人教A版（2019）选修第二册第五章第二节课时3简单复合函数的导数（word版含解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第二节 课时3 简单复合函数的导数
一、单选题
1．若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数为的导函数，则
A．0 B．2014 C．2015 D．8
4．下列函数求导运算正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、双空题
7．已知，则_______，_______．
8．已知则________； _______.
9．函数的导数为______，其函数图象在点处的切线的倾斜角为______．
三、填空题
10．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则____.
11．若，则________．
12．若直线是曲线的切线，则实数____________.
13．曲线与直线相切，则______.
四、解答题
14．求曲线过点的切线的斜率．
15．已知函数，.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；
（2）当时，若，，求的取值范围.
16．已知函数，求：
（1）从0.1到0.2的平均变化率；
（2）在0.2处的瞬时变化率．
17．已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求证：.
18．求下列函数的导数：
（1）；
（2）﹔
（3）
19．已知函数，．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的最大值；
(3)当时，证明：．
20．设函数.
（1）当时,求函数在点处的切线方程；
（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】
由题意，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的运算、导数概念的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.
【详解】
，.
.
将代入，得，
，，
在处的切线斜率为，
函数在处的切线方程为，即.
故选：A.
3．D
【解析】
【分析】
先求出函数的导数，判定出导函数为偶函数；得到 ；进一步求出式子的值．
【详解】
因为，所以，
则为奇函数，且为偶函数，即，所以
；故选D．
【点睛】
本题考查函数的导数基本运算以及奇偶性的应用，属于基础题．
4．C
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则即可判断.
【详解】
解：①：，所以①错误；
②：，所以②正确；
③：，所以③正确；
④：，所以④错误；
⑤：，所以⑤正确；
所以求导运算正确的个数为3个.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
首先构造函数，利用导函数求出的解析式，即可求解不等式．
【详解】
令，则，
可设，
，
所以
解不等式，即，所以
解得，所以不等式的解集为
故选A
【点睛】
本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．
6．A
【解析】
【分析】
利用复合函数求导公式和导数加法公式求解即可.
【详解】
因为，所以.
故选：A.
7．
【解析】
利用指对数互化，直接表示，在进行的计算.
【详解】
故答案为：；
8． 2 4042
【解析】
【分析】
先令，求出，再令，可求出的值，从而可求出，对函数求导后令可求出的值
【详解】
解：令，则，
令，则，得，
所以，
由
得，
令，则，
所以，
故答案为：2，4042
9．
【解析】
【分析】
利用复合函数的求导法则先求出函数的导数，再将点的值代入求得导数的值，即可由导数的斜率算出倾斜角.
【详解】
解：令，则，．
当时，，所以函数的图象在点处的切线的斜率为1，所以倾斜角为．
故答案为：
10．
【解析】
【分析】
先求出函数的“拐点”，从而知道函数的对称中心为，得到，进而知道，即可得出答案．
【详解】
依题意得，，令，得，
函数的对称中心为，则，
，
，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查导数的计算及应用、函数的对称性、数学的转化与化归思想，属于难题．本题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
先对原等式两边求导，然后令可求出答案.
【详解】
对原等式两边求导，得，
令，得．
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和，考查求导公式的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.
12．
【解析】
【分析】
先求得曲线的导函数，由导数的几何意义及切线方程的斜率可求得切点的横坐标，再代入曲线方程即可求得切点纵坐标，将切点坐标代入切线方程即可求得的值.
【详解】
曲线，则，
直线是曲线的切线，根据导数的几何意义可知，，
所以切点的横坐标为，代入曲线方程可知纵坐标为，
即切点坐标为，
代入直线方程可得，
解得，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了导数几何意义的简单应用，由切线方程求参数，属于基础题.
13．
【解析】
先求的导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数值，求得切点坐标，代入切线方程，求得的值.
【详解】
∵，∴,切线的斜率为,
设切点P(x0,y0),
令，解得,代入函数解析表达式得,
∴切点坐标为代入切线方程中得到,解得,
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的运算和导数的几何意义，关键是掌握函数在某点处的导数的几何意义是该点处切线的斜率，切点坐标,切线的斜率为,则满足：.
14．0或．
【解析】
【分析】
根据导数定义以及几何意义得切线斜率.
【详解】
解：设过点的切线与相切于点，
则
，
当趋于0时，．
由导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线的斜率为． ①
又∵过点的切线的斜率， ②
∴由①②，得，解得或，∴或，
∴曲线过点的切线的斜率为0或．
【点睛】
本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
15．（1），，.（2）
【解析】
【详解】
（1）设它们的公共交点的横坐标为，
则 .
，则，①；
，则，②.
由②得，由①得.
将，代入得，∴，.
（2）由，得，
即在上恒成立，
令 ，
则 ，
其中在上恒成立，
∴在上单调递增，在上单调递减，
则，∴.
故的取值范围是.
16．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）代入公式直接求0.1到0.2的平均变化率即可得出结果；
（2）先求的值，再求即可得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以从0.1到0.2的平均变化率为．
（2）f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－
=＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－－5＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：
＝6x0＋3Δx．
所以在0.2处的瞬时变化率为.
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出的导函数，由，可得答案.
（2）求出的导函数，讨论出函数的单调性，得出其最小值，可证明.
【详解】
（1）解：，
当时，，
又，
所以切线方程为，即.
（2）解：在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；当时，，
从而当时，取得最小值.
由，得，，
故.
【点睛】
本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由在区间上单调递增，得出在区间上有唯一实根，从而得出的单调区，即，属于中档题.
18．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
利用求导公式和法则直接求解即可
【详解】
（1）由，得
，
（2）由，得
，
（3）由，得
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义直接求切线方程；
（2）根据导数判断函数的单调性，进而可得最大值；
（3）若证，需证，分别计算函数与的最值.
(1)
由，
得，所以曲线在处的切线方程：；
(2)
由，可知：
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值是；
(3)
由（1）知，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由（2）知，时，取得最大值，
故，
取最小值时与取最大值时值不同，故．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．(1) ；(2) .
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把代入函数解析式，求导后得到函数在点处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，求出函数的导函数，导函数在处，的导数为零，然后由导函数的导函数在上大于零求得的范围，就是满足函数恒成立的实数的取值范围.
试题解析：（1）当时,
由，则
函数在点处的切线方程 为
即
(2)
易知，，则
当即时，由得恒成立，
在上单调递增， 符合题意．所以
当时，由得恒成立，在上单调递减，
显然不成立，舍去．
当时，由，得即
则
因为，所以．时，恒成立，
在上单调递减，显然不成立，舍去．
综上可得:
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页