人教A版（2019）选修第二册第五章第三节课时1函数的单调性（word版含解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第三节 课时1函数的单调性
一、单选题
1．已知为的导函数，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．定义域为的函数的图象的两个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量.若不等式恒成立，则称函数在上为“函数”.已知函数在上为“函数”，则实数的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为
A． B． C． D．
4．已知偶函数的定义域为，且当时，则曲线在点处的切线斜率为
A． B． C． D．
5．已知定义域为R的函数f（x）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（0） B．f（0）＜f（c）＜f（d）
C．f（b）＜f（0）＜f（c） D．f（c）＜f（d）＜f（e）
6．已知函数的图象如下图，则其导函数的图象为（）
A． B． C． D．
7．若函数，则的导函数（ ）
A． B． C． D．
8．函数，的单调增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
9．已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
10．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
11．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
12．若在是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．函数的部分图象可能是
A． B．
C． D．
14．定义在上的函数满足，，则对任意的， 都有是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
16．下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
17．已知定义在上的函数满足：①对任意，；②当时，，且．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是奇函数；
C．函数在上是增函数
D．函数在区间上的最大值为2
三、双空题
18．规定，其中，，且，这是排列数（，且）的一种推广.则_______，则函数的单调减区间为_______.
四、填空题
19．给出下列四个结论：①“若,则”的逆命题为真； ②若为的极值，则； ③函数有3个零点；④对于任意实数，有且时,,，则时,.其中正确结论的序号是 .
20．已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________.
21．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是___________.
五、解答题
22．设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
23．已知函数，为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数的最小值为，求取最大值时实数的值；
（3）在（2）的条件下，证明：（其中.
24．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．
25．已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：函数有两个零点；
（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明（为自然对数的底数）.
26．已知函数，.
（1）当，且时.
①试求函数的单调区间；
②证明：.
（2）当时，若是上的单调函数，求的最小值.
27．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
28．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．
（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；
（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据题意令，求导得，结合题意得函数为的增函数，再根据函数单调性比较大小即可得答案.
【详解】
解：设函数，则，
由于，所以，
所以，即函数为的增函数，
所以，化简得，故C错误，D正确；
，化简得，故A,B错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数研究抽象函数的单调性，利用单调性比较大小，是中档题.
2．D
【解析】
【详解】
由题意，M、N横坐标相等，||≤k恒成立，即k恒大于等于||，
则k≥||的最大值，所以本题即求||的最大值．
由N在AB线段上，得A（0，﹣5），B（3，1），
AB方程y＝2x﹣5，
由图象可知，MN＝y1﹣y2＝x3﹣6x2+11x﹣5﹣（2x﹣5）＝x3﹣6x2+9x，x∈[0，3]，
设f（x）＝x3﹣6x2+9x，f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），x∈[0，3]，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0，得1＜x＜3，
∴f（x）在[0，3]上的最大值为f（1）＝4．
∴||的最大值为4．
∴实数k的最小值是4．
故选：D．
点睛：本题的难点在于信息量大，条件比较复杂，属于定义题.解决这种问题，首先是要理解题目，把题目条件逐一化简，再分析思路.本题实际上解答并不复杂.
3．C
【解析】
【分析】
函数的单调性确定的符号，即可求解，得到答案．
【详解】
由函数的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当时，函数单调递增，
所以导数的符号是正，负，正，正，只有选项C符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由的图象看函数的单调性，得出导函数的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．C
【解析】
根据偶函数的对称性可知，根据解析式求得，进而得到所求结果.
【详解】
由题意得，偶函数的图象关于轴对称
当时， ，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查函数奇偶性和对称性、导数的几何意义的应用，关键是能够通过函数的对称性得到导数值之间的关系.
5．D
【解析】
根据导数图判断函数的单调性，即可判断函数值的大小关系.
【详解】
由的导函数图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，所以，A错误；，B，C错误；，D正确.
故选：D
6．A
【解析】
根据原函数的图象判断出函数的单调性，由此确定导函数的符号，从而确定正确选项.
【详解】
由原函数的图象可知，在区间上递减，；在区间上递增，.故A选项符合.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查单调性和导数，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
由基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算即可得出选项.
【详解】
解:
故选:D
【点睛】
本题主要考查基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算，需熟记公式与运算法则，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
先求出函数的导数，然后令导数大于零，利用导数求函数的单调增区间即可.
【详解】
∵，
∴，
令且，
当时，，解得，
当时，，解得或，
所以函数的单调增区间是和.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数研究三角函数的单调性，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
9．B
【解析】
【分析】
根据的单调区间，得到导函数的零点，结合根与系数关系，求得的值.
【详解】
依题意，由于函数的单调递减区间是，
所以，是的两个零点，所以，
所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
10．C
【解析】
求出导函数，然后由确定减区间．
【详解】
函数定义域是，
由已知，
当时，，时，，所以减区间是．
故选：C．
11．A
【解析】
【分析】
设出切线方程，根据切线与二次函数相切求出k，然后设出切线与函数图像的切点，进而对函数求导，最后将切点代入原函数，切点横坐标代入导函数得到方程组，解出答案即可.
【详解】
设切线方程为，与联立，得，所以，解得，所以切线方程为．设与的图像相切于点，，则解得．
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
由题意可得对恒成立，分离转化为最值问题即可求解.
【详解】
由题意可得对于恒成立，
即对于恒成立，
因为在单调递增，所以，即，
所以，的取值范围是，
故选：B.
13．A
【解析】
由函数的奇偶性可排除B、C,再利用特殊值排除D
【详解】
由,,
因为,所以为奇函数,图象关于原点对称,
故排除B、C,
又由,排除D,
故选:A
【点睛】
本题考查函数的图像,考查函数的奇偶性的图像性质,考查特殊值法处理选择题
14．C
【解析】
【详解】
试题分析：由题意定义在上的函数满足，即函数的图象关于直线对称又因，故函数在上是增函数．再由对称性可得，函数在上是减函数．
由对任意的，都有，故和在区间上，可知．
反之，若 ，则有，故1离对称轴较远，离对称轴较近，由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x1）＞f（x2）．综上可得，“对任意的， 都有”是“”的充要条件，
考点：充要条件
【思路点睛】本题考查充要条件的判断，属中档题．证明时既要证明充分性，还要证明必要性，
阶梯时根据已知中可得函数的图象关于直线对称，由可得函数在上是增函数，在上是减函数，结合函数的图象和性质和充要条件的定义，可判断和的充要关系，得到答案．
15．A
【解析】
【分析】
设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时间t的函数关系式即可判断得解.
【详解】
设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点，水面半径，此时水面高度，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，
令水匀速注入的速度为，则注水时间为t时的水的体积为，
于是得，
而都是常数，即是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是，，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
16．ACD
【解析】
【分析】
先构造函数，则，根据导数的方法判定其单调性，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
构造函数，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以当时，取得最大值.
A选项，，
由可得，故A正确；
B选项，，由，
可得，故B错误；
由可推导出，
即，即，则，显然成立，故C正确；
D选项，，
由的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查由函数单调性比较大小，考查导数的方法判定函数单调性，属于常考题型.
17．ACD
【解析】
先求 的值，令，推出，．结合函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性；利用函数单调性的定义，直接判断函数在上的单调性；通过奇偶性，单调性，直接求函数在区间上的最大值；
【详解】
令 ，则，得；
再令，则，得．A正确；
对于条件，令，
则，所以．
又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，B错；
任取，且，则有．
又∵当时，，
∴
而，
所以函数在上是增函数，C正确；
∵，又，
∴．
又知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，
∴函数在区间上的最大值为，D正确．
故选：ACD
【点睛】
思路点晴：通过赋值求得，用奇偶性定义和单调定义判断其奇偶与单调性，再结合性质求得最值.
18．
【解析】
【分析】
利用定义即可得出，函数，利用导数研究其单调性，即可求得答案.
【详解】
则
令，即：
解得：
函数的单调减区间为：
故答案为：，
【点睛】
本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法，及其根据导数求函数单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．②④
【解析】
【分析】
利用逆命题的形式写出逆命题,给取0,判断出①的对错;②由极值的定义可知②正确;③由单位圆知,故只有一个交点；④由奇函数的增减性一致,偶函数的增减性相反,可判断.
【详解】
①命题“若,则”的逆命题为:若,则为假命题,可知①错;
②由极值的定义可知②正确;
③由单位圆知,故只有一个交点,故③错.
④由奇函数对称区间上的单调性一致,偶函数对称区间上的单调性相反,知时,.故④正确.
故答案为②④
【点睛】
本题考查四种命题的形式、考查命题的否定、考查正弦函数的图象,考查奇偶函数的对称区间上的单调性性质的应用,属于综合题.
20．
【解析】
【分析】
将问题转化为对恒成立，令，，求的值域，进而可得的取值范围.
【详解】
因为，所以，，
依题意，对恒成立.
令，. 则，
所以在上单调递增，故，即，
故，即.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：
（1）一般地，若函数在上是增函数，则对，恒成立；
（2）一般地，若函数在上是减函数，则对，恒成立.
21．
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可得分母不为0，然后列出不等式，又不等式等价于函数 和的图象没有交点，结合图象和切线方程可求出的取值范围．
【详解】
∵函数 的定义域为，
∴，即．
令，则两函数的图象没有公共点．
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如下图所示．
由得，
∴与直线平行且与函数的图象相切的直线的斜率为，
∴，此时，
∴切点坐标为(0,1)，故在点(0,1)处的切线方程为．
结合图象可得，要使两个函数图象没有公共点，则需满足，解得．
∴实数的取值范围是．
故答案为
【点睛】
解答本题的关键是将函数解析式中分母不为零的问题转化为两函数的图象没有公共点的问题求解，然后借助曲线的切线这一临界位置求解，考查转化思想和数形结合思想在解题中的应用，属于基础题．
22．（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；
（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【考点】导数的应用；运算求解能力
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
23．（1）递减区间为，单调递增区间为；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）在定义域内解不等式可得函数的单调增区间、减区间;
（2）由（1）易求最小值，利用导数可求得的最大值及相应的值;
（3）由（2）知，当时，对任意实数均有 即 即
令 则 从而可得
，利用该不等式进行适当放缩可得结论.
【详解】
（1）由题意，，
由，得.
当时，；当时，.
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，取得极小值，也为最小值，
其最小值为.
由，得.
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在处取得最大值，而.
因此取得最大值时，
（3）证明：由（2）知，当时，对任意实数均有，即，即.
令，，1，2，3，，，则，
，
【点睛】
对于数列型的不等式的证明问题，需要给函数不等式合理赋值，得到一个简单数列不等式，然后通过累加累乘等方法得出答案.
24．（1）极大值0，无极小值；（2）.
【解析】
（1）求，令，研究函数的单调性，从而求出的极值；
（2）由，利用参数分离法把问题转化为，从而转化为求函数的最大值，进而解不等式求出参数的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
当时，，，
当，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故当时，取极大值，无极小值．
（2），由可得
则原问题等价于在上恒成立，
令，求导得
令，求导得
在是减函数，，
据此可得成立，
在是减函数，，
，即,
参数的取值范围是
【点睛】
（1）求函数的极值一般步骤：（1）求；（2）令，求出其极值点；（3）利用导数的正负，判断函数的单调性；（4）求出的极值．
（2）求参数范围问题的常用方法：参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.
25．（Ⅰ）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知函数在上单调递减，在上单调递增，求得函数的最小值，记，利用导数求得函数的单调性与最值，利用零点的存在定理，即可求解；
（Ⅲ）求得，得到，把欲证转化为证，进而得到，设，等价于，令，利用导数求得函数的单调性，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，
由，可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.取，
记，所以在上单调递减. .所以当，
，所以函数在上存在一个零点.当时，，，所以函数在上存在一个零点.所以，当时，函数有两个零点.
（Ⅲ）依题意得，，则，
因为有两个极值点，所以，
欲证等价于证，即，所以，
因为，所以原不等式等价于①，
由可得，则②，
由①②可知，原不等式等价于，即，
设，则上式等价于时，，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增，
所以当时，，即，
所以原不等式成立，即.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于不等式的证明问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
26．（1）①的单调增区间是，单调减区间是；②证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）①首先当，时，求函数的导数，化简为，求函数的零点，并判断和的解集，判断函数的单调区间；②由①知时，在处取得最大值，转化为证明成立，通过换元，转化为证明成立；（2）首先求导数，当时，，在有零点，证明不满足条件，当时，则对恒成立，转化为，即，求的最小值.
【详解】
（1）解：①当，且时，.
因为的定义域为，，
又，则当时，，
当时，，
故函数，的单调增区间是，单调减区间是.
②证明：由①知时，在处取得最大值，
最大值为.
所以，
即.
令，因为，所以，则只要证.
令，，则，
则当时，，当时，.
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故成立，即.
因此，时，.
（2）解：，
因为在上单调，所以或恒成立.
当时，设，
则，所以有两个相异的根，，且.
不妨设，
则当时，，即，
所以在上单调递增；
当时，，即，
所以在上单调递减.
所以不合题意.
当时，则对恒成立.
即在恒成立，
设，只需.
因为，当且仅当时取等号.
所以，即.
所以，
当且仅当，时取等号.
当，时，且不恒为0，
此时在内单调递增.
所以的最小值为.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
27．（1）见解析（2）见解析.
【解析】
（1）求导得到导函数后，分别在和两种情况下，讨论导函数的正负，由此得到原函数的单调性；
（2）根据（1）中结论，可知，由此可将不等式转化为，即证，令，构造函数，利用导数可求得单调性，得到，进而证得结论.
【详解】
（1）由题意得：定义域为
当时，在上恒成立 在上单调递增
当时，若，，则单调递增；
若，，则单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，上单调递减
要证
只要证，，即证：
令，即证：在上成立
令，即证：
当时，；当时，
在上单调递增，在上单调递减
即当时，
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、利用导数证明不等关系的问题；本题中不等关系证明的关键是能够根据函数的单调性将问题转化为函数最值的求解问题，通过函数最值来确定不等关系成立.
28．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
【详解】
分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值， 令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得 ，而 ，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.
解：（1），，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时， ，在上单调递增；
，在上单调递减，
函数有极大值，无极小值．
（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；
当a＞0时，函数有极大值，
令（x＞0）， ，
，，在(0，1)上单调递减；
，，在(1，＋∞)上单调递增，
函数有最小值．
要使若函数有两个零点时，必须满足，
下面证明时，函数有两个零点．
因为，
所以下面证明还有另一个零点．
①当时，，
，
令()，，
在上单调递减，，则，
所以在上有零点，又在上单调递减，
所以在上有惟一零点，从而有两个零点．
②当时，，
，
易证，可得，
所以在上有零点，又在上单调递减，
所以在上有惟一零点，从而有两个零点．
综上，的范围是．
（3）证明：，
，
又，，
不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，
则．
令（），
则，
因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.
又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，
所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．
点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页