6.3平面向量基本定理及坐标表示A
一、单选题
1．设向量，向量，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”的结果为向量）， 若已知向量，且向量与向量 共线又与向量 垂直，则向量的坐标为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，使得
C．，与的夹角小于 D．，使得
3．已知平面向量，满足，与的夹角为，记 ，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，线段，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，，设O为原点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量，满足，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
6．在直角坐标系xOy中，异于坐标原点的点和点满足，按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若若，其中O为坐标原点，则m与θ的值（ ）
A．m不确定， B．，θ不确定
C．， D．m不确定，θ不确定
7．已知向量满足，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．
8．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．在梯形中，，，，，与相交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，是△（不含边界）内的动点，满足，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，，设，，则___________．
14．已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
15．设，分别是的边，上的点，，.若，则的值为__________.
16．已知向量，（），且，，则向量的坐标可以是________．（写出一个即可）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由题意先求出，再根据向量的平行与垂直得出关于的方程，从而得出答案.
【详解】
解析：设，依题意得：
由题意可得 ，解得
故
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，
所以，故选项正确；
因为，若，则，
解得：，即当时，，故选项B错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故选项C错误；
因为，
，
所以不存在，使得，故选项D错误；
故选：.
3．A
【解析】
【分析】
以起点，作出向量，，使得，，则可得点在直线上，求出到直线的距离即可得结论．
【详解】
如图，作，，使得，则满足题意，
设，则点在直线上，
点到直线的距离为，即为的最小值．
所以的取值范围是．
故选：A．
4．C
【解析】
【分析】
令，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．
【详解】
解：如图令，，由于，故，，
如图，，故，，
故，同理可求得，即，
∴，
∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，
故选：C．
5．A
【解析】
【分析】
先计算出，然后对其两边平方，建立方程，即可求出.
【详解】
由可知，，所以，整理得，所以.
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
可以根据条件求出，从而求出m的值，并可求出，从而可根据求出，进而得出.
【详解】
解：，
可得，
所以，，又，所以.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
由题求出，，结合在方向上的投影为计算即可.
【详解】
由，
，代值运算得，故在方向上的投影为.
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．
【详解】
∵
∴
∵
∴＝
∴＝，
∴
故选：C
9．A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，求出直线AC的方程，直线BD的方程为，进而求得交点，设，利用向量的数量积公式即可得解.
【详解】
解：以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则，，所以直线AC的方程为，直线的斜率，
∵，所以直线的斜率，故直线的方程为，
设，由，解得，即
∵，∴,
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
设，由，结合题干条件和平面向量基本定理，即得解
【详解】
根据题意画出草图，如图：
点是线段上一点，
设，
.
由平面向量基本定理可得解得.
故选：C
11．B
【解析】
【分析】
设向量，夹角为，由已知可得，根据数量积的定义以及运算律将其展开化简可得，结合的范围即可得的取值范围.
【详解】
由可得即，
设向量，夹角为，则，
由数量积的定义可得：，
因为，所以，
所以，
当时，显然成立；
当时，可得，
因为，所以，因为，
所以，即，可得，
所以，
所以的取值范围是：，
故选：B.
12．C
【解析】
【分析】
分别取、的中点、，连接交于，分析可知在线段（不含端点）上，求出、关于、的表达式，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】
如图，分别取、的中点、，连接交于，
、分别是、的中点，则，
，则，
所以，在线段（不含端点）上．
，，则，
则，
同理，，．
故选：C.
13．
【解析】
【分析】
选作为基向量，则有，，用，表示出，结合，可求出的值即可.
【详解】
选作为基向量，则有， 可得
又，
解得，所以
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的线性运算，向量的运算有两种方法：
一是结合图形的几何性质：平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
14．##
【解析】
【分析】
由向量坐标运算可求得，代入向量夹角公式可求得，由此可得结果.
【详解】
解：由题意得：，
设，则，即
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
利用向量运算化简，由此求得，进而求得.
【详解】
，
所以.
故答案为：
16．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据已知条件列关于，的方程组，解方程组即可求解.
【详解】
向量，（），且，，
所以，取符合题意，
所以向量的坐标可以是，
故答案为：（答案不唯一）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3平面向量基本定理及坐标表示B
一、单选题
1．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则( )
A． B． C． D．
2．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
3．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A． B． C． D．
4．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
A． B．
C． D．
6．记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin． 若平面向量 a， b， c 满足| a |＝| b |＝a b＝c (a＋2b－2c)＝2． 则（ ）
A．|a－c|max＝ B．|a＋c|max＝
C．|a－c|min＝√ D．|a＋c|min＝
7．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点 在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）
A． B． C． D．5
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．设向量,其中.若,则的最小值为________.
14．【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为( )
15．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
16．已知中，，，，是内一点，使得.设垂直于，垂直于，则______.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，得到的坐标，再根据，得到点坐标，设坐标为，是上一点，，可以得到关于的方程；可得,得到关于的方程；解出得到点坐标，再由向量的夹角公式，得到，从而可得.
【详解】
以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，
则，
，
设坐标为 是上一点，则
，
由可得，即
解得，
，，
，故选B项.
【点睛】
本题考查向量的坐标表示，向量共线和垂直的表示，向量夹角的余弦公式，计算量较大，属于难题.
2．D
【解析】
【分析】
A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】
A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
3．C
【解析】
【分析】
如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,
【详解】
如图:
设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,
过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,
过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,
所以,
当Q在BC的下方时, ;
当Q在BC上时,,
当Q在BC的上方时,,
根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
4．B
【解析】
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解】
以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
圆的方程为，可设，
所以．
故．
所以的最大值为
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.
5．B
【解析】
【分析】
过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.
【详解】
解：过点分别作交于点，作交于点，
已知，，
，则和，
则：且，
即：且，所以，
则：，所以，
解得：，
同理，和，
则：且，
即：且，所以，
则：，即，
所以，即，
得：，
解得：，
四边形是平行四边形，
由向量加法法则，得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.
6．A
【解析】
【详解】
分析：由条件可设，，由向量数量积的坐标表示可得C在以圆心，半径为的圆上运动，根据向量模长的几何意义以及圆的性质，运用最大值为，计算可得所求．
详解：根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，且表示点A与点C的距离，则，故选A.
点睛：此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.
7．C
【解析】
【分析】
先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】
，
由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，
，
，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，
，，
是的中点，
则．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8．B
【解析】
【分析】
设AD交BC于E，然后根据条件得到点E的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比.
【详解】
如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，
∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.
故选：B.
9．C
【解析】
【分析】
化简得到，根据得到，得到的最大值.
【详解】
，
故
故，故.
当时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
10．C
【解析】
由圆的参数方程，设出 点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，可得，
设，
设，其中，
所以，
所以
，
因为，所以，
可得，即的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.
11．B
【解析】
【分析】
根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.
【详解】
连接，，
三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：，，即.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.
12．A
【解析】
由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．
【详解】
解：设，，，则，从而
，等号可取到．
故选：A
【点睛】
此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．
13．
【解析】
根据向量关系建立等式，求出，即可求得的最小值.
【详解】
由题：向量,其中，
若,即
，
所以
即，解得：，
，
当时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据向量的线性关系求解参数的范围，熟练掌握基本运算，涉及转化与化归思想.
14．
【解析】
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
由知为锐角，且，故，
．
∴点B,C的坐标为，
∴．
又，
∴，
∴，解得，
∴．
15．
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，，设，，然后根据得，再设，，，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.
【详解】
以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．
故答案为：.
【点睛】
一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值.
16．
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点、的坐标，结合求出点的坐标，再由求出点的坐标，由此可计算出的值.
【详解】
以点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图：
在中，，，，得，
则，，，，
设点，则，，.
由题意得，解得，即点.
设，则.
由，解得.
，，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算，建立坐标系求出相应点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
