人教A版（2019）选修第二册第五章第二节课时2导数的四则运算法则(word0版含解析)

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第二节 课时2 导数的四则运算法则
一、单选题
1．曲线上一点处的切线交轴于点（为原点）是以为顶点的等腰三角形，则切线的倾斜角为
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．下面说法正确的是
A．若不存在，则曲线在点处没有切线
B．若曲线在点处有切线，则必存在
C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在
3．已知函数＝，若＝，则实数a的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C．4 D．8
6．命题若，则，命题存在，使，则下列结论正确的是（ ）
A．为真命题 B．为假命题 C．p为假命题 D．q为真命题
7．已知函数，则满足的的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．函数y＝的导数是（ ）
A． B．
C． D．
二、双空题
9．我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线：，直线为曲线在点处的切线．如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为．过作的水平截面，所得截面面积______（用表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为______．
三、填空题
10．表示函数的常用方法有______、______、______.
11．已知质点P在半径为的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是，设为起始点，记点P在y轴上的射影为M，则秒时点M的速度是___________．
12．若函数，则__________
13．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．则______．
14．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.
15．已知曲线在点处的切线方程是，则的值为______．
四、解答题
16．已知.
（Ⅰ）若曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数的值；
（Ⅱ）若，求证.
17．已知，.
（Ⅰ）求在处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式对任意成立，求的最大整数解；
（Ⅲ）的两个零点为，且为的唯一极值点，求证：.
18．已知函数.
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）对任意，成立，讨论实数的取值.
19．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3).
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
对曲线求导得，设切点，则点处的切线的斜率为.
∴切线的方程为
令，得.
∵是以为顶点的等腰三角形
∴，即
∴
∴切线的斜率为
∴切线的倾斜角为
故选C.
2．C
【解析】
【详解】
的几何意义是曲线在点处切线的斜率．当切线与轴垂直时，切线斜率不存在，可知选项A，B，D不正确.
考点：导数的几何意义.
3．B
【解析】
【分析】
求出，解方程即得解.
【详解】
∵＝，
∴＝.
∵＝，∴，
解得a＝4.
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
将切点坐标代入切线方程可求得，由导数的几何意义可求得的值，即可得解.
【详解】
由题意可得，由导数的几何意义可得，
因此，.
故选：C.
5．B
【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.
【详解】
因为，
所以，
故，
解得，
又切线过点，
所以，解得，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
6．A
【解析】
先判断命题p和q的真假，再逐一判断选项中的复合命题的真假即可.
【详解】
由时，求导得，故命题p是真命题；
因为，故不存在，使，即命题q是假命题.
故选项A中，为真命题，故正确；
选项B中，是真命题，为真命题，故错误；
选项C中，p为假命题，错误；
选项D中，q为真命题，错误.
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
先判断是奇函数，且在递增，根据函数的单调性和奇偶性得到关于的不等式，进而可得结果．
【详解】
因为的定义域是，
，
故是奇函数，
又，
故在递增，
若，
等价于，
故，解得，故选D．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，属于中档题．函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现.
8．A
【解析】
【分析】
直接根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得；
【详解】
解：因为，
所以
故选：A
9．
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出直线的方程，利用两个圆的面积作差可得，将一个底面半径为，高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上，可以计算得到该圆锥与几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，再根据圆锥的体积公式可求得结果.
【详解】
由，得，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
所以.
将一个底面半径为，高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上，则过的水平截面截圆锥所得截面的半径为，截面面积为,根据祖暅原理可知，该圆锥与几何体的体积相等，
所以几何体的体积为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了祖暅原理，考查了圆锥的体积公式，属于中档题.
10． 解析法 图象法 列表法
【解析】
【分析】
根据函数的表示方法,可得解.
【详解】
由函数的表示形式,可知表示函数的方法有:解析法、图象法、列表法。
故答案为：(1). 解析法 (2). 图象法 (3). 列表法
【点睛】
本题考查了函数的表示方法,属于基础题.
11．10
【解析】
【分析】
根据匀速圆周运动的性质，结合三角函数的定义、导数的意义进行求解即可.
【详解】
设运动时间为，所以，所以M的位移为：，
M的速度为：，
因此秒时点M的速度是：，
故答案为：10
12．
【解析】
【分析】
由导数的运算公式和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由导数的运算公式和导数的四则运算法则，可得函数的导数为
.
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则的应用，其中解答中熟记导数的运算公式和导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．0
【解析】
【分析】
由，求得，由此求得.
【详解】
在图象上，，
的斜率为，
，，
所以.
所以.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由化简可得，利用可得出，结合基本不等式可求得的取值范围.
【详解】
，，
由题意可得，即，
，化简可得，即，
而，，则，
当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，
所以，，因此，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用切线斜率相等求参数的取值范围，涉及导数几何意义以及基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．11
【解析】
【分析】
根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答.
【详解】
因曲线在点处的切线方程是，则，，
所以.
故答案为：11
16．（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数进行求导，，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，进而求出切线方程，分别令和求出切线与坐标轴的交点，从而得到关于的方程，解方程即可；
（Ⅱ）令，对函数进行求导，利用导数判断其单调性和最值，只需证得其最小值不小于零即可.
【详解】
（Ⅰ）由，∴，又，
∴切线方程为，令
由题意知， ，
则，解得或；
（Ⅱ）令，
则，设的零点为，
则，即且，
因为函数为上的增函数，
所以当时，；当时，，
所以函数在上递减，上递增，
∴，
∴时，恒成立，从而恒成立，
∴总成立.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程、利用导数判断函数的单调性求最值证明不等式恒成立问题；考查运算求解能力、转化与化归能力；熟练掌握导数的几何意义和利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题.
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可以求出结果；
（Ⅱ）参变分离得到，构造函数，利用导数判断函数的单调性进而求出最值，即可得到结果；
（Ⅲ）利用导数分析函数的单调性与极值点，进而构造函数，从而可以证出结论.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以定义域为，
所以，，，
所以切线方程为；
（Ⅱ）等价于，
令，，记，，
所以为上的递增函数，且，，
所以，使得，即，
所以在上递减，在上递增，且，
所以的最大整数解为9；
（Ⅲ）证明：，
得，
当，；，；
所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，
即；
因为，，令，由，
所以，即，因此，
而要证，
只需证，即证，即证，
由，只需证，
令，则，
令，则，
故在上递增，，
故在上递增，，
所以．
【点睛】
关键点点睛：（1）第（Ⅱ）问中隐零点的问题，解题关键在于的化简要用到，即；
（2）第（Ⅲ）问的解题关键在于先求出极小值点，利用比值代换，通过分析法将要证不等式等价转换为证明关于的不等式成立.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）设出切点，利用导数建立方程组，求解方程组可得的值；
（2）构造新函数，利用导数求解最值，讨论可得实数的取值.
【详解】
（1）设直线与曲线相切于点，
因为，
则有解得，所以；
（2）令，
则，且，
因为，所以，，，
令，
（ⅰ）当时，因为，所以，即，在单调递增，当时，，不满足题意；
（ⅱ）当时，且，又，所以在单调递减，存在，使，当时，，即，当时，，即，所以在单调递减，在单调递增；在有唯一的最小值点，因为，要使恒成立，当且仅当，又，
所以，即.
综上所述，.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求解切线问题时，常常设出切点，结合切点处的导数值等于切线的斜率建立等式，恒成立问题一般转化为最值问题，利用导数求解最值即可，侧重考查数学抽象的核心素养.
19．(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用复合函数的求导法则，根据乘法公式的求导法则及基本函数的导数公式求导函数.
（2）利用复合函数的求导法则，根据乘法公式的求导法则及基本函数的导数公式求导函数.
（3）利用复合函数的求导法则及基本初等函数的导数公式求导函数.
(1)
.
(2)
.
(3)
由，
∴.
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