：，即，设，则，则点在以为直径的圆上运动，
由图知：当时，，设，则，所以当时，取最大值，
故选C．
【点睛】
本小题主要考查平面向量的运算，考查平面向量运算的几何意义，考查三角函数求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5．A
【解析】
【分析】
由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
，
，
.
∵，∴.作于，则，∴，
∴为的中点，∴.
同理可证，∴为等边三角形.
答案选A
【点睛】
个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
6．B
【解析】
【分析】
将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】
本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
7．B
【解析】
【分析】
本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】
本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
8．D
【解析】
【详解】
分别延长至 ，使得 ，则 ，则 ， ， ，故选D.
9．
【解析】
【分析】
由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解】
设为平面内的一组基底.如图所示，
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
【点睛】
考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示
10．
【解析】
【分析】
构造，从而可知，于是的最大值可以利用基本不等式得到答案.
【详解】
由题意，令，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，且时取等号.故答案为.
【点睛】
本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大.
11．.
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
12．
【解析】
【分析】
令，计算出模的最大值即可，当与同向时的模最大．
【详解】
令，则，因为，所以当，，因此当与同向时的模最大，
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
