人教A版（2019）选修第二册第四章第一节数列的概念（Word含答案）

人教A版（2019） 选修第二册 第四章 第一节 数列的概念
一、单选题
1．已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．下列说法错误的是
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
4．无穷数列由k个不同的数组成，前n项和为，若对，则k的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的组带，下图为五角形数的前4个，现有如下说法：
①记所有的五角形数从小到大构成数列，则；
②第9个五角形数比第8个五角形数多25；
③前8个五角形数之和为288；
④记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为（且），已知，，且通过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．7 B．16 C．19 D．21
8．已知首项为的正项数列满足，若，则实数的值为
A． B． C． D．
9．已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（ ）.
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
二、多选题
10．设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t（），则（ ）
A．数列是等比数列 B．
C．数列是递增数列 D．当且仅当t<0时，数列{（n+1）}是递增数列
11．（多选）下列四个命题中，正确的有（ ）
A．数列的第项为
B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为
D．数列的通项公式为，则数列是递增数列
12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可循的.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，得到第n个图形.
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个结论，其中正确的有（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是递增数列
C．存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有
D．存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有
13．已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ）
A．22 B．24
C．26 D．28
三、双空题
15．已知数列满足，则数列是_________数列（填“递增”或“递减”），其通项公式________.
16．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（1）__________；（2）若，则__________．（用表示）
四、填空题
17．已知数列的前项和为，则______．
18．已知数列的前项和为且，则______.
19．已知数列的前项和为，，，则________.
20．数列中，已知，，，则数列的前6项和为______．
21．设数列的前项和为，且，，则__________．
22．已知下列数列：
①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
23．已知数列的前n项和．则________．
24．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）
五、解答题
25．求下列各式的值：
（1）；
（2）.
26．已知正整数数列满足：，，（）.
（1）已知，，试求、的值；
（2）若，求证：；
（3）求的取值范围.
27．已知数列中，.
（1）证明：数列是等比数列； （2）求.
28．已知等差数列中，等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，比较与的大小.
29．若数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
30．数列{an}满足a1= 1 ,an+1 +2anan+1- an =0.
（1）写出数列的前5项；
（2）由（1）写出数列{an}的一个通项公式；
（3）实数是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围.
【详解】
由题意得：，
， 是以为首项，为公比的等比数列
为递增数列 ，即
①当时，， ，即
只需即可满足
②当时，， ，即
只需即可满足
综上所述：实数的取值范围为
故选：
【点睛】
本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.
2．C
【解析】
【分析】
根据题意，由递推关系式得到，得，再得可最终得到结果.
【详解】
由，得；
由，得.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
根据数列的概念分别判断即可．
【详解】
根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；
同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；
根据数列的相关概念可知C正确；
数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选B．
【点睛】
数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．
4．B
【解析】
【分析】
对任意，依次列举的值，归纳可得的值与前面的某个值相同，则k的最大个数为4.
【详解】
只需考虑数列的前几项有多少个互不相同的数即可，
若，则，
当，则，此时的值必与前面的某个值相同；
当，则，
若，则，此时的值必与前面的某个值相同；
若，则，此时的值必与前面的某个值相同；
综上，当时，，
同理，当时，，
所以.
故选：B
5．C
【解析】
【分析】
根据图形得到，利用累加法得到，数列为等差数列，计算对比每个选项得到答案.
【详解】
根据图形知：，，故①正确；
则
.
，故②正确；
，故③正确；
，数列是首项为1公差为的等差数列，前20项和为，故④错误.
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得的值.
【详解】
，，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【解析】
根据递推关系计算即可．
【详解】
解：由已知，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查递推关系的应用，是基础题．
8．A
【解析】
整理已知关系式可得：，令，可得；利用对数法可证得为等比数列，从而可求得，进而得到，表示出后与已知条件对应，则可求得的值.
【详解】
由题意得：
令，则，两边取对数得：
又，则数列是首项为，公比为的等比数列
，即
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用递推关系式求解数列通项公式的问题，关键是能够将已知递推关系式化为的形式，从而采用对数法来求解通项公式.本题要求学生能够清晰掌握递推关系式的特征，根据递推关系式的形式确定配凑的方法.
9．C
【解析】
设，则有， ，，构建，求导分析可知导函数恒大于零，即数列，都是单调数列，分别判定，，即得单调性，数列与的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证，即可证得.
【详解】
∵，，
∴，，，
设，，，则，
令，则，∴单调递增，
将，看作是函数图象上两点，则，
∴数列，都是单调数列，
，同理，，，即，，
∴单调递增，单调递减，而数列与的单调性一致，
∴是单调递增数列，是单调递减数列，A正确；
由得，
要证，即证，即，即证，
也即要证，等价于，
显然时，，时，，故成立，
∴不等式成立．B正确；
欲证，只需证，即
即，显然成立，
故，所以，
故C选项错误；
欲证，因单调性一致则只需证，只需证
因为，若，则；
又因为，若，则，
由数学归纳法有，则成立
故D选项正确。
故选：C
【点睛】
本题考查二阶线性数列的综合问题，涉及单调数列的证明，还考查了分析法证明与数学归纳法的证明．旨在考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化与化归能力，逻辑推理能力，抽象与概括能力．属于难题.
10．ABD
【解析】
【分析】
根据与的关系求出，由等比数列的定义可判断A；由等比数列的性质可判断B；利用等比数列的通项公式可判断C；由可判断D.
【详解】
与的等差中项为常数t（），
，即，①
，②
①②可得，
即，当时，，解得，
A，是以为首项，公比为的等比数列，故A正确；
B，，则，故B正确；
C，，即，当时，数列是递减数列，故C错误；
D，令，，
当且仅当，则，即，
当且仅当t<0时，数列{（n+1）}是递增数列，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【解析】
A，由数列通项求解判断；的第出项为，B，令求解判断；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，求解判断；D判断的符号即可.
【详解】
A，数列的第出项为，A正确；
B，令，得或（舍去），B正确；
C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；
D，，则，
因此数列是递增数列，D正确，
故选：ABD．
12．BD
【解析】
【分析】
根据图形归纳可得，，可判断A，B；累加法结合等比数列的求和公式可得，可判断C，D
【详解】
由题意，得图1中线段的长度为，即；
图2中正六边形的边长为，则；
图3中的最小正六边形的边长为，则；
图4中的最小正六边形的边长为，则.由此可得，
，所以为递增数列，但不是等比数列，即A错误，B正确；
因为
，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即D正确，C错误.
故选：BD
13．ABC
【解析】
【分析】
根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.
【详解】
对于A，∵，
∴，，，，故A正确；
对于B，∵，
∴，，，，故B正确；
对于C，∵，
∴，，，，故C正确；
对于D，∵，
∴，，，，故D错误．
故选：ABC．
14．AD
【解析】
【分析】
通过计算找到数列的周期，即得解.
【详解】
解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．
故选：AD
15． 递增
【解析】
【分析】
根据题意，将变形可得，据此分析可得列是以为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，变形可得，据此分析可得答案．
【详解】
根据题意，数列满足，即，
又由，则，
则数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，
则，
则数列是递增数列；
故答案为：递增，.
【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列的通项公式，属于基础题．
16． .
【解析】
【分析】
（1）写出前项，进行求和，即可得出结论；
（2）迭代法可得，可得，将代入计算可得答案.
【详解】
（1）.
（2）
，
所以.
故答案为： ；.
【点睛】
本题以“斐波那契”数列为背景，考查数列的递推关系、前项和与通项的关系，考查方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是灵活运用递推关系.
17．
【解析】
【分析】
根据数列中项与和的关系求解．
【详解】
当时，由，得，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∴当时，．
又，不满足上式，
所以所求通项公式为．
故答案为．
【点睛】
根据数列的前项和求数列的通项公式时，可根据求出当时的通项公式，然后再验证当时是否满足上式，若满足，则将通项公式写成一个式子的形式；若不满足，则要写成分段函数的形式．
18．
【解析】
【分析】
根据公式得数列是以为公比，的等比数列，再写出的通项公式，最后利用通项公式求解即可.
【详解】
解：根据公式得
当时，，解得；
当时，，
即，所以，
所以数列是以为公比，的等比数列，
所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查等比数列与的关系，是中档题.
19．
【解析】
【分析】
利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可.
【详解】
解：由数列的前项和为，，，
可得，，
，，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.
20．20
【解析】
【分析】
由已知条件利用赋值法求出的值
【详解】
解：令，则，由，，得，
令，则，得，
令，则，得，
令，则，得，
令，则，得，
令，则，得，
所以数列的前6项和为
，
故答案为：20
【点睛】
此题考查由数列的递推式求数列的通项，属于基础题
21．
【解析】
【详解】
①，②，①②得：，又 ∴数列
首项为1，公比为的等比数列，∴．
故结果为85；
22． ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
【解析】
【分析】
利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可
【详解】
①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
故答案为：①⑥，②③④⑤，①⑤，②，⑥，③④
23．
【解析】
【分析】
根据给定的递推公式结合“当时，”计算作答.
【详解】
因，则当时，，
当时，满足上式，则有，
当时，不满足上式，则有，
显然，当时，也成立，
所以.
故答案为：
24．②③④
【解析】
【分析】
利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．
【详解】
①数集中，，故数集不具有性质；
②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；
③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，
而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a1=0；故③正确；
④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，
由A具有性质P，a5-ai∈A，又i=1时，a5-a1∈A，
∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，
则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，
从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，
即答案为②③④.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．
25．（1）-2；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接代入特殊角的三角函数值计算即可；
（2）直接代入特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】
（1）；
（2）
26．（1）；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据递推式赋值逆推，分别求出即可求出的值；
（2）根据递推式赋值求出的值，即可找出数列的规律，由此得证；
（3）依据，讨论与的大小关系即可得出．
【详解】
（1）令得，，解得；
令得，，解得；
令得，，解得；
令得，，解得；
所以．
（2）证明：令得，，因为数列各项为正整数，
2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此的值可能为3，673，2019，即
或或.
当时，，，所以不符题意，应舍去；
当时，，，所以不符题意，应舍去；
当时，，，
，，……
所以，当为奇数时，；当为偶数时，；
故，不等式成立．
（3）由（1）（2）可知，当或可以满足题意，所以
或．
．
①当时，奇数项都相等，偶数项都相等且，即有，因为数列各项为正整数，且，所以或或或
此时或；
②当时，奇数项递增，偶数项递增，而 ，随着 的增大，存在时，，这样与条件矛盾，故不成立；
③当时，奇数项递减，偶数项递减，而 ，随着 的增大，存在时，，这样与条件矛盾，故不成立；
综上，或，即．
【点睛】
本题主要考查利用递推式求数列中的项，以及归纳推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力．
27．（1）见解析；（2），.
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）依据题设条件构设数列，然后运用等比数列的定义进行分析推证；（2）借助（1）的结论直接求解出，再依据数列通项的递推关系式求出：
（1）证明：设，则，因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）的，即．
由得.
点睛：本题旨在考查等比数列的定义及通项公式的求法和运用，从而借助分段函数的形式求解数列的通项之间的递推关系的运用以及分析问题和解决问题的能力．求解本题的第（1）问时，先依据题设条件构设数列，然后运用等比数列的定义直接验证进行分析推证；解答（2）问时，则充分运用题设条件并借助（1）的结论直接求解出，再依据数列的通项的之间的递推关系式从而求出使得问题获解．
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，则，观察分析即可得出结果.
(1)
设等差数列的公差为，所以由，
得，
所以，从而，
所以，所以.
(2)
由（1）可知，所以，
当时，为正值﹐所以；
当时，为负值﹐所以；
当时，为正值﹐所以.
29．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】
（1）当时，，
当时，，，两式相减得，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，所以
，，
两式相减得
.
所以
【点睛】
本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法，属于中档题.
30．(1)见解析（2）（3）50
【解析】
【分析】
（1）依据首项和递推关系写出前5项即可.
（2）根据（1）归纳出.
（3）可令，解出即可.
【详解】
（1）由已知可得，，，，.
（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为.
（3）令，解得，故是这个数列的第项.
【点睛】
给定数列的递推关系，我们一般先看该递推关系是否为常见的递推关系（如等差数列、等比数列的递推关系等），如不是，则需要变形向常见的递推关系转化，若不能转化，可以先计算该数列的前若干项，看能否归纳出数列的通项.
答案第1页，共2页
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