28.1.1 正弦同步练习（含答案）
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28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
一、选择题
1.【2020·河池】在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝12,则sin B的值为( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinA＝,AC＝4,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.【2021·桂林】如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A. B. C. D.
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦值( )
A.没有变化 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.不能确定
5.如图,在2×2的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB的值为( )
A. B. C. D.
6.【2020·聊城】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( )
A． B． C． D．
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是( )
A. B. C. D.
8.【2021·云南】在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是( )
A. B. C.60 D.80
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的面积为( )
A.80 B.100 C.120 D.150
10.【2020·扬州】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为( )
A. B. C. D.
第10题图 第11题图 第12题图
11.【攀枝花中考】如图,点D(0，3),O(0，0),C(4，0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD＝( )
A． B． C． D．
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sin A＝＝_______
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，a＝________，c＝________，b2＝__________．
第13(1)题图 第16题图 第17题图 第18题图
14.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是____．
15.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝3BC,则sin B＝ .
16.已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高.若AE∶CF=3∶2,则sin∠BAC∶sin∠ACB= .
17.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为 .
归纳总结
利用等角转换法求锐角三角函数值
利用等角转换法,把要求的角转化为与其相等的角,找相等角的方法有多种,可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等(相似)和圆等知识来解决,要根据题目的条件灵活选用方法.
18.如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝∠CBD.若sin A＝,AB＝5,则CD＝ .
三、解答题
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)sin B可以写为哪两条线段之比？
(2)若AC＝5，CD＝3，求sin B的值．
20.如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径是4，AB＝8.
(1)求OB的长；
(2)求sinA的值．
21.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且满足等式b2＝(c+a)(c－a),5b－4c＝0,求sinA+sinB的值.
22.【中考·潍坊】如图，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF；
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
23.【2021·随州】如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若⊙O的直径为9，sin A＝.
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．
24.【沈阳中考】如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG＝2∠C.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若sin∠EGC＝,☉O的半径是3,求AF的长.
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参考答案
一、选择题
1.【2020·河池】在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝12,则sin B的值为( D )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinA＝,AC＝4,则AB的长为( C )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.【2021·桂林】如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,过点P作PM⊥x轴于点M,∵P(3,4),∴OM=3,PM=4,∴OP==5,∴sin α==.
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦值( )
A.没有变化 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.不能确定
【答案】A
【解析】若Rt△ABC的各边长度都扩大2倍,则所得新三角形与原三角形相似,故锐角A大小不变,其正弦值也没有变化.
5.如图,在2×2的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin ∠CAB的值为( B )
A. B. C. D.
6.【2020·聊城】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )
A． B． C． D．
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠A.∵sin∠BCD=,sin A==,∴A项、B项、D项都能表示sin∠BCD.
8.【2021·云南】在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是( )
A. B. C.60 D.80
【答案】D
【解析】在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴sin A=,∴BC=ACsin A=100×=60,∴AB==80.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的面积为( )
A.80 B.100 C.120 D.150
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,sin A==,∴AB==25,∴AC===15,∴△ABC的面积为AC×BC=×15×20=150.
10.【2020·扬州】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为( A )
A. B. C. D.
第10题图 第11题图 第12题图
11.【攀枝花中考】如图,点D(0，3),O(0，0),C(4，0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD＝( D )
A． B． C． D．
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,,则sinA的值为( B )
A. B. C. D.
二、填空题
13.(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sin A＝＝_______
【答案】对边 斜边 sin A 对边
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，a＝________，c＝________，b2＝__________．
【答案】 c·sinA c2－a2
第13(1)题图 第16题图 第17题图 第18题图
14.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是____．
【答案】
15.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝3BC,则sin B＝ .
16.已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高.若AE∶CF=3∶2,则sin∠BAC∶sin∠ACB= .
【答案】2∶3
【解析】根据题意,画出图形(如图).∵sin∠BAC=,sin∠ACB=,AE∶CF=3∶2,
∴sin∠BAC∶sin∠ACB==FC∶AE=2∶3.
17.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为 .
【答案】2
【解析】如图,连接CD,∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∵∠D=∠B,
∴sin D=sin B=.在Rt△ACD中,sin D==,∴AC=AD=×8=2.
归纳总结
利用等角转换法求锐角三角函数值
利用等角转换法,把要求的角转化为与其相等的角,找相等角的方法有多种,可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等(相似)和圆等知识来解决,要根据题目的条件灵活选用方法.
18.如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝∠CBD.若sin A＝,AB＝5,则CD＝ .
三、解答题
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)sin B可以写为哪两条线段之比？
解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°. ∴∠ACD＝∠B.
∵在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，∴sin B＝.
在Rt△BDC中，sin B＝；
在Rt△BAC中，sin B＝，∴sin B＝＝＝.
(2)若AC＝5，CD＝3，求sin B的值．
解：在Rt△ADC中，AD＝＝＝4，
∴sin B＝＝.
20.如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径是4，AB＝8.
(1)求OB的长；
解：由题意可知，OC＝2.
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.
∵OA＝OB，∴AC＝BC＝4.
在Rt△OBC中，由勾股定理得OB＝＝＝2.
(2)求sinA的值．
解：在Rt△OAC中，sinA＝＝＝.
21.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且满足等式b2＝(c+a)(c－a),5b－4c＝0,求sinA+sinB的值.
解:∵b2＝(c+a)(c－a),
∴b2＝c2－a2,即a2+b2＝c2,
∴△ABC是以c为斜边的Rt△ABC.
∵5b－4c＝0,∴,
设b＝4k,则c＝5k,∴a＝3k,
∴sinA+sinB＝.
22.【中考·潍坊】如图，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF；
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AM，BF⊥AM，∴∠DEA＝∠AFB＝90°.
∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE.
在△DEA和△AFB中，
∴△DEA≌△AFB.∴AE＝BF.
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
解：设AE＝x，则BF＝x.
∵△DEA≌△AFB，∴DE＝AF＝2.
∵四边形ABED的面积为24，
∴AE·BF＋AE·ED＝x2＋×2x＝24，
解得x1＝6，x2＝－8(舍去)．
∴AE＝BF＝6.
∴EF＝AE－AF＝6－2＝4.
在Rt△EFB中，BE＝＝＝2 ，
∴sin ∠EBF＝＝＝.
23.【2021·随州】如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
(1)求证：AB＝BC；
证明：如图，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE.
∵BC⊥DE，∴OD∥BC.
∴∠ODA＝∠C.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A.
∴∠A＝∠C.∴AB＝BC.
(2)若⊙O的直径为9，sin A＝.
①求线段BF的长；
解：如图，连接BD，则∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，∵sin A＝＝，AB＝9，∴BD＝3.
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD.
∵∠OBD＋∠A＝∠FDB＋∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB，∴sin A＝sin∠FDB.
在Rt△BDF中，∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝1.
②求线段BE的长．
解：由(1)知OD∥BF，∴∠EBF＝∠EOD.
又∵∠BEF＝∠OED，∴△EBF∽△EOD.
∴＝，即＝，
解得BE＝.
24.【沈阳中考】如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG＝2∠C.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若sin∠EGC＝,☉O的半径是3,求AF的长.
解:(1)连接OE.∴∠EOG＝2∠C.
∵∠ABG＝2∠C,∴∠EOG＝∠ABG,∴AB∥OE.
∵EF⊥AB,∴EF⊥OE.
又∵OE是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.
(2)∵∠ABG＝2∠C,∠ABG＝∠C+∠A,
∴∠A＝∠C,∴AB＝BC＝6.
在Rt△OEG中,sin ∠EGC＝,
∴OG＝＝5,∴BG＝OG－OB＝2.
在Rt△FGB中,sin ∠EGC＝,
∴BF＝BG·sin ∠EGC＝2×,
∴AF＝AB－BF＝6－.
第1课时 正 弦
一、选择题
1.【2020·河池】在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝12,则sin B的值为( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinA＝,AC＝4,则AB的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.【2021·桂林】如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A. B. C. D.
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦值( )
A.没有变化 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.不能确定
5.如图,在2×2的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin∠CAB的值为( )
A. B. C. D.
6.【2020·聊城】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( )
A． B． C． D．
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是( )
A. B. C. D.
8.【2021·云南】在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是( )
A. B. C.60 D.80
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的面积为( )
A.80 B.100 C.120 D.150
10.【2020·扬州】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为( )
A. B. C. D.
第10题图 第11题图 第12题图
11.【攀枝花中考】如图,点D(0，3),O(0，0),C(4，0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD＝( )
A． B． C． D．
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sin A＝＝_______
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，a＝________，c＝________，b2＝__________．
第13(1)题图 第16题图 第17题图 第18题图
14.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是____．
15.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝3BC,则sin B＝ .
16.已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高.若AE∶CF=3∶2,则sin∠BAC∶sin∠ACB= .
17.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为 .
归纳总结
利用等角转换法求锐角三角函数值
利用等角转换法,把要求的角转化为与其相等的角,找相等角的方法有多种,可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等(相似)和圆等知识来解决,要根据题目的条件灵活选用方法.
18.如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝∠CBD.若sin A＝,AB＝5,则CD＝ .
三、解答题
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)sin B可以写为哪两条线段之比？
(2)若AC＝5，CD＝3，求sin B的值．
20.如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径是4，AB＝8.
(1)求OB的长；
(2)求sinA的值．
21.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且满足等式b2＝(c+a)(c－a),5b－4c＝0,求sinA+sinB的值.
22.【中考·潍坊】如图，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF；
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
23.【2021·随州】如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若⊙O的直径为9，sin A＝.
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．
24.【沈阳中考】如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG＝2∠C.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若sin∠EGC＝,☉O的半径是3,求AF的长.
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参考答案
一、选择题
1.【2020·河池】在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝12,则sin B的值为( D )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinA＝,AC＝4,则AB的长为( C )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.【2021·桂林】如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,过点P作PM⊥x轴于点M,∵P(3,4),∴OM=3,PM=4,∴OP==5,∴sin α==.
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A的正弦值( )
A.没有变化 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.不能确定
【答案】A
【解析】若Rt△ABC的各边长度都扩大2倍,则所得新三角形与原三角形相似,故锐角A大小不变,其正弦值也没有变化.
5.如图,在2×2的正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于,则sin ∠CAB的值为( B )
A. B. C. D.
6.【2020·聊城】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )
A． B． C． D．
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠A.∵sin∠BCD=,sin A==,∴A项、B项、D项都能表示sin∠BCD.
8.【2021·云南】在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是( )
A. B. C.60 D.80
【答案】D
【解析】在△ABC中,∵∠ABC=90°,∴sin A=,∴BC=ACsin A=100×=60,∴AB==80.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则△ABC的面积为( )
A.80 B.100 C.120 D.150
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,sin A==,∴AB==25,∴AC===15,∴△ABC的面积为AC×BC=×15×20=150.
10.【2020·扬州】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为( A )
A. B. C. D.
第10题图 第11题图 第12题图
11.【攀枝花中考】如图,点D(0，3),O(0，0),C(4，0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD＝( D )
A． B． C． D．
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,,则sinA的值为( B )
A. B. C. D.
二、填空题
13.(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的________与________的比叫做∠A的正弦，记作________，即sin A＝＝_______
【答案】对边 斜边 sin A 对边
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，a＝________，c＝________，b2＝__________．
【答案】 c·sinA c2－a2
第13(1)题图 第16题图 第17题图 第18题图
14.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是____．
【答案】
15.在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝3BC,则sin B＝ .
16.已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高.若AE∶CF=3∶2,则sin∠BAC∶sin∠ACB= .
【答案】2∶3
【解析】根据题意,画出图形(如图).∵sin∠BAC=,sin∠ACB=,AE∶CF=3∶2,
∴sin∠BAC∶sin∠ACB==FC∶AE=2∶3.
17.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为 .
【答案】2
【解析】如图,连接CD,∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∵∠D=∠B,
∴sin D=sin B=.在Rt△ACD中,sin D==,∴AC=AD=×8=2.
归纳总结
利用等角转换法求锐角三角函数值
利用等角转换法,把要求的角转化为与其相等的角,找相等角的方法有多种,可以借助平行线、等腰三角形、三角形全等(相似)和圆等知识来解决,要根据题目的条件灵活选用方法.
18.如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝∠CBD.若sin A＝,AB＝5,则CD＝ .
三、解答题
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)sin B可以写为哪两条线段之比？
解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°. ∴∠ACD＝∠B.
∵在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，∴sin B＝.
在Rt△BDC中，sin B＝；
在Rt△BAC中，sin B＝，∴sin B＝＝＝.
(2)若AC＝5，CD＝3，求sin B的值．
解：在Rt△ADC中，AD＝＝＝4，
∴sin B＝＝.
20.如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径是4，AB＝8.
(1)求OB的长；
解：由题意可知，OC＝2.
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.
∵OA＝OB，∴AC＝BC＝4.
在Rt△OBC中，由勾股定理得OB＝＝＝2.
(2)求sinA的值．
解：在Rt△OAC中，sinA＝＝＝.
21.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且满足等式b2＝(c+a)(c－a),5b－4c＝0,求sinA+sinB的值.
解:∵b2＝(c+a)(c－a),
∴b2＝c2－a2,即a2+b2＝c2,
∴△ABC是以c为斜边的Rt△ABC.
∵5b－4c＝0,∴,
设b＝4k,则c＝5k,∴a＝3k,
∴sinA+sinB＝.
22.【中考·潍坊】如图，点M是正方形ABCD的边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE.
(1)求证：AE＝BF；
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AM，BF⊥AM，∴∠DEA＝∠AFB＝90°.
∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE.
在△DEA和△AFB中，
∴△DEA≌△AFB.∴AE＝BF.
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
解：设AE＝x，则BF＝x.
∵△DEA≌△AFB，∴DE＝AF＝2.
∵四边形ABED的面积为24，
∴AE·BF＋AE·ED＝x2＋×2x＝24，
解得x1＝6，x2＝－8(舍去)．
∴AE＝BF＝6.
∴EF＝AE－AF＝6－2＝4.
在Rt△EFB中，BE＝＝＝2 ，
∴sin ∠EBF＝＝＝.
23.【2021·随州】如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
(1)求证：AB＝BC；
证明：如图，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE.
∵BC⊥DE，∴OD∥BC.
∴∠ODA＝∠C.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A.
∴∠A＝∠C.∴AB＝BC.
(2)若⊙O的直径为9，sin A＝.
①求线段BF的长；
解：如图，连接BD，则∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，∵sin A＝＝，AB＝9，∴BD＝3.
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD.
∵∠OBD＋∠A＝∠FDB＋∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB，∴sin A＝sin∠FDB.
在Rt△BDF中，∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝1.
②求线段BE的长．
解：由(1)知OD∥BF，∴∠EBF＝∠EOD.
又∵∠BEF＝∠OED，∴△EBF∽△EOD.
∴＝，即＝，
解得BE＝.
24.【沈阳中考】如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG＝2∠C.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若sin∠EGC＝,☉O的半径是3,求AF的长.
解:(1)连接OE.∴∠EOG＝2∠C.
∵∠ABG＝2∠C,∴∠EOG＝∠ABG,∴AB∥OE.
∵EF⊥AB,∴EF⊥OE.
又∵OE是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.
(2)∵∠ABG＝2∠C,∠ABG＝∠C+∠A,
∴∠A＝∠C,∴AB＝BC＝6.
在Rt△OEG中,sin ∠EGC＝,
∴OG＝＝5,∴BG＝OG－OB＝2.
在Rt△FGB中,sin ∠EGC＝,
∴BF＝BG·sin ∠EGC＝2×,
∴AF＝AB－BF＝6－.