6.2平面向量的运算A
一、单选题
1．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
2．在中，有下列四个命题：
①；
②；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为锐角三角形.
其中所有正确的命题序号有（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②③④
3．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，则（ ）
A．1 B． C．5 D．
7．已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
9．如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量代表.若用向量代表整条手臂，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在中，，，为的中点，，交于，则（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
11．如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知向量，满足，，，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．在中，若，为线段上且满足，则实数的值为__________．
14．在平行四边形中，AB＝4，AD＝3，＝3，·＝－3，则·＝______．
15．在中，，，，为的三等分点，则____________.
16．已知点是所在平面内点，有下列四个等式：
甲：；乙：
丙：丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为___________．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由题知，进而结合与向量夹角公式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算可判断①②，根据向量的数量积的运算性质可判断③④的正误，从而得答案.
【详解】
根据向量的加法法则，，①正确；
,故②正确；
由，则，得,
故③正确；
由得，,即，
而为三角形内角，故为钝角，故为钝角三角形.，④错误，
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.
【详解】
因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.
故选：B
5．D
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】
由题意,
，
故选：D
6．D
【解析】
【分析】
结合已知条件利用即可求解.
【详解】
因为，
所以，
故.
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
由题知，再根据向量夹角求解即可.
【详解】
解:因为，
所以，
所以，
因为，
所以，由于
所以
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
根据向量的减法及数乘运算表示出，由向量的数量积运算法则化简转化为关于的表达式，再利用直角三角形性质求出即可得解.
【详解】
由题意可知，
,
，
由点是斜边的中点，可知
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
根据题意得，进而依次讨论即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，所以，
所以由于各向量间的夹角未知，故，均不一定成立，
故C选项正确，A，B，D选项错误；
所以C
10．A
【解析】
【分析】
由向量共线，令，应用向量加减、数乘的几何意义及三点共线求参数k，最后利用平面向量数量积的运算律求即可.
【详解】
设，
∵，，三点共线，故，故，
∴.
故选：A.
11．D
【解析】
【分析】
利用相等向量的定义判断选项AB，利用平面向量的三角形法则判断CD．
【详解】
对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
12．D
【解析】
【分析】
把平方求出，再由数量积定义求得夹角的余弦值，得夹角．
【详解】
，，
因为，
所以与的夹角为.
故选：D
13．
【解析】
【分析】
利用三点共线的性质即可得解
【详解】
，
又三点共线，，解得
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题考查向量共线，利用三点共线求参数问题，利用(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则.
14．6
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及数量积运算法则性质求解.
【详解】
如图，
因为＝3，,
所以，，
因为·＝－3，
所以()()＝3，
6．
故答案为：6
15．
【解析】
【分析】
用表示，然后计算数量积．
【详解】
设，，
同理，，
由得：，
∴
．
故答案为：．
16．乙
【解析】
【分析】
对于甲：由向量的线性运算可得点是的重心，对于乙：由向量的数量积运算可得是直角三角形；对于丙：可判断点是的外心；对于丁：由向量的数量积运算可得点是的垂心，再根据只有一个等式不成立即可得正确答案.
【详解】
对于甲：设点为的中点，，
因为，所以，极径，
所以点是的重心，
对于乙：由可得，
即，所以，可得是直角三角形；
对于丙：由可得点是的外心，
对于丁：由可得，
所以，可得，，即，，
所以点是的垂心，
因为只有一个等式不成立，则甲丙丁中至少有两个成立，而其中任意两个成立可得点是等边的中心，所以甲丙丁成立，乙不成立，
故答案为：乙.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2平面向量的运算B
一、单选题
1．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．梯形中，，点在线段上，点在线段上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在锐角中，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为( )
A． B．－ C． D．－
6．若向量，，满足，，且，则的最小值是
A． B． C．2 D．
7．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A． B． C． D．
8．已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是
A．[，0） B．[，0] C．[，1） D．[，1]
9．设O是的外心，满足，，若，则的面积是
A．4 B． C．8 D．6
10．若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
11．为三角形内部一点， 均为大于1的正实数，且满足，若 分别表示 的面积，则为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________.
14．设向量满足，，若，，则的最小值为_______ .
15．已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________.
16．已知中，，，且的最小值为，则__________.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量,得
即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，
故选D.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
2．C
【解析】
【分析】
根据等边三角形外接圆的性质以及三角形重心的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】
，
因为等边的三个顶点均在圆上，
所以，，
因此，
，
因为等边的三个顶点均在圆上，所以原点是等边的重心，
因此，
所以有：
，当时，即同向时，有最小值，最小值为，
故选：C
【点睛】
关键点睛：应用三角形重心的性质，三角形外接圆的性质是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，将当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出，结合，化简得，将表示成的关系式，再结合基本不等式求解即可
【详解】
，
，
由，化简得，
则，
当且仅当时取“=”号
故选：A
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法与减法的线性运算，基本不等式求最值，运算能力，属于难题
4．A
【解析】
【分析】
以为原点，所在直线为轴建立坐标系，得到，找出三角形为锐角三角形的的位置，得到所求范围.
【详解】
解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，
，，
，
设
是锐角三角形，
，，
即在如图的线段上（不与，重合），
，
，.
则，
的范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题.
5．A
【解析】
【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】
法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，
·＝(＋)·(－)
＝(＋)·[(－)－]
＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故选A.
【点睛】
1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
6．C
【解析】
根据向量数量积为零几何意义得对应点轨迹，再根据向量加法与减法几何意义以及圆的性质求最值.
【详解】
设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为，
因此
从而，选C.
【点睛】
本题考查向量数量积、向量加法与减法几何意义以及圆的性质，考查综合分析判断与求解能力，属较难题.
7．D
【解析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
8．A
【解析】
【详解】
建立如图所示的坐标系，
到直线的距离，
则，
的取值范围是，
故选A.
9．B
【解析】
【分析】
取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可.
【详解】
取AC中点D，因为O是的外心，所以
则 ，解得：
所以
即
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.
10．B
【解析】
【分析】
由题目条件可先求出，再根据向量模的不等式求出的值域，由即可求出.
【详解】
由题意得，
又因为，
所以，
当与同向时，，与反向时，，
又因为，
所以，
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以为中间量是解题的关键.
11．A
【解析】
利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．
【详解】
解：由，
如图设
，即是的重心
同理可得，
所以．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力，属于中档题．
12．D
【解析】
【分析】
设，可得，构造，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，所以
∴
，又，
所以，
又
则[0，2].
故选：D
【点睛】
本题考查了向量的综合运算，考查学生综合分析，转化化归，数学运算的能力.
13．3
【解析】
确定是内心，如图所示，得到，，得到，化简得到答案.
【详解】
，即，表示在的角平分线上，故是内心.
如图所示：；，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角形内心，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力.
14．
【解析】
先由向量的数量积判断出为等边三角形，再计算出的表达式，由，得出，进行代换，最后转化为点与点之间的距离，即可求得.
【详解】
解：，
，
解得：，
即，
为等边三角形，
，
又，即，
，
即，
，
上式可转化为求点与点之间的距离，
令，，，
即，
又的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是将转化为求点与点之间的距离，再根据距离公式进行求解.
15．
【解析】
【分析】
先求得，根据，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得的取值范围，排除与共线时的值，由此求得的取值范围.
【详解】
由题意可知.
又∵，
∴与的夹角为锐角，∴.
∵，∴.
解得或.
当时，与共线，其夹角不为锐角，
故的取值范围是.
故填：.
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“与共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为与为锐角等价.
16．3
【解析】
【分析】
由题可知，向量与均为单位向量且互相垂直，再利用数形结合进行求解.
【详解】
记，，则表示与同方向的单位向量.又，则B、D、E三点共线.
当与垂直时，有最小值，所以.所以.
故答案为：3.
【点睛】
本题解题的难点在于的几何意义，表示方向上的单位向量， 再利用三点共线作出分析求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
