第四章数列课时练习01数列的通项公式（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 第四章数列课时练习01数列的通项公式（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 551.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 11:15:13 | ||
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文档简介
第四章 数列 课时练习01 数列的通项公式
一、单选题
1．数列的通项公式为，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．下列各项表示数列的是（ ）
A．△，○，☆，□
B．2008，2009，2010，…，2017
C．锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
D．
3．已知是数列的前项和，，通过计算得，，，，根据通项的规律可以归纳得出（ ）
A．981 B．979 C．980 D．978
4．已知数列只有4项，且各项互不相同，各项都是集合中的元素，若共可组成个符合条件的不同数列，则的值为（ ）
A．2 B．24 C．256 D．一个不确定的数
5．1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星” “谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律，新数列的第8项为（ ）
A．14.8 B．19.2 C．19.6 D．20.4
6．已知数列则是这个数列的（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
7．记数列{}的前n项和为Tn，若不等式n|3﹣Tn+1|对于*恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．[） B．[） C．[） D．[）
8．已知数列是公比为2的等比数列，则的值为
A． B． C． D．1
9．已知满足，且，则的最小值为
A． B． C． D．10
10．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．设表示不超过的最大整数，已知数列中，，且，若，则整数
A．99 B．100 C．101 D．102
二、多选题
12．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．给出以下四个命题：
①若，则；
②已知直线与函数，的图像分别交于点，则的最大值为；
③若数列为单调递增数列，则取值范围是；
④已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12.
其中正确命题的序号为__________.
14．在数列中，，则_______________．
15．已知数列中，则___________.
四、解答题
16．已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围．
17．设无穷等差数列的前n项和为，已知．
（1）求与的值；
（2）对任意的正整数n，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
18．(1)一个半径为的扇形，若它的周长等于，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？
(2)角的终边经过点P(，4)且cos=,则的值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式，代入，即可求解.
【详解】
由题意，通项公式为，
则
故选：
【点睛】
本题考查数列的通项公式，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
直接根据数列的概念判断即可.
【详解】
数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形 文字 向量等，只有B项符合.
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
通过计算，，，的式子特点，归纳出的通项公式，进而可求.
【详解】
由可以猜想，的通项公式均为关于的多项式，且中的次数最高次为4次，则中的次数最高次为3次，
则，，
，，
，，
，，
∴根据通项的规律可以归纳得出.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查观察法求数列的通项公式，考查学生观察能力和计算能力.
4．B
【解析】
【分析】
利用对四个数进行排序，可排出24种不同的数列.
【详解】
当第一个数为，则第二、第三、第四项共有，共6种；依此类推，当第一个数为，各对应有6种，
所以总共有24个数列满足条件.
故选B.
【点睛】
本题考查简单的计数原理，根据数列的特点，排出数列的种数，属于基础题.
5．C
【解析】
0，3，6，12，24，48，96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192，
0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可.
【详解】
规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为19.6，
故选：C.
6．D
【解析】
由数列通项公式等于，求解出.
【详解】
由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
用错位相减法求出，进而有，设，转化为，求出，即可得出结论.
【详解】
两式相减得，
，
化为对于 n∈N*恒成立，
，只需，
当，当时，，
，
当时，，即，
当时，，即，
所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查错位相减法求数列和，考查恒成立问题，利用单调性求数列的最大值项，考查计算求解能力，属于中档题.
8．B
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式化简,再代入公比得结果.
【详解】
由题意可知，,选B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式化简，考查基本求解能力，属基础题.
9．C
【解析】
【详解】
满足，即，
∴
.
则，
令,则,
在上单调递减;在上单调递增.
.
∴n=6时,f(x)取得最小值,因此的最小值为.
故选C.
10．D
【解析】
【分析】
由题设得到恒成立，参变分离后可得实数的取值范围.
【详解】
由题设有恒成立，
故恒成立即，
当时，有恒成立，故，
当时，有恒成立，故，
当时，，
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.
11．C
【解析】
【分析】
由可得，从而，而 ，从而，由此可解出n的值.
【详解】
因为,
所以，故数列是递增数列，且，
又由可得，即，
而 ，从而，
所以[],
又，
所以[]，，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数列的增减性，裂项相消法，以及对数列递推公式的变形推理能力，属于难题.
12．ACD
【解析】
先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．
【详解】
由题意，，A正确，，C正确；
，∴数列是周期数列，周期为3．
，B错；
，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．
13．①②
【解析】
【分析】
根据题意，利用三角函数有界性可判断①正确；利用作差变形再应用辅助角公式，求三角函数的最值问题可判断②；再根据数列知识，作差变形判断参数恒成立问题可判断③；应用列举法，求数列和，可判断④.
【详解】
①由，得或，∴，，或，，，，或，
.
②把带入和，
得.则的最大值为；
③若数列为单调递增数列，
则恒成立，恒成立，得.
④由知：，，，，，，，，，，，
，，
则使的n的最小值为11.
故答案为：①②
【点睛】
本题考查三角函数有界性，考查数列单调性，考查作差法，判断命题的正误，综合性较强，有一定难度.
14．
【解析】
【分析】
利用递推关系式依次求值.
【详解】
由，得，，，．
【点睛】
已知递推关系式，可依次赋值，求出数列中所求项的值.
15．
【解析】
【分析】
根据条件可构造等比数列，求出的通项公式即可求解出的通项公式.
【详解】
因为，所以且，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用递推公式构造等比数列求解数列通项公式，难度一般.满足的数列可以通过构造等比数列求解出其通项公式.
16．（1）（2）m＜4
【解析】
【分析】
（1）由题，两式相减即可得到递推关系，求解通项公式；
（2）由题意得，，求出，则，利用错位相减法求出，讨论最值即可得解.
【详解】
（1）
∵ ①
∴ ②
∴②－①得
∴，即，∴成等比数列，公比为2．
∴．
（2）由题意得，，∴成等差数列，公差为．
首项，∴，，
当时，，
当时，成立，∴．∴，
令，只需．
∴ ③
④
③－④得，
∴．
∵．
∴为递增数列，且，∴．
∴．
【点睛】
此题考查根据递推关系求数列通项公式，涉及错位相减法进行数列求和，求解不等式能成立问题，关键在于熟练掌握数列问题的常见处理办法.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由结合等差数列的求和公式和性质可得，再由可求出公差，从而可求出通项公式和求和公式，进而可求出与的值；
（2）当时，可得，若时，可得，显然不成立，所以可得，所以当，问题等价于当恒成立，构造函数，且，通过判断函数的单调性求出函数的最小值，从而可求出实数的取值范围
【详解】
（1）因数列是等差数列，所以，所以，
又，所以公差，
所以，
所以．
（2）根据题意，对任意的正整数n，不等式恒成立，
当时，，得，
而时，得，显然不是恒成立，故，所以，
当时，，所以，
所以当，不等式恒成立等价于
当恒成立，
记，且，
则当时，，即，
所以且，单调递增，，
所以，得，所以所求的实数的取值范围为．
18．(1) , (2)
【解析】
【详解】
(1)设弧长为，所对圆心角为，则=，即=
因为所以的弧度数是，
从而
(2) 角的终边经过点P(，4)，
所以，
所以.
所以原式=
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．数列的通项公式为，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．下列各项表示数列的是（ ）
A．△，○，☆，□
B．2008，2009，2010，…，2017
C．锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
D．
3．已知是数列的前项和，，通过计算得，，，，根据通项的规律可以归纳得出（ ）
A．981 B．979 C．980 D．978
4．已知数列只有4项，且各项互不相同，各项都是集合中的元素，若共可组成个符合条件的不同数列，则的值为（ ）
A．2 B．24 C．256 D．一个不确定的数
5．1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星” “谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律，新数列的第8项为（ ）
A．14.8 B．19.2 C．19.6 D．20.4
6．已知数列则是这个数列的（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
7．记数列{}的前n项和为Tn，若不等式n|3﹣Tn+1|对于*恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．[） B．[） C．[） D．[）
8．已知数列是公比为2的等比数列，则的值为
A． B． C． D．1
9．已知满足，且，则的最小值为
A． B． C． D．10
10．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．设表示不超过的最大整数，已知数列中，，且，若，则整数
A．99 B．100 C．101 D．102
二、多选题
12．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．给出以下四个命题：
①若，则；
②已知直线与函数，的图像分别交于点，则的最大值为；
③若数列为单调递增数列，则取值范围是；
④已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12.
其中正确命题的序号为__________.
14．在数列中，，则_______________．
15．已知数列中，则___________.
四、解答题
16．已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围．
17．设无穷等差数列的前n项和为，已知．
（1）求与的值；
（2）对任意的正整数n，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
18．(1)一个半径为的扇形，若它的周长等于，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？
(2)角的终边经过点P(，4)且cos=,则的值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式，代入，即可求解.
【详解】
由题意，通项公式为，
则
故选：
【点睛】
本题考查数列的通项公式，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
直接根据数列的概念判断即可.
【详解】
数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形 文字 向量等，只有B项符合.
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
通过计算，，，的式子特点，归纳出的通项公式，进而可求.
【详解】
由可以猜想，的通项公式均为关于的多项式，且中的次数最高次为4次，则中的次数最高次为3次，
则，，
，，
，，
，，
∴根据通项的规律可以归纳得出.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查观察法求数列的通项公式，考查学生观察能力和计算能力.
4．B
【解析】
【分析】
利用对四个数进行排序，可排出24种不同的数列.
【详解】
当第一个数为，则第二、第三、第四项共有，共6种；依此类推，当第一个数为，各对应有6种，
所以总共有24个数列满足条件.
故选B.
【点睛】
本题考查简单的计数原理，根据数列的特点，排出数列的种数，属于基础题.
5．C
【解析】
0，3，6，12，24，48，96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192，
0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可.
【详解】
规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为19.6，
故选：C.
6．D
【解析】
由数列通项公式等于，求解出.
【详解】
由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.
故选：D.
7．B
【解析】
【分析】
用错位相减法求出，进而有，设，转化为，求出，即可得出结论.
【详解】
两式相减得，
，
化为对于 n∈N*恒成立，
，只需，
当，当时，，
，
当时，，即，
当时，，即，
所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查错位相减法求数列和，考查恒成立问题，利用单调性求数列的最大值项，考查计算求解能力，属于中档题.
8．B
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式化简,再代入公比得结果.
【详解】
由题意可知，,选B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式化简，考查基本求解能力，属基础题.
9．C
【解析】
【详解】
满足，即，
∴
.
则，
令,则,
在上单调递减;在上单调递增.
.
∴n=6时,f(x)取得最小值,因此的最小值为.
故选C.
10．D
【解析】
【分析】
由题设得到恒成立，参变分离后可得实数的取值范围.
【详解】
由题设有恒成立，
故恒成立即，
当时，有恒成立，故，
当时，有恒成立，故，
当时，，
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.
11．C
【解析】
【分析】
由可得，从而，而 ，从而，由此可解出n的值.
【详解】
因为,
所以，故数列是递增数列，且，
又由可得，即，
而 ，从而，
所以[],
又，
所以[]，，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数列的增减性，裂项相消法，以及对数列递推公式的变形推理能力，属于难题.
12．ACD
【解析】
先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．
【详解】
由题意，，A正确，，C正确；
，∴数列是周期数列，周期为3．
，B错；
，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．
13．①②
【解析】
【分析】
根据题意，利用三角函数有界性可判断①正确；利用作差变形再应用辅助角公式，求三角函数的最值问题可判断②；再根据数列知识，作差变形判断参数恒成立问题可判断③；应用列举法，求数列和，可判断④.
【详解】
①由，得或，∴，，或，，，，或，
.
②把带入和，
得.则的最大值为；
③若数列为单调递增数列，
则恒成立，恒成立，得.
④由知：，，，，，，，，，，，
，，
则使的n的最小值为11.
故答案为：①②
【点睛】
本题考查三角函数有界性，考查数列单调性，考查作差法，判断命题的正误，综合性较强，有一定难度.
14．
【解析】
【分析】
利用递推关系式依次求值.
【详解】
由，得，，，．
【点睛】
已知递推关系式，可依次赋值，求出数列中所求项的值.
15．
【解析】
【分析】
根据条件可构造等比数列，求出的通项公式即可求解出的通项公式.
【详解】
因为，所以且，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用递推公式构造等比数列求解数列通项公式，难度一般.满足的数列可以通过构造等比数列求解出其通项公式.
16．（1）（2）m＜4
【解析】
【分析】
（1）由题，两式相减即可得到递推关系，求解通项公式；
（2）由题意得，，求出，则，利用错位相减法求出，讨论最值即可得解.
【详解】
（1）
∵ ①
∴ ②
∴②－①得
∴，即，∴成等比数列，公比为2．
∴．
（2）由题意得，，∴成等差数列，公差为．
首项，∴，，
当时，，
当时，成立，∴．∴，
令，只需．
∴ ③
④
③－④得，
∴．
∵．
∴为递增数列，且，∴．
∴．
【点睛】
此题考查根据递推关系求数列通项公式，涉及错位相减法进行数列求和，求解不等式能成立问题，关键在于熟练掌握数列问题的常见处理办法.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由结合等差数列的求和公式和性质可得，再由可求出公差，从而可求出通项公式和求和公式，进而可求出与的值；
（2）当时，可得，若时，可得，显然不成立，所以可得，所以当，问题等价于当恒成立，构造函数，且，通过判断函数的单调性求出函数的最小值，从而可求出实数的取值范围
【详解】
（1）因数列是等差数列，所以，所以，
又，所以公差，
所以，
所以．
（2）根据题意，对任意的正整数n，不等式恒成立，
当时，，得，
而时，得，显然不是恒成立，故，所以，
当时，，所以，
所以当，不等式恒成立等价于
当恒成立，
记，且，
则当时，，即，
所以且，单调递增，，
所以，得，所以所求的实数的取值范围为．
18．(1) , (2)
【解析】
【详解】
(1)设弧长为，所对圆心角为，则=，即=
因为所以的弧度数是，
从而
(2) 角的终边经过点P(，4)，
所以，
所以.
所以原式=
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