人教A版（2019）选修第二册第四章第二节课时2等差数列的前n项和公式（1）（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选修第二册第四章第二节课时2等差数列的前n项和公式（1）（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 594.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 11:22:34 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选修第二册 第四章 第二节 课时2 等差数列的前n项和公式（1）
一、单选题
1．设等差数列前项和为，若，，则
A．8 B．18 C．14 D．
2．一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ）
A．75 B．100 C．50 D．125
3．记是各项均为正数的等差数列的前项和，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为（ ）
A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺
5．设是等差数列的前项和，存在且时,有，，则（ ）
A．8 B． C．17 D．16
6．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是等差数列的前项和，若,，那么等于
A．4 B．5 C．9 D．18
二、多选题
8．公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．中最大 D．
9．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列{an}是公差为2的等差数列
B．满足Sn＜100的n的最大值是9
C．Sn除以4的余数只能为0或1
D．2Sn＝nan
三、填空题
11．已知数列满足，，且，若函数，记，则数列的前9项和为______.
12．设是正整数，由数列1，2，3，…，分别求相邻两项的和，得到一个有项的新数列：1+2，2+3，3+4，…，，即3，5，7，…，．对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是__________．
13．已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则_______
四、解答题
14．等差数列满足，
（1）求的通项公式
（2）若，求前项的和．
15．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，等比数列的前项和为，公比为，且，求的值
16．在数列中，，当时，其前项和满足．设，数列的前项和为．
（1）求；
（2）求满足的最小正整数．
17．已知等差数列的前n项和，，，，数列的前n项和， ．
（1）证明：是等比数列，并求；
（2）求数列的前n项和．
18．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为Sn，bn＝.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}前n项和为Tn，求Tn.
19．已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
设等差数列的首项为，公差为，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求得，可求解，得到答案.
【详解】
由题意，设等差数列的首项为，公差为，
因为，解得，
又由，则，解得，
所以，又由，所以，
所以.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，，成等差数列，建立方程，进行求解．
【详解】
解：设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，
由题意得，，
解得，，
故中间的项的和为75，
故选：A．
【点睛】
本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前项和为，则，，，成等差数列，属于中档题．
3．B
【解析】
【分析】
研究特殊的等差数列——常数列，根据选项进行研究，根据对数函数的单调性，利用基本不等式即可求解．
【详解】
令，则，，所以，因为函数是单调递增函数，所以，所以，由基本不等式知，所以，所以．
故选:B．
【点睛】
本题主要考查等差数列的前项和公式，对数函数的单调性，基本不等式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
4．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
【详解】
解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，
小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，
，，
，，
解得，，
则清明日影长．
故选：．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，转化求解即可．
【详解】
由题知，且，
所以，
所以，所以.
故选：B．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
6．B
【解析】
【分析】
与互为相反数,则先求出与的关系,进而求解即可.
【详解】
由题,因为,所以,
所以,
所以,即,
所以,
故选:B
【点睛】
本题考查函数对称性的应用,考查求函数值.
7．B
【解析】
【详解】
等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.
8．AC
【解析】
【分析】
利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答.
【详解】
等差数列的公差为d，其前n项和为，
由，得，由，得，
则有，即，A正确；，B不正确；
因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确；
，，，即，D不正确.
故选：AC
9．AC
【解析】
【分析】
根据数列的求和公式可得通项公式，可判断AB，根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对值的前项和．
【详解】
，，经验证对于也成立，所以，故A正确；
当时，，当时，当时，，所以时，的最大值为16，故B错误；
因为当时，，所以，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
10．ABC
【解析】
【分析】
令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断
【详解】
由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故
令，则
则
即
故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；
，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；
当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；
，D错误.
故选：ABC
11．9
【解析】
【分析】
根据题目所给数列的递推关系式，证得数列为等差数列.化简解析式，并证得，利用等差数列的性质，求得数列的前项和.
【详解】
由已知可得，数列为等差数列，，
∴.∵，
∴.
∵，
∴，即数列的前9项和为9.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，考查三角函数降幂公式、二倍角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可知最后一个数列的项即数列是首项为公差为的等差数列，即最后一个数列的项是 ．
考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列性质的运用，涉及转化化归思想，考查了构造法的运用，逻辑推理能力、转化化归能力和数据处理能力，属于较难题型，解答此题的关键是构造并判断出数列数列是首项为公差为的等差数列，即最后一个数列的项是 ．
13．
【解析】
、均是等差数列，故为二次函数，设，根据前3项，求出，，的值，即可得到．
【详解】
解：因为、均是等差数列，其通项公式均为关于的一次式，所以为关于的二次式，
故设，
，，
则，解得
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意列方程求出数列的首项和公差，即可求解；
（2）求出的通项公式，然后由分组求和结合等差和等比数列求和公式即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，．
所以；
（2）由（1）可得：，
所以
15．当时，其他情形极限无意义
【解析】
【详解】
若时当时无极限，
若时
故当时，其他情形极限无意义
16．（1） ；（2） 10．
【解析】
【分析】
（1）先利用，得到是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求出.（2）再将（1）的结果代入求出的通项以及前项和为，解不等式即可．
【详解】
（1）由，
可得，即，且，
所以数列是等差数列，其首项为1，公差为1，
所以，所以．
（2）由（1），可得，
所以
．
由可得，
即，即．
令，
可得函数在上单调递增，
又，，
所以，故满足的最小正整数是10．
17．（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过递推关系，用“两式相减法”可得，从而可得，即可求解；
（2）设等差数列的公差为d，由题意可建立方程组，解得，，从而可得，运用错位相减法与分组转化法求解数列的前n项和即可．
【详解】
（1）证明：由得，
因为当时，，
可得，
从而由得，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
得；
（2）解：根据题意，设等差数列的公差为d，首项为，
则，，
解得，，
∴．
所以，
设，
则，
两式相减得，
，
所以，
由．
所以数列的前n项和为．
【点睛】
本题考查等比数列的判定和证明，等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的通项公式和求和公式，错位相减法求和，属于中档题．
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，可得，进一步得到，从而得到答案.
（2）由，用裂项相消法求法和即可.
【详解】
（1）等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，所以.
所以{an}的前n项和，则
所以.
（2）
.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在等式的两边同除得到新的等式，然后即可证明为等差数列；
（2）先求解出的通项公式，然后即可求的通项公式，采用分组求和以及错位相减法进行求和.
【详解】
（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，可得，
所以，
则数列的前项和，
所以，
令①，
则②，
由①②可得，
所以，
所以．
【点睛】
思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；
（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．设等差数列前项和为，若，，则
A．8 B．18 C．14 D．
2．一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（ ）
A．75 B．100 C．50 D．125
3．记是各项均为正数的等差数列的前项和，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为（ ）
A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺
5．设是等差数列的前项和，存在且时,有，，则（ ）
A．8 B． C．17 D．16
6．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是等差数列的前项和，若,，那么等于
A．4 B．5 C．9 D．18
二、多选题
8．公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．中最大 D．
9．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列{an}是公差为2的等差数列
B．满足Sn＜100的n的最大值是9
C．Sn除以4的余数只能为0或1
D．2Sn＝nan
三、填空题
11．已知数列满足，，且，若函数，记，则数列的前9项和为______.
12．设是正整数，由数列1，2，3，…，分别求相邻两项的和，得到一个有项的新数列：1+2，2+3，3+4，…，，即3，5，7，…，．对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是__________．
13．已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则_______
四、解答题
14．等差数列满足，
（1）求的通项公式
（2）若，求前项的和．
15．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，等比数列的前项和为，公比为，且，求的值
16．在数列中，，当时，其前项和满足．设，数列的前项和为．
（1）求；
（2）求满足的最小正整数．
17．已知等差数列的前n项和，，，，数列的前n项和， ．
（1）证明：是等比数列，并求；
（2）求数列的前n项和．
18．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为Sn，bn＝.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}前n项和为Tn，求Tn.
19．已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
设等差数列的首项为，公差为，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求得，可求解，得到答案.
【详解】
由题意，设等差数列的首项为，公差为，
因为，解得，
又由，则，解得，
所以，又由，所以，
所以.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，，成等差数列，建立方程，进行求解．
【详解】
解：设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，
由题意得，，
解得，，
故中间的项的和为75，
故选：A．
【点睛】
本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前项和为，则，，，成等差数列，属于中档题．
3．B
【解析】
【分析】
研究特殊的等差数列——常数列，根据选项进行研究，根据对数函数的单调性，利用基本不等式即可求解．
【详解】
令，则，，所以，因为函数是单调递增函数，所以，所以，由基本不等式知，所以，所以．
故选:B．
【点睛】
本题主要考查等差数列的前项和公式，对数函数的单调性，基本不等式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
4．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
【详解】
解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，
小寒、惊蛰、小满日影长之和为24.5尺，前十个节气日影长之和为90尺，
，，
，，
解得，，
则清明日影长．
故选：．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，转化求解即可．
【详解】
由题知，且，
所以，
所以，所以.
故选：B．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
6．B
【解析】
【分析】
与互为相反数,则先求出与的关系,进而求解即可.
【详解】
由题,因为,所以,
所以,
所以,即,
所以,
故选:B
【点睛】
本题考查函数对称性的应用,考查求函数值.
7．B
【解析】
【详解】
等差数列中，所以，从而，，所以，故选B.
8．AC
【解析】
【分析】
利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答.
【详解】
等差数列的公差为d，其前n项和为，
由，得，由，得，
则有，即，A正确；，B不正确；
因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确；
，，，即，D不正确.
故选：AC
9．AC
【解析】
【分析】
根据数列的求和公式可得通项公式，可判断AB，根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对值的前项和．
【详解】
，，经验证对于也成立，所以，故A正确；
当时，，当时，当时，，所以时，的最大值为16，故B错误；
因为当时，，所以，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
10．ABC
【解析】
【分析】
令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断
【详解】
由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故
令，则
则
即
故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；
，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；
当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；
，D错误.
故选：ABC
11．9
【解析】
【分析】
根据题目所给数列的递推关系式，证得数列为等差数列.化简解析式，并证得，利用等差数列的性质，求得数列的前项和.
【详解】
由已知可得，数列为等差数列，，
∴.∵，
∴.
∵，
∴，即数列的前9项和为9.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，考查三角函数降幂公式、二倍角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．
【解析】
【详解】
试题分析：由题意可知最后一个数列的项即数列是首项为公差为的等差数列，即最后一个数列的项是 ．
考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列性质的运用，涉及转化化归思想，考查了构造法的运用，逻辑推理能力、转化化归能力和数据处理能力，属于较难题型，解答此题的关键是构造并判断出数列数列是首项为公差为的等差数列，即最后一个数列的项是 ．
13．
【解析】
、均是等差数列，故为二次函数，设，根据前3项，求出，，的值，即可得到．
【详解】
解：因为、均是等差数列，其通项公式均为关于的一次式，所以为关于的二次式，
故设，
，，
则，解得
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意列方程求出数列的首项和公差，即可求解；
（2）求出的通项公式，然后由分组求和结合等差和等比数列求和公式即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，．
所以；
（2）由（1）可得：，
所以
15．当时，其他情形极限无意义
【解析】
【详解】
若时当时无极限，
若时
故当时，其他情形极限无意义
16．（1） ；（2） 10．
【解析】
【分析】
（1）先利用，得到是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求出.（2）再将（1）的结果代入求出的通项以及前项和为，解不等式即可．
【详解】
（1）由，
可得，即，且，
所以数列是等差数列，其首项为1，公差为1，
所以，所以．
（2）由（1），可得，
所以
．
由可得，
即，即．
令，
可得函数在上单调递增，
又，，
所以，故满足的最小正整数是10．
17．（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过递推关系，用“两式相减法”可得，从而可得，即可求解；
（2）设等差数列的公差为d，由题意可建立方程组，解得，，从而可得，运用错位相减法与分组转化法求解数列的前n项和即可．
【详解】
（1）证明：由得，
因为当时，，
可得，
从而由得，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
得；
（2）解：根据题意，设等差数列的公差为d，首项为，
则，，
解得，，
∴．
所以，
设，
则，
两式相减得，
，
所以，
由．
所以数列的前n项和为．
【点睛】
本题考查等比数列的判定和证明，等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的通项公式和求和公式，错位相减法求和，属于中档题．
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，可得，进一步得到，从而得到答案.
（2）由，用裂项相消法求法和即可.
【详解】
（1）等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，所以.
所以{an}的前n项和，则
所以.
（2）
.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在等式的两边同除得到新的等式，然后即可证明为等差数列；
（2）先求解出的通项公式，然后即可求的通项公式，采用分组求和以及错位相减法进行求和.
【详解】
（1）依题，在两边同时除以，
得，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，可得，
所以，
则数列的前项和，
所以，
令①，
则②，
由①②可得，
所以，
所以．
【点睛】
思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：；
（2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；
（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出.
答案第1页，共2页
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