28.2.1 解直角三角形同步练习（含答案）

28.2　解直角三角形及其应用
28.2.1　解直角三角形
一、选择题
1.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)
A． B．4 C．8 D．4
3.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点都在格点上,则tan∠BAC的值是( )
A. B. C. D.
4.若△ABC在网格中的位置如图,则cos B的值为( )
A. B. C. D.2
5.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点均在格点上,则sin∠ABC的值为( )
A. B. C. D.2
第5题图 第6题图 第9题图
6.如图,在Rt△ABC中,若∠C＝90°,AB＝4,∠A＝30°,则AC的长为( )
A.2 B.3 C. D.2
7.已知一个直角三角形的周长是4+2,斜边上中线的长为2,则这个三角形的面积为( )
A.5 B.2 C. D.1
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C＝90°,∠A＝30°,斜边上的高为1,则Rt△ABC的三边长分别为( )
A.a＝,b＝2,c＝ B.a＝,b＝2,c＝
C.a＝2,b＝,c＝ D.a＝2,b＝2,c＝4
9.【2021·玉林】如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有(　　)
A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能
10.【中考·湘西州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是(　　)
A．10 B．8 C．4 D．2
第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·黑龙江】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为(　　)
A．1 B．2 C． D．
12.如图,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A＝,则下列结论:①DE＝6 cm;②BE＝2 cm;③菱形ABCD的面积为60 cm2;④BD＝4 cm.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
13.解直角三角形的依据：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：
(1)三边之间的关系：__________；
(2)两锐角之间的关系：______________________________；
(3)边角之间的关系：
sinA＝______，sinB＝______，
cosA＝______，cosB＝______，
tanA＝______，tanB＝______．
14.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a＝7,c＝7,则b＝　　,∠A＝　　,∠B＝　 　.
15.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D.若AC＝2,tan ∠BCD＝,则AB＝ 　.
第15题图 第16题图 第17题图
16.【中考·盐城】如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．
17.【2021·海南】如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________．
18.在△ABC中,BC＝2,AC＝2,∠A＝30°,则AB的长为　 　.
三、解答题
19.在Rt△ABC中,∠C＝90°,根据下列条件解直角三角形.
(1)∠B＝45°,c＝14;
(2)a＝,∠A＝60°.
20.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为AB的中点,连接CD.若BC＝4,CD＝3,求sin ∠ACD的值.
21.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D为BC上一点,AB＝5,BD＝1,tan B＝.
(1)求AD的长;
(2)求sin α的值.
22.如图,有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里盛了一些溶液,当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出,求此时杯子的最高处与桌面的距离.(结果精确到0.01 cm,参考数据:sin 52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
23.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
24.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D是边AB的中点,P是边AC上一动点,BP与CD相交于点E.
(1)如果BC＝6,AC＝8,且P为AC的中点,求线段BE的长.
(2)连接PD,如果PD⊥AB,且CE＝2,ED＝3,求cos A的值.
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参考答案
一、选择题
1.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝(　D　)
A.　 B.　 C.　 D.
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　D　)
A． B．4 C．8 D．4
3.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点都在格点上,则tan∠BAC的值是( C )
A. B. C. D.
4.若△ABC在网格中的位置如图,则cos B的值为( A )
A. B. C. D.2
5.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点均在格点上,则sin∠ABC的值为( C )
A. B. C. D.2
第5题图 第6题图 第9题图
6.如图,在Rt△ABC中,若∠C＝90°,AB＝4,∠A＝30°,则AC的长为( D )
A.2 B.3 C. D.2
7.已知一个直角三角形的周长是4+2,斜边上中线的长为2,则这个三角形的面积为( B )
A.5 B.2 C. D.1
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C＝90°,∠A＝30°,斜边上的高为1,则Rt△ABC的三边长分别为( A )
A.a＝,b＝2,c＝ B.a＝,b＝2,c＝
C.a＝2,b＝,c＝ D.a＝2,b＝2,c＝4
9.【2021·玉林】如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有(　　)
A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能
【点拨】如图，分别作出△ABC底边BC上的高AD(即h1)，△PQR底边QR上的高PE(即h2)．
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin 55°；
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin 55°，∴h1＝h2.
10.【中考·湘西州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是(　D　)
A．10 B．8 C．4 D．2
第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·黑龙江】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为(　B　)
A．1 B．2 C． D．
【点拨】过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，如图．
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝.
∵AB＝2BD，∴＝＝＝.
在Rt△CDM中，
tan∠MCD＝＝，
设DM＝2k，则CM＝3k.
又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，故选B.
12.如图,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A＝,则下列结论:①DE＝6 cm;②BE＝2 cm;③菱形ABCD的面积为60 cm2;④BD＝4 cm.其中正确的结论有( B )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
13.解直角三角形的依据：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：
(1)三边之间的关系：__________；
【答案】a2＋b2＝c2
(2)两锐角之间的关系：______________________________；
【答案】∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝______，sinB＝______，
cosA＝______，cosB＝______，
tanA＝______，tanB＝______．
【答案】
14.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a＝7,c＝7,则b＝　7　,∠A＝　45°　,∠B＝　45°　.
15.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D.若AC＝2,tan ∠BCD＝,则AB＝3　.
第15题图 第16题图 第17题图
16.【中考·盐城】如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．
【点拨】作AD⊥BC，垂足为点D.设AC＝x，则AB＝x.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin C＝x，CD＝AC·cos C＝x.
在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，
∴BD＝＝x.
∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋.
∴x＝2，即AC＝2.
【答案】2
17.【2021·海南】如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________．
【点拨】如图，过点A作AG⊥x轴，垂足为点G.
∵B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，∴OC＝，OB＝1.
∴BC＝＝2.
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝2.
∵∠ABG＋∠CBO＝90°，∠BCO＋∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO.
∴sin∠ABG＝＝sin∠BCO＝＝，cos∠ABG＝＝cos∠BCO＝＝.
∴AG＝，BG＝3.
∴OG＝1＋3＝4.
∴顶点A的坐标是(4，)．
【答案】(4，)
18.在△ABC中,BC＝2,AC＝2,∠A＝30°,则AB的长为　2或4　.
三、解答题
19.在Rt△ABC中,∠C＝90°,根据下列条件解直角三角形.
(1)∠B＝45°,c＝14;
(2)a＝,∠A＝60°.
解:(1)∠A＝45°,a＝b＝.
(2)∠B＝30°,b＝.
20.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为AB的中点,连接CD.若BC＝4,CD＝3,求sin ∠ACD的值.
解:∵∠ACB＝90°,D为AB的中点,∴CD＝AB＝AD,
∴AB＝2CD＝6,∠ACD＝∠A,
∴sin ∠ACD＝sin ∠A＝.
21.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D为BC上一点,AB＝5,BD＝1,tan B＝.
(1)求AD的长;
(2)求sin α的值.
解:(1)由tan B＝可设AC＝3x,BC＝4x.
又∵AC2+BC2＝AB2,∴(3x)2+(4x)2＝52,
解得x＝1或x＝－1(舍去),∴AC＝3,BC＝4.
∵BD＝1,∴CD＝3,∴AD＝.
(2)过点D作DE⊥AB于点E.
∵,
∴sin α＝.
22.如图,有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里盛了一些溶液,当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出,求此时杯子的最高处与桌面的距离.(结果精确到0.01 cm,参考数据:sin 52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
解:如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点C作CF⊥PD,交PD所在直线于点F,那么AE+CF的长即为此时杯子的最高处与桌面的距离.
在Rt△ACE中,AE＝AC·cos ∠CAE＝15×cos 52°≈15×0.62＝9.3(cm).
在Rt△DCF中,CF＝CD·sin ∠CDF＝15×sin 52°≈15×0.79＝11.85(cm),
所以AE+CF＝9.3+11.85＝21.15(cm).
答:此时杯子的最高处与桌面的距离约为21.15 cm.
23.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
解：如图，过点A作AF⊥BD于点F.
∵∠BAD＝120°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°.
∵∠ADC＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝120°－30°＝90°.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，DE＝15，
∴BC＝2DE＝30.
∴BD＝＝＝18.
∵AD＝AB，AF⊥BD，∴DF＝BD＝×18＝9.
在Rt△AFD中，∵∠AFD＝90°，∠ADB＝30°，
∴AD＝AB＝＝＝6.
∴四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝6＋30＋24＋6＝54＋12.
24.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D是边AB的中点,P是边AC上一动点,BP与CD相交于点E.
(1)如果BC＝6,AC＝8,且P为AC的中点,求线段BE的长.
(2)连接PD,如果PD⊥AB,且CE＝2,ED＝3,求cos A的值.
解:(1)∵P为AC的中点,AC＝8,∴CP＝4.
∵∠ACB＝90°,BC＝6,∴BP＝2.
∵D是边AB的中点,P为AC的中点,
∴点E是△ABC的重心,
∴BE＝.
(2)如图,过点B作BF∥CA,交CD的延长线于点F,∴.
∵BD＝DA,∴FD＝DC,BF＝AC.
∵CE＝2,ED＝3,∴CD＝5,∴EF＝8,
∴.
设CP＝k,∴PA＝3k.
∵PD⊥AB,D是边AB的中点,∴PA＝PB＝3k,
∴BC＝2k.
∵AC＝4k,∴cos A＝.