《§1.3弧度制同步练习》
学生版
题组一 弧度制的概念
1. 一场数学科目的考试需要两个小时，则时针走了＿弧度
解：
2. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）.
D.2
解：
3. 将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()
解：
4. [多选题]下列说法正确的有()
A.半圆所对的圆心角是πrad
B.周角的大小是2m
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解：
5. 已知在半径为120 mm的圆上，有一段弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
解：
6. 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_
解：
7. 一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB
解：
题组二 角度与弧度互化.
1.
(1)将、用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限：
(2)将，用角度表示出来，并在-360°~360°内找出与它们终边相同的所有的角。
解：
题组三用弧度表示角
终边相同的角
1. 角－870°的终边所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解：
2. 若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角的个数为______.
解：
3. 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
解：
直线角、射线角和区域角
1. 集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是
解：
2.若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解：
3. 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α
用集合可表示为______________________.
解：
4.终边在直线y＝ x 上的角的集合是
解：在(0，π)内终边在直线y＝x上的角为，∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}.
5. 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
解：
题组四 扇形的弧长和面积
弧长和面积计算
1. 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.，若α＝100°，r＝2，求扇形的面积.
解：
2. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为________.
解：
3. 圆内切于中心角为”，半径为R的扇形，该圆的面积与该扇形的面积之比为（）.
A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3
解：
4. 如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转弧弧度，点Q按顺时针方向每秒转否弧度，求：
(1)P，Q第一次相遇时所用的时间；
(2)第一次相遇时，P，Q各自走过的弧长.
解：
相关最值
1. 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l，若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
解：
2. 已知扇形的周长是4cm，则当扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()
A.2 B.1 D.3
解：《§1.3弧度制同步练习》
教师版
题组一 弧度制的概念
1. 一场数学科目的考试需要两个小时，则时针走了＿弧度
解：钟表的指针所转的角都是负角.时针顺时针方向每小时走30°，两小时走60°，故用弧度制表示为 .时针走 弧度
2. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）.
D.2
解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝ 作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝ ，∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝.
，
3. 将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()
解：解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转为负角，故A.B不正确.又因为拨快10分钟，故转过的角，故所求角的弧度数为 -
4. [多选题]下列说法正确的有()
A.半圆所对的圆心角是πrad
B.周角的大小是2m
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解：解析：根据弧度的定义及角度与弧度的S度等于半径，而不是弦的长度，故错误。A.B.C均正确，D中大小是1弧度的圆心角所对的
5. 已知在半径为120 mm的圆上，有一段弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
解：由题意知α＝＝＝1.2 rad.
6. 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_
设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，
∴圆心角的弧度数是＝.
7. 一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB
解：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
解得∴圆心角α＝＝2(rad). 如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB＝2sin 1(cm). ∴圆心角的弧度数为2 rad，弦长AB为2sin 1 cm.
题组二 角度与弧度互化.
1.
(1)将、用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限：
(2)将，用角度表示出来，并在-360°~360°内找出与它们终边相同的所有的角。
解： ·α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限.
设 k·360°+144°,k∈Z, -360°≤360°, -360°≤k·360°+144°<360°，k∈Z， k=-1或k=0.
在-360°~360°内与β，终边相同的角是-216°. 设 0°-330°,k∈Z,`:-360°<θ,<360°, 360°≤k·360°-330°<360°，keZ， k=0或k=1..在-360°~360°内与β，终边相同的角是30°.
题组三用弧度表示角
终边相同的角
1. 角－870°的终边所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解：由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限.
2. 若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角的个数为______.
解：∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)，依题意0≤＋≤2π，k∈Z，∴－≤k≤，
∴k＝0,1,2，即在[0,2π]内与角的终边相同的角为，，共3个.
3. 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
解：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
直线角、射线角和区域角
1. 集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是
解：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，
此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；
此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
2.若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解：当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，
α为第三象限角.
所以α为第一或第三象限角.故选A.
3. 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α
用集合可表示为______________________.
解：在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为(k∈Z).
4.终边在直线y＝ x 上的角的集合是
解：在(0，π)内终边在直线y＝x上的角为，∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}.
5. 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
解： (1)如图①中以OB为终边的角330°可看成-30°，化为弧度，-，而 ， .
(2)如图②中以OB为终边的角225°可看成-135°，化为弧度，即―，
(3)如图
=?Z}.
题组四 扇形的弧长和面积
弧长和面积计算
1. 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.，若α＝100°，r＝2，求扇形的面积.
解： S＝lr＝αr2＝×π×4＝π.
2. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为________.
解：设扇形半径为r，弧长为l，解得解得
3. 圆内切于中心角为”，半径为R的扇形，该圆的面积与该扇形的面积之比为（）.
A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3
解：
4. 如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转弧弧度，点Q按顺时针方向每秒转否弧度，求：
(1)P，Q第一次相遇时所用的时间；
(2)第一次相遇时，P，Q各自走过的弧长.
解：解：(1)设P，Q第一次相遇时所用的时间是ts，则
解得t=4.
所以第一次相遇时所用的时间是4s
(2)第一次相遇时，点P已经运动到角 的终边与圆的交点位置，点Q已经运动到角 的终边与圆的交点位置，所以点P走过的弧长为 点Q走过的弧长为
相关最值
1. 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l，若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
解：由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，S＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25. 当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝＝2(rad).
2. 已知扇形的周长是4cm，则当扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()
A.2 B.1 D.3
解析设扇形的半径为R，则弧长l=4-2R，..扇形面积 当R=1时，S最大，此时l=2，扇形圆心角的弧度数为2.答案A
