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华师版数学七年级下册9.1.2 三角形的内角和与外角和 教学设计
课题 9.1.2 三角形的内角和与外角和 单元 第9章 学科 数学 年级 七年级
学习目标 1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
重点 理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
难点 三角形内角和外角的计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 三角形可以分为哪几类呢？ 以问题导入，吸引学生注意力，导入本节三角形内角和与外角和。 引入新课，激发学生继续探究三角形内角和和外角和的兴趣。
讲授新课 如图9.1.7,在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起,发现三个内角恰好拼成了一个平角,得出如下的结论:三角形的内角和等于180°.如图9.1.8,已知△ABC,分别用∠1、∠2、∠3表示ABC的三个内角,证明∠1+∠2+∠3=180°.解 延长BC至点E,以点C为顶点,在BE的上侧作∠DCE =∠2 ,则CD// BA(同位角相等,两直线平行).∵CD// BA，∴∠1 = ∠ACD(两直线平行,内错角相等)∵∠3 + ∠ACD+ ∠DCE =180°,∴∠1 +∠2 +∠3 =180°(等量代换).由三角形的内角和等于180°,容易得出下面的结论:直角三角形的两个锐角互余.由于∠A+∠B+∠C=180°.∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°故直角三角形的两个锐角互余。如图9.1.9,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.三角形的外角与内角有什么关系呢 在图9.1.10中,显然有∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻的内角)= 180°.图9.1.10那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有么关系呢 依据三角形的内角和等于180°,我们有∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°.由上面两个式子,可以推出∠CBD = 180° - ∠ABC，∠ACB +∠BAC =180° -∠ABC.因而可以得到你与你的同伴所发现的结论:∠CBD =∠ACB +∠BAC.由此可知,三角形的外角有两条性质:1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.如图9.1.11所示，∠1 +∠2 +∠3就是△ABC的外角和.做一做在图9.1.11中，∠1＋_______= 180°,∠2 +_______=180°,∠3 +_______=180°.三式相加可以得到∠1 +∠2 +∠3＋_______+_______+_______=_______①而∠ACB +∠BAC +∠ABC =180°，②将①与②相比较,你能得出什么结论 可以得到∠1 +∠2 +∠3 = 360°.由此可知:三角形的外角和等于360°.你能由下图说明这一结论吗？ ∠2+∠EAD+∠BAD=360°∵∠EAD=∠1， ∠BAD=∠3∴∠2+∠1+∠3=360°例1 如图9.1.12，D是ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°．求:(1) ∠B的度数;(2)∠C的度数.解(1)∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，∴∠B ＋∠BAD = ∠ADC = 80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).又∵ ∠B =∠BAD(已知)， ∴∠B =80°× = 40°(等量代换).(2)∵∠B +∠BAC+∠C = 180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C = 180° -∠B -∠BAC(等式的性质)= 180° -40° -70°= 70°. 课堂练习：1、如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D.若∠ABC=66°，∠C=34°，则∠DAE=______°.把一个直尺与一个直角三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为______．3.已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°；∠ACB=60°，则∠DAE=______． 学生需要独立完成本节练习1-3，教师在学生作答后，总结点评，引导学生思考，然后共同完成问题的解决。 总结三角形内角和和外角和，引入新课，鼓励学生探索新知。巩固练习中针对性复习本节三角形的内角和和外角和的认识，学生独立完成1-3的练习，养成独立思考的习惯，学生讲解自己的思路，其他学生作补充。
课堂小结 学生自己去总结三角形内角和和外角和，与学生讨论，教师进行归纳总结 学生感受三角形内角和和外角和的方法，同时回顾这节课其他的疑问，以便得到老师和同学的帮助。
板书 9.1.2 三角形的内角和与外角和1、三角形的内角和2、三角形的外角和
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华师版数学七年级下册9.1.2 三角形的内角和与外角和 学案
课题 9.1.2 三角形的内角和与外角和 课型 新授课
学习目标 1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
重点难点 理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和.三角形内角和外角的计算.
感知探究 自自主学习 三角形内角和是多少度？
自自学检测 如果三角形的三个内角的度数比是2:3：4，则它是______三角形(填锐角、直角或钝角）．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则的度数为 ．
合合作探究 探究一： 如图9.1.7,在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起,发现三个内角恰好拼成了一个平角,得出如下的结论:三角形的内角和等于180°.如图9.1.8,已知△ABC,分别用∠1、∠2、∠3表示ABC的三个内角,证明∠1+∠2+∠3=180°.由三角形的内角和等于180°,容易得出下面的结论:直角三角形的两个锐角互余.
探究二： 如图9.1.9,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.三角形的外角与内角有什么关系呢 图9.1.10那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有么关系呢 与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.如图9.1.11所示，∠1 +∠2 +∠3就是△ABC的外角和.做一做在图9.1.11中，∠1＋_______= 180°,∠2 +_______=180°,∠3 +_______=180°.三式相加可以得到∠1 +∠2 +∠3＋_______+_______+_______=_______①而∠ACB +∠BAC +∠ABC =180°，②将①与②相比较,你能得出什么结论 可以得到∠1 +∠2 +∠3 = 360°.由此可知:三角形的外角和等于360°.你能由下图说明这一结论吗？
探究三 例1 如图9.1.12，D是ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°．求:(1) ∠B的度数;(2)∠C的度数.
四、当堂检测 1、如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D.若∠ABC=66°，∠C=34°，则∠DAE=______°.2.把一个直尺与一个直角三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为______．3.已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°；∠ACB=60°，则∠DAE=______．作业：必做题:课本习题9.1的第2,3题选做题:练习册本课时的习题课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么参考答案：自主检测：1解：三角形三个内角的度数比是：：，
这个三角形的最大角的度数为，
这个三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
2如图所示．，，，，，，．合作探究探究一：解 延长BC至点E,以点C为顶点,在BE的上侧作∠DCE =∠2 ,则CD// BA(同位角相等,两直线平行).∵CD// BA，∴∠1 = ∠ACD(两直线平行,内错角相等)∵∠3 + ∠ACD+ ∠DCE =180°,∴∠1 +∠2 +∠3 =180°(等量代换). 由于∠A+∠B+∠C=180°.∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°故直角三角形的两个锐角互余。 由于∠A+∠B+∠C=180°.∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°故直角三角形的两个锐角互余。探究二：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
∠ACB，∠BAC，∠ABC∠ACB，∠BAC，∠ABC，540°∠2+∠EAD+∠BAD=360°∵∠EAD=∠1， ∠BAD=∠3∴∠2+∠1+∠3=360°探究三： 解(1)∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，∴∠B ＋∠BAD = ∠ADC = 80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).又∵ ∠B =∠BAD(已知)，∴∠B =80°× = 40°(等量代换).(2)∵∠B +∠BAC+∠C = 180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C = 180° -∠B -∠BAC(等式的性质)= 180°-40°-70°= 70°. 当堂检测1、 解：∵∠BAC=180°-66°-34°=80°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=40°，∵∠ABC=66°，AD是BC边上的高．∴∠BAD=90°-66°=24°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD=40°-24°=16°．2、 解：∵∠1=40°∴∠ADE=∠1=40°∵∠A=90°∴∠AED=180°-∠A-∠ADE=50°∴∠2=180°-∠AED=130°． 3、 解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠ABC=30°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-30°-60°=90°．∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE= ∠BAC=45°．∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°+45°=75°．∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE=90°．∴∠DAE=90°-∠AEC=90°-75°=15°．
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9.1.2 三角形的内角和与外角和
华东师大版 七年级下册
新知导入
三角形可以分为哪几类呢？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形按角分
三角形按边分
不等边三角形
等腰三角形
如图9.1.7,在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起,发现三个内角恰好拼成了一个平角,
得出如下的结论:三角形的内角和等于180°.
新知讲解
图9.1.7
由图9.1.7的操作,你能发现证明的方法吗
拼剪法
A
B
A
C
B
如图9.1.8,已知△ABC,分别用∠1、∠2、∠3表示ABC的三个内角,证明∠1+∠2+∠3=180°.
新知讲解
图9.1.8
1
2
3
A
C
B
解 延长BC至点E,
以点C为顶点,在BE的上侧作∠DCE =∠2 ,
则CD// BA(同位角相等,两直线平行).
∵CD// BA，
∴∠1 = ∠ACD(两直线平行,内错角相等)
∵∠3 + ∠ACD+ ∠DCE =180°,
∴∠1 +∠2 +∠3 =180°(等量代换).
新知讲解
图9.1.8
---------E
-------------
D
1
2
3
A
C
B
新知讲解
由三角形的内角和等于180°,容易得出下面的结论:
直角三角形的两个锐角互余.
你能说明其理由吗？
A
C
B
由于∠A+∠B+∠C=180°.
∠C=90°，
所以∠A+∠B=180°-90°=90°
故直角三角形的两个锐角互余。
新知讲解
如图9.1.9,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
图9.1.9
—————
不相邻内角
相邻内角
外角
三角形的外角与内角有什么关系呢
在图9.1.10中,显然有∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻的内角)= 180°.
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有么关系呢
新知讲解
图9.1.10
-------------
C
B
A
D
新知讲解
依据三角形的内角和等于180°,
我们有∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°.
由上面两个式子,可以推出
∠CBD = 180° - ∠ABC，
∠ACB +∠BAC =180° -∠ABC.
因而可以得到你与你的同伴所发现的结论:
∠CBD =∠ACB +∠BAC.
图9.1.10
-------------
C
B
A
D
新知讲解
由此可知,三角形的外角有两条性质:
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
新知讲解
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.
如图9.1.11所示，∠1 +∠2 +∠3就是△ABC的外角和.
图9.1.11
1
2
3
C
B
A
新知讲解
在图9.1.11中，
∠1＋_______= 180°,∠2 +_______=180°,∠3 +_______=180°.
三式相加可以得到
∠1 +∠2 +∠3＋_______+_______+_______=_______①
而∠ACB +∠BAC +∠ABC =180°，②
将①与②相比较,你能得出什么结论
做一做
∠ACB
∠BAC
∠ABC
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540°
图9.1.11
1
2
3
C
B
A
新知讲解
概括
可以得到∠1 +∠2 +∠3 = 360°.
由此可知:三角形的外角和等于360°.
新知讲解
∠2+∠EAD+∠BAD=360°
∵∠EAD=∠1，
∠BAD=∠3
∴∠2+∠1+∠3=360°
A
D
B
C
2
1
3
E
你能由下图说明这一结论吗？
新知讲解
例1 如图9.1.12，D是ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°．
求:(1) ∠B的度数;
(2)∠C的度数.
C
B
A
D
图9.1.12
新知讲解
解(1)∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，
∴∠B ＋∠BAD = ∠ADC = 80°
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠B =∠BAD(已知)，
∴∠B =80°× = 40°(等量代换).
C
B
A
D
图9.1.12
新知讲解
(2)∵∠B +∠BAC+∠C = 180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠C = 180° -∠B -∠BAC(等式的性质)
= 180° -40° -70°
= 70°.
C
B
A
D
图9.1.12
课堂练习
1、如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D.若∠ABC=66°，∠C=34°，则∠DAE=______°.
16
课堂练习
解：∵∠BAC=180°-66°-34°=80°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=40°，
∵∠ABC=66°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD=90°-66°=24°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD=40°-24°=16°．
课堂练习
2.把一个直尺与一个直角三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为______．
130°
课堂练习
解：∵∠1=40°
∴∠ADE=∠1=40°
∵∠A=90°
∴∠AED=180°-∠A-∠ADE=50°
∴∠2=180°-∠AED=130°．
课堂练习
3.已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°，∠ACB=60°，则∠DAE=______．
15°
课堂练习
解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∠ABC=30°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE= ∠BAC=45°．
课堂练习
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°+45°=75°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE=90°．
∴∠DAE=90°-∠AEC=90°-75°=15°．
课堂总结
三角形的内角和与外角和
内角和定理
外角和性质
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
三角形的内角和180°
板书设计
9.1.2 三角形的内角和与外角和
1、三角形的内角和
2、三角形的外角和
作业布置
必做题:课本习题 9.1的第2，3题
选做题:练习册本课时的习题
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