28.2.2.2 方位角、坡度、坡角同步练习（含答案）

28.2　解直角三角形及其应用
28.2.2　应用举例
第2课时　方位角、坡度、坡角
一、选择题
1.如图,以学校(点C)为观测点,小明家(点B)和小丰家(点A)分别位于学校的正南方向和西南方向,并测得AC＝6 km,BC＝6(1+)km,则小丰家位于小明家的( )
第1题图 第2题图 第3题图
A.南偏西30°方向 B.北偏西30°方向 C.北偏东45°方向 D.南偏东60°方向
2.如图,一艘轮船以40海里/小时的速度在海面上航行,当它行驶到A处时,发现它的北偏东30°方向有灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C处,发现灯塔B在它的北偏东60°方向.若轮船继续向北航行,那么再过多长时间轮船离灯塔最近 ( )
A.1小时 B.小时 C.2小时 D.2小时
3.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡AB的坡度i＝1∶2.5,则此斜坡的水平距离AC为( )
A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m
4.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离AC为6米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离AB为( )
A．3米 B．3米 C．6米 D．6米
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图为东西流向且河岸平行的一段河道,A,B分别为两岸上一点,且点B在点A正北方向,由点A向正东方向走a米到达点C,此时测得点B在点C的北偏西55°方向上,则河宽AB的长为( )
A.atan 55°米 B.米 C.米 D.米
6.【2021·金华】如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(　　)
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
7.【2021·德州】某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5m，调整后的楼梯会加长(　　) (sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
8.在数学活动课上,九(1)班数学兴趣小组的学生要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离.现测得亭子A位于点P北偏西30°方向,亭子B位于点P北偏东α方向,测得点P与亭子A之间的距离为200米,则亭子A与亭子B之间的距离为( )
A.(100+100·sin α)米 B.(100+100·tan α)米 C.米 D.米
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2021·衡阳】如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
10.【2021·泰安】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1 ∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)(　　)
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
11.【2020·深圳】如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200 m的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为(　　)
A．200tan 70° m B． m C．200sin 70° m D． m
第11题图 第12题图 第14题图
12.【中考·泰安】如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为(　　)
A．(30＋30)km　 B．(30＋10)km C．(10＋30)km　 D．30 km
二、填空题
13.坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的________(或坡比)，记作i，即i＝______．坡面与水平面的夹角称为______，记作α，则有i＝＝________．
14.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC＝米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝13米,则旗杆BC的高度为　 　米.
15.如图,在平地上植树时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为4 m.如果在坡度为1∶2的山坡上植树,也要求株距为4 m,那么相邻两棵树之间的坡面距离为　 　m.
第15题图 第16题图 第17题图
16.如图,大楼底右侧有一个障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一条水平直线上).已知AB＝40 m, DE＝10 m,则障碍物B,C两点间的距离为　 　m.(结果保留根号)
17.【2021·武汉】如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是________n mile(≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1 n mile)．
18.【2020·湘潭】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，则斜坡AF的长是________m．(结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123)
三、解答题
19.步行是全世界公认的有效、科学的健身方法.为了方便市民步行健身,某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡AB改造成AC.已知原坡角∠ABD＝30°,改造后的斜坡AC的坡度为1∶3,BC＝30米,求原斜坡AB的长.(结果保留根号)
20.【巴中中考】如图,海面上产生了一股强台风.台风中心A在某沿海城市B的正西方向,小岛C位于城市B北偏东29°方向上,台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动,此时台风中心距离小岛200海里.
(1)过点B作BP⊥AC于点P,求∠PBC的度数.
(2)据监测,在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响(假设台风在移动过程中风力保持不变).问:在台风移动过程中,沿海城市B是否会受到台风影响 请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,≈1.73)
21.如图,河流的两岸PQ,MN互相平行,河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C,D,E,….某人在河岸PQ的点A处测得∠CAQ＝30°,然后沿河岸走了110米到达点B处,测得∠DBQ＝45°.求河流的宽度.(结果保留小数点后一位,参考数据:≈1.73)
22.某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,人民路AB与桥BC垂直.某校数学小组进行研学活动时,在点C处测得点D位于西北方向,又在点A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC＝628 m,AB＝400 m,求点D到AB的距离.(结果保留整数,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
23.【2021·资阳】资阳市为实现5G网络全覆盖，2020～2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度i＝1∶2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内)(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．
24.【中考·株洲】如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．
(1)求l2和l3之间的距离；
(2)若城际火车平均速度为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时．(结果用分数表示)
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参考答案
一、选择题
1.如图,以学校(点C)为观测点,小明家(点B)和小丰家(点A)分别位于学校的正南方向和西南方向,并测得AC＝6 km,BC＝6(1+)km,则小丰家位于小明家的( B )
第1题图 第2题图 第3题图
A.南偏西30°方向 B.北偏西30°方向 C.北偏东45°方向 D.南偏东60°方向
2.如图,一艘轮船以40海里/小时的速度在海面上航行,当它行驶到A处时,发现它的北偏东30°方向有灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C处,发现灯塔B在它的北偏东60°方向.若轮船继续向北航行,那么再过多长时间轮船离灯塔最近 ( A )
A.1小时 B.小时 C.2小时 D.2小时
3.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡AB的坡度i＝1∶2.5,则此斜坡的水平距离AC为( A )
A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m
4.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离AC为6米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离AB为( B )
A．3米 B．3米 C．6米 D．6米
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图为东西流向且河岸平行的一段河道,A,B分别为两岸上一点,且点B在点A正北方向,由点A向正东方向走a米到达点C,此时测得点B在点C的北偏西55°方向上,则河宽AB的长为( D )
A.atan 55°米 B.米 C.米 D.米
6.【2021·金华】如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(　A　)
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
7.【2021·德州】某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5m，调整后的楼梯会加长(　D　) (sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
8.在数学活动课上,九(1)班数学兴趣小组的学生要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离.现测得亭子A位于点P北偏西30°方向,亭子B位于点P北偏东α方向,测得点P与亭子A之间的距离为200米,则亭子A与亭子B之间的距离为( B )
A.(100+100·sin α)米 B.(100+100·tan α)米 C.米 D.米
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2021·衡阳】如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　D　）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10(米)，
10.【2021·泰安】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1 ∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)(　　)
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【点拨】如图，作DH⊥AB于点H，延长DE交BC于点F.
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH∶AH＝1∶2.4，
∴DH＝50米．
由题易知四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50米．
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50米．
在Rt△EFC中，CF＝EF·tan 60°，∴CF＝50×≈86.6(米)．
∴BC＝BF＋CF≈136.6米．
【答案】A
11.【2020·深圳】如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200 m的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为(　B　)
A．200tan 70° m B． m C．200sin 70° m D． m
第11题图 第12题图 第14题图
12.【中考·泰安】如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为(　B　)
A．(30＋30)km　 B．(30＋10)km C．(10＋30)km　 D．30 km
【点拨】根据题意，得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30 km.
如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°.
在Rt△ABE中，
∵∠EAB＝45°，AB＝30 km，
∴AE＝BE＝AB·sin 45°＝30×＝30(km)．　
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝＝＝10(km)．
∴AC＝AE＋CE＝(30＋10)km.
二、填空题
13.坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的________(或坡比)，记作i，即i＝______．坡面与水平面的夹角称为______，记作α，则有i＝＝________．
【答案】坡度 坡角 tan α
14.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC＝米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB＝13米,则旗杆BC的高度为　9.5　米.
15.如图,在平地上植树时,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为4 m.如果在坡度为1∶2的山坡上植树,也要求株距为4 m,那么相邻两棵树之间的坡面距离为　2　m.
第15题图 第16题图 第17题图
16.如图,大楼底右侧有一个障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E在同一条水平直线上).已知AB＝40 m, DE＝10 m,则障碍物B,C两点间的距离为　(30－10)　m.(结果保留根号)
17.【2021·武汉】如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是________n mile(≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1 n mile)．
【答案】10.4
18.【2020·湘潭】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，则斜坡AF的长是________m．(结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123)
【答案】20.62
三、解答题
19.步行是全世界公认的有效、科学的健身方法.为了方便市民步行健身,某区园林部门决定将某公园里的一段斜坡AB改造成AC.已知原坡角∠ABD＝30°,改造后的斜坡AC的坡度为1∶3,BC＝30米,求原斜坡AB的长.(结果保留根号)
解:设AD＝x.在Rt△ABD中,∠ABD＝30°,∴AB＝2AD＝2x,∴BD＝x.
∵斜坡AC的坡度为1∶3,∴CD＝3AD＝3x.
由题意,得3x－,
∴AB＝2x＝(30+10)米.
答:原斜坡AB的长为(30+10)米.
20.【巴中中考】如图,海面上产生了一股强台风.台风中心A在某沿海城市B的正西方向,小岛C位于城市B北偏东29°方向上,台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动,此时台风中心距离小岛200海里.
(1)过点B作BP⊥AC于点P,求∠PBC的度数.
(2)据监测,在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响(假设台风在移动过程中风力保持不变).问:在台风移动过程中,沿海城市B是否会受到台风影响 请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,≈1.73)
解:(1)∵∠MAC＝60°,∴∠BAC＝30°.
又∵BP⊥AC,∴∠APB＝90°,∴∠ABP＝60°.
又∵∠CBN＝29°,∠ABN＝90°,
∴∠ABC＝119°,∴∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝59°.
(2)不会受到影响.
理由:由(1)可知,∠PBC＝59°,∴∠C＝90°－∠PBC＝31°.
又∵tan 31°≈0.60,∴.
设BP为x海里,则AP＝x海里,
∴x＝200,解得x≈59.
∵59＞50,∴沿海城市B不会受到台风影响.
21.如图,河流的两岸PQ,MN互相平行,河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C,D,E,….某人在河岸PQ的点A处测得∠CAQ＝30°,然后沿河岸走了110米到达点B处,测得∠DBQ＝45°.求河流的宽度.(结果保留小数点后一位,参考数据:≈1.73)
解:过点D作DH∥CA交PQ于点H,过点D作DG⊥PQ,垂足为G.
∵PQ∥MN,DH∥CA,∴四边形CAHD是平行四边形,
∴AH＝CD＝50,∠DHQ＝∠CAQ＝30°.
在Rt△DBG中,∵∠DBG＝∠BDG＝45°,∴BG＝DG,
设BG＝DG＝x,∴HG＝HB+BG＝60+x.
在Rt△DHG中,DG＝HG·tan 30°,即x＝(60+x),
解得x≈81.7.
答:河流的宽度约为81.7米.
22.某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,人民路AB与桥BC垂直.某校数学小组进行研学活动时,在点C处测得点D位于西北方向,又在点A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC＝628 m,AB＝400 m,求点D到AB的距离.(结果保留整数,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
解:过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形BFDE是矩形.
设DE＝x.
在Rt△ADE中,∠AED＝90°,tan ∠DAE＝,
∴AE＝,
∴BE＝AB－AE＝400－.
∵BF＝DE＝x,∴CF＝BC－BF＝628－x.
在Rt△CDF中,∠DFC＝90°,∠DCF＝45°,
∴∠CDF＝45°,∴∠CDF＝∠DCF,∴DF＝CF＝628－x.
∵BE＝DF,即400－＝628－x,解得x＝428.
答:点D到AB的距离约为428 m.
23.【2021·资阳】资阳市为实现5G网络全覆盖，2020～2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度i＝1∶2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内)(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)
(1)求D处的竖直高度；
解：如图，过点D作地面的垂线，垂足为点M.
∵斜坡CB的坡度i＝1∶2.4，
∴＝＝.
设DM＝5k米，则CM＝12k米．
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得
CM2＋DM2＝CD2，
即(5k)2＋(12k)2＝132，
解得k＝1(负值舍去)．
∴DM＝5米，CM＝12米．
答：D处的竖直高度为5米．
(2)求基站塔AB的高．
解：如图，延长AB交地面于点F，过点D作DE⊥AF，
垂足为点E.由斜坡CB的坡度i＝1∶2.4，
可设DE＝12a米，则BE＝5a米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝(12＋12a)米．
∴AE＝AF－EF＝12＋12a－5＝(7＋12a)米．
在Rt△ADE中，∠ADE＝53°，DE＝12a米，
AE＝(7＋12a)米，
∵tan∠ADE＝，∴≈，解得a≈.
∴AE＝7＋12a≈28米，BE＝5a≈米．
∴AB＝AE－BE≈28－＝(米)．
答：基站塔AB的高约为米．
24.【中考·株洲】如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．
(1)求l2和l3之间的距离；
解：过点M作MD⊥NC于点D，
∵cos α＝，MN＝2km，
∴cos α＝＝＝，
解得DM＝2 km.
∴l2和l3之间的距离为2 km.
(2)若城际火车平均速度为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时．(结果用分数表示)
解：∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝km，
∴tan 30°＝＝＝，
∴AB＝3 km，∴AC＝3＋2＝5 (km)．
∵MN＝2km，DM＝2 km，
∴DN＝＝4(km)．
易知CD＝BM，
∴NC＝DN＋BM＝5km，
∴AN＝＝＝10 (km)．
∵城际火车平均速度为150 km/h，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要10÷150＝(h)．