28.1.3 特殊角的三角函数值同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 28.1.3 特殊角的三角函数值同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1004.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-15 16:15:51 | ||
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文档简介
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
一、选择题
1.sin 60°的值等于( )
A. B. C. D.
2.若α为锐角,且满足2sin (α－10°)＝,则α等于( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.在△ABC中,若cos A＝,tan B＝,则这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝,则sin B＝( )
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是( )
A．tanA＝ B．sin2A＋cos2A＝1
C．sin2A＋sin2B＝1 D．tanA·tanB＝1
6.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则sin ∠AEB的值为( )
A． B． C． D．
7.在△ABC中，sin B＝cos(90°－C)＝，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8.已知在△ABC中，AB＝，BC＝tan 45°，AC＝2sin 60°，则cos A的值为( )
A. B. C. D.
9.【2021·泸州】在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为( )
A. B. C．16π D．64π
10.点(－sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是( )
A.tan30°= B.tan60°= C.tan15°=1+ D.tan75°=2+
【变式训练】类比上题的方法，计算tan22.5°的值为( )
A.＋1 B.－1 C. D.
12.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝,则方程tan Ax2－2x+tan B＝0的根为( )
A.x1＝,x2＝3 B.x1＝,x2＝ C.x1＝x2＝ D.x1＝,x2＝1
二、填空题
13.特殊角的三角函数值：
sin30°＝______，sin45°＝______，sin60°＝______；cos30°＝______，cos45°＝______，cos60°＝______；tan30°＝______，tan45°＝______，tan60°＝______．
14.若锐角x满足tan2 x－(+1)tan x+＝0,则x＝ .
15.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，sinB＝，则∠C＝________．
16.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_________．
17.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α＝sin B;②sin β＝sin C;③sin B＝cos C;④sin α＝cos β.其中正确的结论有 .(填写序号即可)
三、解答题
19.计算:3tan 30°－2tan 45°·cos 30°+4cos 60°.
20.在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A－1|+＝0,求∠C的度数.
21.已知α,β为锐角,且sin(90°－α)＝,sin β＝,求的值.
22.在△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且有c2+4b2－4bc＝0,求sin A+cos A的值.
23.观察下列等式:
①sin 30°＝,cos 60°＝;
②sin 45°＝,cos 45°＝;
③sin 60°＝,cos 30°＝.
(1)根据上述规律,计算sin2α+sin2(90°－α)＝ ;
(2)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.
24.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
sin α＝sin(180°－α),cos α＝－cos(180°－α).
(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A,∠B的大小.
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参考答案
一、选择题
1.sin 60°的值等于( D )
A. B. C. D.
2.若α为锐角,且满足2sin (α－10°)＝,则α等于( C )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.在△ABC中,若cos A＝,tan B＝,则这个三角形一定是( C )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝,则sin B＝( A )
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是( A )
A．tanA＝ B．sin2A＋cos2A＝1
C．sin2A＋sin2B＝1 D．tanA·tanB＝1
6.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则sin ∠AEB的值为( D )
A． B． C． D．
7.在△ABC中，sin B＝cos(90°－C)＝，那么△ABC是( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8.已知在△ABC中，AB＝，BC＝tan 45°，AC＝2sin 60°，则cos A的值为( B )
A. B. C. D.
9.【2021·泸州】在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为( )
A. B. C．16π D．64π
【点拨】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－75°－45°＝60°.
∵＝2R，∴2R＝＝＝.
∴R＝. ∴S＝πR2＝π·＝π.
【答案】A
10.点(－sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是( A )
A. B. C. D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是( )
A.tan30°= B.tan60°= C.tan15°=1+ D.tan75°=2+
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中,由∠BAC=30°,BC=1,得AB=2,由勾股定理得AC=,所以tan∠BAC=tan 30°==, tan∠ABC=tan 60°==,所以选项A,B中的式子都正确.因为AD=AB=2,所以∠DBA=∠D=∠BAC=15°.在Rt△BCD中,tan∠BDC=tan 15°===2-,tan∠DBC=tan75°===2+,所以选项C中的式子错误,选项D中的式子正确.
【变式训练】类比上题的方法，计算tan22.5°的值为( B )
A.＋1 B.－1 C. D.
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝－1.
12.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝,则方程tan Ax2－2x+tan B＝0的根为( C )
A.x1＝,x2＝3 B.x1＝,x2＝ C.x1＝x2＝ D.x1＝,x2＝1
二、填空题
13.特殊角的三角函数值：
sin 30°＝______，sin 45°＝______，sin 60°＝______；
【答案】
cos 30°＝______，cos 45°＝______，cos 60°＝______；
【答案】
tan 30°＝______，tan 45°＝______，tan 60°＝______．
【答案】 1
14.若锐角x满足tan2 x－(+1)tan x+＝0,则x＝ 45°或60° .
15.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，sinB＝，则∠C＝________．
【答案】120°
16.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_________．
【答案】75°
17.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．
【答案】－1
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α＝sin B;②sin β＝sin C;③sin B＝cos C;④sin α＝cos β.其中正确的结论有 ①②③④ .(填写序号即可)
三、解答题
19.计算:3tan 30°－2tan 45°·cos 30°+4cos 60°.
解:原式＝3×+2＝2.
20.在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A－1|+＝0,求∠C的度数.
解:由题意,得tan A－1＝0,cos B－＝0,
∴tan A＝1,cos B＝,∴∠A＝45°,∠B＝60°,
∴∠C＝75°.
21.已知α,β为锐角,且sin(90°－α)＝,sin β＝,求的值.
解:由题意得cos (90°－β)＝sin β＝.
22.在△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且有c2+4b2－4bc＝0,求sin A+cos A的值.
解:∵c2+4b2－4bc＝0,
∴(c－2b)2＝0,∴c＝2b,即在直角三角形中,,
∴sin A+cos A＝.
23.观察下列等式:
①sin 30°＝,cos 60°＝;
②sin 45°＝,cos 45°＝;
③sin 60°＝,cos 30°＝.
(1)根据上述规律,计算sin2α+sin2(90°－α)＝ 1 ;
(2)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.
解:(2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
＝(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+sin245°
＝1+1+…+1+
＝44+
＝.
24.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
sin α＝sin(180°－α),cos α＝－cos(180°－α).
(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A,∠B的大小.
解:(1)由题意得sin 120°＝sin(180°－120°)＝sin 60°＝,
cos 120°＝－cos(180°－120°)＝－cos 60°＝－,
sin 150°＝sin(180°－150°)＝sin 30°＝.
(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4,
∴三个内角分别为30°,30°,120°.
①当∠A＝30°,∠B＝120°时,方程的两根为,
将x＝－1＝0,解得m＝0,
经检验,－是方程4x2－1＝0的根,
∴m＝0符合题意;
②当∠A＝120°,∠B＝30°时,方程的两根为,不符合题意;
③当∠A＝30°,∠B＝30°时,方程的两根为,
将x＝－1＝0,
解得m＝0,
经检验,不是方程4x2－1＝0的根,不符合题意.
综上可知m＝0,∠A＝30°,∠B＝120°.
第3课时 特殊角的三角函数值
一、选择题
1.sin 60°的值等于( )
A. B. C. D.
2.若α为锐角,且满足2sin (α－10°)＝,则α等于( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.在△ABC中,若cos A＝,tan B＝,则这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝,则sin B＝( )
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是( )
A．tanA＝ B．sin2A＋cos2A＝1
C．sin2A＋sin2B＝1 D．tanA·tanB＝1
6.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则sin ∠AEB的值为( )
A． B． C． D．
7.在△ABC中，sin B＝cos(90°－C)＝，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8.已知在△ABC中，AB＝，BC＝tan 45°，AC＝2sin 60°，则cos A的值为( )
A. B. C. D.
9.【2021·泸州】在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为( )
A. B. C．16π D．64π
10.点(－sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是( )
A.tan30°= B.tan60°= C.tan15°=1+ D.tan75°=2+
【变式训练】类比上题的方法，计算tan22.5°的值为( )
A.＋1 B.－1 C. D.
12.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝,则方程tan Ax2－2x+tan B＝0的根为( )
A.x1＝,x2＝3 B.x1＝,x2＝ C.x1＝x2＝ D.x1＝,x2＝1
二、填空题
13.特殊角的三角函数值：
sin30°＝______，sin45°＝______，sin60°＝______；cos30°＝______，cos45°＝______，cos60°＝______；tan30°＝______，tan45°＝______，tan60°＝______．
14.若锐角x满足tan2 x－(+1)tan x+＝0,则x＝ .
15.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，sinB＝，则∠C＝________．
16.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_________．
17.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α＝sin B;②sin β＝sin C;③sin B＝cos C;④sin α＝cos β.其中正确的结论有 .(填写序号即可)
三、解答题
19.计算:3tan 30°－2tan 45°·cos 30°+4cos 60°.
20.在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A－1|+＝0,求∠C的度数.
21.已知α,β为锐角,且sin(90°－α)＝,sin β＝,求的值.
22.在△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且有c2+4b2－4bc＝0,求sin A+cos A的值.
23.观察下列等式:
①sin 30°＝,cos 60°＝;
②sin 45°＝,cos 45°＝;
③sin 60°＝,cos 30°＝.
(1)根据上述规律,计算sin2α+sin2(90°－α)＝ ;
(2)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.
24.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
sin α＝sin(180°－α),cos α＝－cos(180°－α).
(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A,∠B的大小.
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参考答案
一、选择题
1.sin 60°的值等于( D )
A. B. C. D.
2.若α为锐角,且满足2sin (α－10°)＝,则α等于( C )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.在△ABC中,若cos A＝,tan B＝,则这个三角形一定是( C )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.如图,在△ABC中,∠C＝90°,cos A＝,则sin B＝( A )
A. B. C. D.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是( A )
A．tanA＝ B．sin2A＋cos2A＝1
C．sin2A＋sin2B＝1 D．tanA·tanB＝1
6.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，则sin ∠AEB的值为( D )
A． B． C． D．
7.在△ABC中，sin B＝cos(90°－C)＝，那么△ABC是( A )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8.已知在△ABC中，AB＝，BC＝tan 45°，AC＝2sin 60°，则cos A的值为( B )
A. B. C. D.
9.【2021·泸州】在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为( )
A. B. C．16π D．64π
【点拨】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－75°－45°＝60°.
∵＝2R，∴2R＝＝＝.
∴R＝. ∴S＝πR2＝π·＝π.
【答案】A
10.点(－sin 60°,cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是( A )
A. B. C. D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是( )
A.tan30°= B.tan60°= C.tan15°=1+ D.tan75°=2+
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中,由∠BAC=30°,BC=1,得AB=2,由勾股定理得AC=,所以tan∠BAC=tan 30°==, tan∠ABC=tan 60°==,所以选项A,B中的式子都正确.因为AD=AB=2,所以∠DBA=∠D=∠BAC=15°.在Rt△BCD中,tan∠BDC=tan 15°===2-,tan∠DBC=tan75°===2+,所以选项C中的式子错误,选项D中的式子正确.
【变式训练】类比上题的方法，计算tan22.5°的值为( B )
A.＋1 B.－1 C. D.
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝－1.
12.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝,则方程tan Ax2－2x+tan B＝0的根为( C )
A.x1＝,x2＝3 B.x1＝,x2＝ C.x1＝x2＝ D.x1＝,x2＝1
二、填空题
13.特殊角的三角函数值：
sin 30°＝______，sin 45°＝______，sin 60°＝______；
【答案】
cos 30°＝______，cos 45°＝______，cos 60°＝______；
【答案】
tan 30°＝______，tan 45°＝______，tan 60°＝______．
【答案】 1
14.若锐角x满足tan2 x－(+1)tan x+＝0,则x＝ 45°或60° .
15.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，sinB＝，则∠C＝________．
【答案】120°
16.已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_________．
【答案】75°
17.【中考·贵港】计算：＋(＋π)0－－2cos60°＝________．
【答案】－1
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AD⊥BC,垂足为D.给出下列四个结论:①sin α＝sin B;②sin β＝sin C;③sin B＝cos C;④sin α＝cos β.其中正确的结论有 ①②③④ .(填写序号即可)
三、解答题
19.计算:3tan 30°－2tan 45°·cos 30°+4cos 60°.
解:原式＝3×+2＝2.
20.在△ABC中,如果∠A,∠B满足|tan A－1|+＝0,求∠C的度数.
解:由题意,得tan A－1＝0,cos B－＝0,
∴tan A＝1,cos B＝,∴∠A＝45°,∠B＝60°,
∴∠C＝75°.
21.已知α,β为锐角,且sin(90°－α)＝,sin β＝,求的值.
解:由题意得cos (90°－β)＝sin β＝.
22.在△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且有c2+4b2－4bc＝0,求sin A+cos A的值.
解:∵c2+4b2－4bc＝0,
∴(c－2b)2＝0,∴c＝2b,即在直角三角形中,,
∴sin A+cos A＝.
23.观察下列等式:
①sin 30°＝,cos 60°＝;
②sin 45°＝,cos 45°＝;
③sin 60°＝,cos 30°＝.
(1)根据上述规律,计算sin2α+sin2(90°－α)＝ 1 ;
(2)计算:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.
解:(2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
＝(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+sin245°
＝1+1+…+1+
＝44+
＝.
24.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:
sin α＝sin(180°－α),cos α＝－cos(180°－α).
(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A,∠B的大小.
解:(1)由题意得sin 120°＝sin(180°－120°)＝sin 60°＝,
cos 120°＝－cos(180°－120°)＝－cos 60°＝－,
sin 150°＝sin(180°－150°)＝sin 30°＝.
(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4,
∴三个内角分别为30°,30°,120°.
①当∠A＝30°,∠B＝120°时,方程的两根为,
将x＝－1＝0,解得m＝0,
经检验,－是方程4x2－1＝0的根,
∴m＝0符合题意;
②当∠A＝120°,∠B＝30°时,方程的两根为,不符合题意;
③当∠A＝30°,∠B＝30°时,方程的两根为,
将x＝－1＝0,
解得m＝0,
经检验,不是方程4x2－1＝0的根,不符合题意.
综上可知m＝0,∠A＝30°,∠B＝120°.