人教A版（2019）选修第二册第四章第二节课时3等差数列的前n项和公式（2）（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选修第二册第四章第二节课时3等差数列的前n项和公式（2）（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 538.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 11:23:22 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选修第二册 第四章 第二节 课时3 等差数列的前n项和公式（2）
一、单选题
1．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A． B． C． D．
2．数列满足：，则等于
A．98 B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列{an}中,其公差d≠0,若S7=S12,现有以下四个命题:
①S19=0；②S10=S9；③若d>0，则Sn有最大值；④若d>0，则Sn有最小值.
则关于这四个命题,正确的是
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．②③.
5．在等差数列中，，，则数列的前项和中最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ）
A．160片 B．170片 C．180片 D．190片
7．已知等差数列中，若，则取最小值时的（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．27 B．33 C．36 D．45
9．等差数列中，，则=（ ）
A．240 B．220 C．360 D．-360
二、多选题
10．已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．a1=22 B．d=－2
C．当n=10或n=11时，Sn取得最大值 D．当Sn>0时，n的最大值为20
11．等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B．当时，
C． D．，
三、双空题
12．在等差数列中，，则__________，设，则数列的前项的和=__________.
13．已知数列的前项和为，则___________；________．
14．设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项和为180，，则该数列的项数______，______．
四、填空题
15．已知点在以为直径的圆上，若，，，则______.
16．如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记，，，…，的长度组成数列（，），且，则数列的前7项和为________．
17．等差数列的前三项为，则数列的通项公式_______.
五、解答题
18．已知数列满足，，数列满足，求数列的前项和.
19．已知是定义在上的函数，对任意的，都有，且.
（1）求证:（2）判断函数的奇偶性
20．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据等差数列求和公式可直接构造方程求得结果.
【详解】
设橘子最少的人所得橘子个数为，则，解得：，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是个.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
由已知数列为首项为3、公差等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求出结果.
【详解】
数列的通项公式
.
故选B.
【点睛】
本题考查等差数列的判断和通项公式，根据条件判断数列为等差数列是解题关键，属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质可知，，，从而可知最大且取得最小正值时有最大值.
【详解】
等差数列的前项和为，
由，即，
，即，，
故最大值为，
又，递减，前项中递增，
最大且取得最小正值时有最大值，即最大.
故选：B
【点睛】
本题考查了等差数列的前和公式、等差数列的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.
4．B
【解析】
利用等差数列的性质和前项和的性质，对选项进行逐一分析即可.
【详解】
在等差数列{an}中，其公差d≠0，若S7=S12，
则：a8+a9+a10+a11+a12=0，整理得5a10=0，
所以a10=0，
对①：19a10=0.
对②：由S10=S9；整理得a10=0.
对③和④：若d>0，则有Sn，
所以Sn有最小值.
故①②④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的性质和前项和的性质，属基础题.
5．D
【解析】
根据等差数列的性质，了解数列的特点，可得结果
【详解】
因为数列是等差数列，所以，
由，所以，又，可知，
等差数列公差，即等差数列是递增数列，
且前7项均是负数，所以前项和中最小的是
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质，简单判断，属基础题.
6．B
【解析】
【分析】
由题意可知这10排大理石片数构成等差数列，由等差数列求和公式计算即可.
【详解】
因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，
所以．
故选：B．
7．C
【解析】
【分析】
是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。
【详解】
由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列前n项和，是基础题。
8．B
【解析】
【分析】
利用为等差数列可求的值.
【详解】
因为为等差数列，为其前项和，
故，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
9．C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质结合等式，可求出，利用表示，即可求得结果.
【详解】
因为数列为等差数列，所以，所以，解得：；
由等差数列性质可知：.
故选C.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解数列类题目时，需要注意给定式子中各脚标之间的数量关系，由此联系数列的基本性质.
10．BCD
【解析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项和，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．
【详解】
等差数列的前项和为，公差，
由，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即，
化为，②
由①②解得，，
则，，
由，可得或11时，取得最大值110；
由，可得，即的最大值为20．
故选：BCD
【点睛】
方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
11．AB
【解析】
【分析】
由题设关系式，应用等差数列前n项和公式有、，即可判断A、C的正误；利用等差数列通项公式与前n项和的关系即可判断B的正误；令即可否定D的结论.
【详解】
由，知：，即，故A正确.
同理可得：，故C错误.
当，有，则，易得，故B正确.
当，有，则，则不存在，使，故D错误.
故选：AB
12．
【解析】
【详解】
由题意可得,解得，
故an=3+(n 1)×2=2n+1.
∵
裂项求和可得数列{bn}的前n项和.
13． 2 2018
【解析】
【分析】
根据，得，两式相减得，再令n=3得到，再得到，与相减得到，再分n为奇数， n为偶数时，各为等差数列，再利用分组法求和，
【详解】
由，
得，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
当n为奇数时，，
数列是以为首项，-4为公差的等差数列，
当n为偶数时，，
数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以，
，
，
故答案为：(1). 2 (2). 2018
【点睛】
本题主要考查数列通项公式和前n项和间的关系和等差数列的定义及分组求和法，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
14． 18 36
【解析】
【分析】
（1）由题意，可知①，②，由①+②求出的值；
（2）由题得，利用等差数列的性质即得解.
【详解】
（1）由题意，可知①，
②，
由①+②，得，
∴．
又，
∴，∴，
（2）由题得，
．
故答案为：18；36.
15．12
【解析】
【分析】
连接、、，根据圆的圆周角性质，可得，从而得出，利用平面向量的线性运算求得，最后结合平面向量的数量积公式，即可求出结果.
【详解】
解：连接、、，如图所示，
由于为圆的直径，，，，
则，，
由于
，
即：.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算和向量数量积公式，考查转化思想和计算能力.
16．
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得出，可得出为等差数列，求出的通项公式，可求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.
【详解】
是以为直角的直角三角形，由勾股定理可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
，，所以，，
则，
因此，数列的前项和为
故答案为： ．
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．
17．
【解析】
【详解】
试题分析：由于等差数列的前三项为， 则，解得，等差数列的首项公差，通项公式.
考点：等差数列通项公式，等比中项.
18．
【解析】
【分析】
由，可得数列是等差数列，首项，公差为.得，可得，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.
【详解】
由，得：，即，
所以数列是等差数列，首项，公差为.
所以，所以.
所以 ①
所以 ②
①-②得： .
即.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、等比数列求和公式通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
19．（1）证明见解析（2）为偶函数
【解析】
【分析】
（1）令，代入已知式，即可得证；
（2）函数为偶函数，令，结合即可得证．
【详解】
（1）令，
∴，
又，∴.
（2）令，
则，
∴，即，
又的定义域为，
∴为偶函数.
【点睛】
本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用．
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于首项和公差的方程组，求解方程组得到，进而得到的通项公式；（2）裂项相消即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为d，，
依题意，，解得．
从而的通项公式为；
(2)证明：
【点睛】
本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A． B． C． D．
2．数列满足：，则等于
A．98 B． C． D．
3．设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列{an}中,其公差d≠0,若S7=S12,现有以下四个命题:
①S19=0；②S10=S9；③若d>0，则Sn有最大值；④若d>0，则Sn有最小值.
则关于这四个命题,正确的是
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．②③.
5．在等差数列中，，，则数列的前项和中最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ）
A．160片 B．170片 C．180片 D．190片
7．已知等差数列中，若，则取最小值时的（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．27 B．33 C．36 D．45
9．等差数列中，，则=（ ）
A．240 B．220 C．360 D．-360
二、多选题
10．已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．a1=22 B．d=－2
C．当n=10或n=11时，Sn取得最大值 D．当Sn>0时，n的最大值为20
11．等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B．当时，
C． D．，
三、双空题
12．在等差数列中，，则__________，设，则数列的前项的和=__________.
13．已知数列的前项和为，则___________；________．
14．设等差数列的前项和为，已知前6项和为36，最后6项和为180，，则该数列的项数______，______．
四、填空题
15．已知点在以为直径的圆上，若，，，则______.
16．如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是如图乙所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记，，，…，的长度组成数列（，），且，则数列的前7项和为________．
17．等差数列的前三项为，则数列的通项公式_______.
五、解答题
18．已知数列满足，，数列满足，求数列的前项和.
19．已知是定义在上的函数，对任意的，都有，且.
（1）求证:（2）判断函数的奇偶性
20．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据等差数列求和公式可直接构造方程求得结果.
【详解】
设橘子最少的人所得橘子个数为，则，解得：，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是个.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
由已知数列为首项为3、公差等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求出结果.
【详解】
数列的通项公式
.
故选B.
【点睛】
本题考查等差数列的判断和通项公式，根据条件判断数列为等差数列是解题关键，属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质可知，，，从而可知最大且取得最小正值时有最大值.
【详解】
等差数列的前项和为，
由，即，
，即，，
故最大值为，
又，递减，前项中递增，
最大且取得最小正值时有最大值，即最大.
故选：B
【点睛】
本题考查了等差数列的前和公式、等差数列的性质，需熟记公式与性质，属于基础题.
4．B
【解析】
利用等差数列的性质和前项和的性质，对选项进行逐一分析即可.
【详解】
在等差数列{an}中，其公差d≠0，若S7=S12，
则：a8+a9+a10+a11+a12=0，整理得5a10=0，
所以a10=0，
对①：19a10=0.
对②：由S10=S9；整理得a10=0.
对③和④：若d>0，则有Sn，
所以Sn有最小值.
故①②④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的性质和前项和的性质，属基础题.
5．D
【解析】
根据等差数列的性质，了解数列的特点，可得结果
【详解】
因为数列是等差数列，所以，
由，所以，又，可知，
等差数列公差，即等差数列是递增数列，
且前7项均是负数，所以前项和中最小的是
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质，简单判断，属基础题.
6．B
【解析】
【分析】
由题意可知这10排大理石片数构成等差数列，由等差数列求和公式计算即可.
【详解】
因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，
所以．
故选：B．
7．C
【解析】
【分析】
是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。
【详解】
由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列前n项和，是基础题。
8．B
【解析】
【分析】
利用为等差数列可求的值.
【详解】
因为为等差数列，为其前项和，
故，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
9．C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质结合等式，可求出，利用表示，即可求得结果.
【详解】
因为数列为等差数列，所以，所以，解得：；
由等差数列性质可知：.
故选C.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解数列类题目时，需要注意给定式子中各脚标之间的数量关系，由此联系数列的基本性质.
10．BCD
【解析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项和，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．
【详解】
等差数列的前项和为，公差，
由，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即，
化为，②
由①②解得，，
则，，
由，可得或11时，取得最大值110；
由，可得，即的最大值为20．
故选：BCD
【点睛】
方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
11．AB
【解析】
【分析】
由题设关系式，应用等差数列前n项和公式有、，即可判断A、C的正误；利用等差数列通项公式与前n项和的关系即可判断B的正误；令即可否定D的结论.
【详解】
由，知：，即，故A正确.
同理可得：，故C错误.
当，有，则，易得，故B正确.
当，有，则，则不存在，使，故D错误.
故选：AB
12．
【解析】
【详解】
由题意可得,解得，
故an=3+(n 1)×2=2n+1.
∵
裂项求和可得数列{bn}的前n项和.
13． 2 2018
【解析】
【分析】
根据，得，两式相减得，再令n=3得到，再得到，与相减得到，再分n为奇数， n为偶数时，各为等差数列，再利用分组法求和，
【详解】
由，
得，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
当n为奇数时，，
数列是以为首项，-4为公差的等差数列，
当n为偶数时，，
数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以，
，
，
故答案为：(1). 2 (2). 2018
【点睛】
本题主要考查数列通项公式和前n项和间的关系和等差数列的定义及分组求和法，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
14． 18 36
【解析】
【分析】
（1）由题意，可知①，②，由①+②求出的值；
（2）由题得，利用等差数列的性质即得解.
【详解】
（1）由题意，可知①，
②，
由①+②，得，
∴．
又，
∴，∴，
（2）由题得，
．
故答案为：18；36.
15．12
【解析】
【分析】
连接、、，根据圆的圆周角性质，可得，从而得出，利用平面向量的线性运算求得，最后结合平面向量的数量积公式，即可求出结果.
【详解】
解：连接、、，如图所示，
由于为圆的直径，，，，
则，，
由于
，
即：.
故答案为：12.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算和向量数量积公式，考查转化思想和计算能力.
16．
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得出，可得出为等差数列，求出的通项公式，可求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.
【详解】
是以为直角的直角三角形，由勾股定理可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
，，所以，，
则，
因此，数列的前项和为
故答案为： ．
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．
17．
【解析】
【详解】
试题分析：由于等差数列的前三项为， 则，解得，等差数列的首项公差，通项公式.
考点：等差数列通项公式，等比中项.
18．
【解析】
【分析】
由，可得数列是等差数列，首项，公差为.得，可得，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.
【详解】
由，得：，即，
所以数列是等差数列，首项，公差为.
所以，所以.
所以 ①
所以 ②
①-②得： .
即.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、等比数列求和公式通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
19．（1）证明见解析（2）为偶函数
【解析】
【分析】
（1）令，代入已知式，即可得证；
（2）函数为偶函数，令，结合即可得证．
【详解】
（1）令，
∴，
又，∴.
（2）令，
则，
∴，即，
又的定义域为，
∴为偶函数.
【点睛】
本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用．
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于首项和公差的方程组，求解方程组得到，进而得到的通项公式；（2）裂项相消即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为d，，
依题意，，解得．
从而的通项公式为；
(2)证明：
【点睛】
本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
答案第1页，共2页
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