《§周期变化同步练习》
学生版
题组一 周期变化的判断及应用
1. 干支纪年法是中国历法上自上古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对酉，其中天干比地支，少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2021年是辛丑年，那么中华人民共和国成立100周年，即2049年是( )
A.戊辰年 B.己巳年 C.庚午年 D.庚子年
解：
2. 探索如图所呈现的规律，判断2020至2022箭头的方向是( )
解：
3. 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10L，假设水车5min转一圈.
(1)1h最多盛水多少升
(2)盛800L的水，至少需要多长时间？
解：
题组二 函数的周期性
角度一 求值
1. 已知函数f(x)的定义域为R，对任都有f(x+2)=-f(x)，且当x∈[0，2)时， 则f(0)+ f(1)+f(2)+…+f(2019)+f(2020)+f(2021)的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解：
2.已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+2)·f(x)=k(k为常数).当x∈[0，2]时，f(x)= 则f(5)=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
解：
3. 设f(x)是定义在R上的周为2的函数，当x∈[-1，1)时 则
解：
4.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)等于()
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解：
角度二 求解析式
1. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，又当-1≤x≤1时，
(1)证明：直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴.
(2)当x∈[1，5]时，求f(x)的解析式.
解：
2. 若函数f(x)满足：对任意的实数x，有f(2-x)+f(x)=0且f(x+2)+f(x)=0，当x=[0，1]时，f(x)=-(x-1)2，则当x∈[2019，2020]时，f(x)=
解：
3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x
(1)求证：f(x)是周期函数.
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
解：
角度三 研究函数性质
1.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1)
解：
2.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，f(x-1)是奇函数，f(x)在[-1.1)上单调递增，则（）
A.f(0)>f(2020)>f(2019)
B.f(0)>f(2019)>f(2020)
C.f(2020)>f(2019)>f(0)
D.f(2020)>f(0)>f(2019)
解：
3. 定义在R上的函数y=f(x)对任意x满足f(x+1)=-f(x)，当-1≤x<1时， 函数 若函数h(x)=f(x)-g(x)在[-6，+∞)上有6个零点，则实数a的取值范围是()
解：
4. 已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0，2]时，f(x)=(x-1)2，如果g(x)=f(x)-log5|x-1|，则函数y=g(x)的所有零点个数为()
A.2 B.4 C.6 D.8
解：
5. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x=[0，2]时， f(x)=log2(x+1)，给出下列结论：①f(3)=1；②函数f(x)在[-6，-2]上是减函数；③函数f(x)的图象关于直线x=1对称；④若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[-8，8]上的所有根之和为-8.则其中正确的结论有＿（填写所有正确结论的序号）
解：
6.已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[-1，0]上单调递增，且满足f(1-x)+f(1+x)=0，下列判断：
①f(5)=0;
②f(x)在[1，2]上单调递减：
③函数f（x)没有最小值；
④函数f(x)在x=0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的序号是＿＿＿＿.
解：《§周期变化同步练习》
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题组一 周期变化的判断及应用
1. 干支纪年法是中国历法上自上古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戍、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对酉，其中天干比地支，少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2021年是辛丑年，那么中华人民共和国成立100周年，即2049年是( )
A.戊辰年 B.己巳年 C.庚午年 D.庚子年
解：天干以10为一周期，地支以12为一周期，2021年是干支纪年法中的辛丑年，而2049-2021=28=2x10+8=2×12+4，所以2049年的天干为己，地支为巳.，B
2. 探索如图所呈现的规律，判断2020至2022箭头的方向是( )
解析：观察题图可知，每增加4个数则重复相同的位置，即箭头的变化具有周期性，其周期为4，由2020-4x905得2020至2022箭头的方向与0至2箭头的方向相同，选A
3. 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10L，假设水车5min转一圈.
(1)1h最多盛水多少升
(2)盛800L的水，至少需要多长时间？
解：(1)因为1h=60min，且水车5min转一圈，所以水车转12圈。
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10L.所以每转一圈，最多盛水16×10=160(L).
所以水车转动1h最多盛水160×12=1920(L).
(2)设xmin后盛水yL，由(1)如每转一圈，水车最多盛水160L.所以 (3)为使水车盛800L的水，则请32x>800，所以x≥25.
即水车盛800L的水至少需要25min
题组二 函数的周期性
角度一 求值
1. 已知函数f(x)的定义域为R，对任都有f(x+2)=-f(x)，且当x∈[0，2)时， 则f(0)+ f(1)+f(2)+…+f(2019)+f(2020)+f(2021)的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解：由题意得，函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(x+2)=-f(x)，
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4.
因为当x∈[0，2)时， 所以 考虑自变量为自然数的函数值，每个周期之和为0，
f(0)，f(1)，f(2)，…，f(2019)，f(2020)，f(2021)恰好为连续的2022项，即505个周期余两项，所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2019)+f(2020)+f(2021)=1.
2.已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+2)·f(x)=k(k为常数).当x∈[0，2]时，f(x)= 则f(5)=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
解析：因为f(0)=1，f(2)=5，所以f(0+2)·f(0)=5=k，所以f(x+2)·f(x)=5，所以f(x+4)·f(x+2)=5，故f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故f(5)=f(1)=1+1=2
3. 设f(x)是定义在R上的周为2的函数，当x∈[-1，1)时 则
解析：由题意有f(x+2)=f(x)，所以 所以 .
4.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)等于()
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解：A.函数f(x)的周期为5， f(x+5)=(x), f(3)=f(-2+5)=f(-2).又：f(x)为奇函数，f(2)=2，.f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,同理f(4)=f(-1)=-f(1)=-1，:.f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.
角度二 求解析式
1. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，又当-1≤x≤1时，
(1)证明：直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴.
(2)当x∈[1，5]时，求f(x)的解析式.
解：(1)因为f(1+x)=f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f(1-x)，所以直线x=1是函数f(x)图象的对称轴.
(2)因为f(x+2)=-f(x)=f(x-2)，所以f(x)是周期T=4的周期函数.
当x∈[1，3)时，f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3；
当x∈[3，5]时，
所以
2. 若函数f(x)满足：对任意的实数x，有f(2-x)+f(x)=0且f(x+2)+f(x)=0，当x=[0，1]时，f(x)=-(x-1)2，则当x∈[2019，2020]时，f(x)=
解析：由f(x+2)+f(x)=0，得f(x+4)+f(x+2)=0，故f(x)=f(x+4)，即T=4，
当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，f(x)=-f(2-x)=(x-1)2，当x∈[-1，0]时，x+2∈[1，2]，f(x)=-f(x+2)=-(x+1)2，所以当x∈[2019，2020]时，x-2020∈[-1，0]，f(x)=f(x-2020)=-(x-2020+1)2=-(x-2019)2
3. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x
(1)求证：f(x)是周期函数.
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
解：(1)证明：因为f(x+2)=-f(x)=f(x-2)，
所以f(x)是周期T=4的周期函数.
(2)解：由T=4，x∈[2，4]得x-2∈[0，2]，所以f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).
角度三 研究函数性质
1.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1)
解析：若x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
:f(-x)=-x-1,f(x)是偶函数，:f(-x)=-x-1=f(x),即当x∈[-2，0]时，f(x)=-x-1，
若x∈[2.4]，则x-4∈[-2，0]
f(x)的周期为4， f(x)=f(x-4)=-(x-4)-1=-x+3，作出函数f(x)在[-2，4]上的图象如图所示，
则当x∈[-1.3]时，不等式xf(x)>0等价于 或
即1
故x∈(-1.0)U(1.3)，故选C.
2.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，f(x-1)是奇函数，f(x)在[-1.1)上单调递增，则（）
A.f(0)>f(2020)>f(2019)
B.f(0)>f(2019)>f(2020)
C.f(2020)>f(2019)>f(0)
D.f(2020)>f(0)>f(2019)
解析：由f(x+1)是偶函数，得f(x+1)=f(-x+1)，即f(x)=f(-x+2).由f(x-1)是奇函数，得f(x-1)=-f(-x-1)，即f(x)=-f(-x-2)，
所以-f(-x-2)=f(-x+2)，则f(x)的周期T=8由f(x-1)是奇函数，得f(0-1)=f(-1)=0，因为f(x)在[-1.1]上单调递增，所以f(0)>0，所以f(2019)=f(3)=f(-1)=0.f(2020)=f(4)=-f(0)<0，即f(0)>f(2019)>f(2020).
3. 定义在R上的函数y=f(x)对任意x满足f(x+1)=-f(x)，当-1≤x<1时， 函数 若函数h(x)=f(x)-g(x)在[-6，+∞)上有6个零点，则实数a的取值范围是()
解：将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数.由已知，得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，所以y=f(x)是周期为2的周期函数，函数h(x)=f(x)-g(x)在[-6，+∞)上有6个零点，
由图象知，当x∈[-6，0)时，两函数图象有2个交点，当x∈(0，1)时，两函数图象有1个交点，所以当x∈(1，+∞)时，两函数图象应有3个交点，则 解得 或74. 已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0，2]时，f(x)=(x-1)2，如果g(x)=f(x)-log5|x-1|，则函数y=g(x)的所有零点个数为()
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：由题意可得 g,|x-1|,根据周期性画出函数y=f(x)的图象以及 的图象如图
'y=log5|x-1|在(1，+∞)上是单调递增函数，当x=6时，y=log5|x-1|=1，当x>6时， 此时y=log5|x-1|的图象与函数y=f(x)的图象无交点.
再根据的图象和f(x)的图象都关于直线x=1对称，可知两图象有8个交点，则函数g(x)=f(x)- 的零点个数为8
5. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x=[0，2]时， f(x)=log2(x+1)，给出下列结论：①f(3)=1；②函数f(x)在[-6，-2]上是减函数；③函数f(x)的图象关于直线x=1对称；④若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[-8，8]上的所有根之和为-8.则其中正确的结论有＿（填写所有正确结论的序号）
解析：由条件可知，函数f(x)的周期为8，直线x=2，直线x=-2均为函数f(x)图象的对称轴.
①中，令x=-1，则f(3)= 故①正确；
②中，因为f(x)在[-2，2]上单调递增，f(x)的图象关于直线x=-2对称，所以f(x)在[-6，-2]上是减函数，故②正确；③中，由f(0)+f(2)，可知f(x)的图象不关于直线x=1对称，故③不正确；
④中，由函数f(x)的图象关于直线x=-6，x=2对称，可知 )=m∈(0，1))在[-8，8]上的根有4个，分别记为x1,x2,x3,x4,有 故 故④正确.
6.已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[-1，0]上单调递增，且满足f(1-x)+f(1+x)=0，下列判断：
①f(5)=0;
②f(x)在[1，2]上单调递减：
③函数f（x)没有最小值；
④函数f(x)在x=0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的序号是＿＿＿＿.
答案：①②④
解析：因为f(1-x)+J(4+x)=0，所以f(1+x)=-f(1-x)=-f(x-1)，所以f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数.由题意知，函数y=f(x)(x