人教A版（2019）选修第二册第五章第三节课时2函数的极值与最大（小）值（word版含解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第三节 课时2函数的极值与最大（小）值
一、单选题
1．已知函数，其中，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）
A． B．或2 C．2 D．
3．已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
5．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数有三个不同零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在处有极小值，则常数的值为
A． B．2或8 C．2 D．8
9．若存在(x,y)满足，且使得等式3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是
A．(－∞,0)∪[，+∞) B．[，+∞) C．(－∞,0) D．(0,]
10．定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为
A． B． C． D．
11．函数，若存在，对任意，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．若，函数有两个极值点，则的取值范围为
A． B． C． D．
13．已知直线与曲线和分别交于两点，点的坐标为，则面积的最小值为
A． B． C． D．
二、多选题
14．设函数，若对任意，，，都可以作为一个三角形的三边长，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数，则（ ）
A．在定义域内单调性不变 B．在定义域内有零点
C．的导数在定义域内单调性不变 D．为奇函数
16．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（ ）
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
17．下列函数不存在极值的是（ ）
A． B．
C． D．
18．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在处取得极大值
D．在处取得极小值
三、填空题
20．函数f(x)＝ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x＝﹣1与x＝x0处取得极值，给出下列4个结论：
①a＞0；
②c＞0；
③f（﹣1）+f（1）＜0；
④函数f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，
其中，正确结论的序号是_____.
21．已知命题：，；命题：，，若为真命题，则实数的取值范围是_______________；
22．已知函数在内存在极小值，则实数的取值范围为________.
23．已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为________.
24．已知函数的极大值为5，则实数___________.
25．已知函数在处有极值，其图像在处的切线平行于直线，则的极大值与极小值之差为_________．
四、解答题
26．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
27．已知函数，
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，求曲线与 的交点个数.
28．已知函数是上的奇函数(为常数)，，.
（1）求实数的值；
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若不等式成立，求证实数的取值范围.
29．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值.
30．已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
31．已知函数，且在处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设，若对任意的，,求实数的取值范围．
32．已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设的极小值为，当时，求证：.
33．设函数，（）
(1)求的最大值和对称中心；
(2)为的导函数，若，求的值.
34．已知函数，在处的切线斜率为．
（1）求的值；
（2）已知，，令，求的单调区间．
35．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意都有，求实数a的取值范围.
36．已知函数．
(1)若函数在点处的切线的斜率为，求此时函数的单调递增区间；
(2)若函数有两个极值点，，证明：．
37．设函数．
（1）求函数的最大值；
（2）对于任意，且，若恒为负数，求实数m的取值范围．
38．已知函数.
（1）若恒成立，求m的最大值；
（2）设a为整数，且对于任意正整数n，，求a的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
的定义域上单调递增，即对于定义域中的都成立，再利用参变分离和恒成立思想，将问题转化为求函数的最大值．
【详解】
解：因为，定义域为
且，
依题意可得，，即，，
令，则有根：，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
，即
故选：C
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于中档题.
2．A
【解析】
【分析】
求导，根据题意得到，代入数据解得答案，再验证排除即可.
【详解】
，则，
根据题意：，解得或，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故处取得极小值，舍去；
当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，故处取得极大值，满足.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.
3．D
【解析】
【分析】
先将所求问题转化为求上任意一点到抛物线焦点F的距离的最小，再利用导数求最值即可得到答案.
【详解】
如图，设抛物线的焦点为F，则，由抛物线的定义知，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
设，则，令，
则，由复合函数单调性知，在R上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以
，所以的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查抛物线中的最值问题，涉及到抛物线的定义，两点间的距离公式，导数求函数的最值，是一道较为综合的题目，属于有一定难度的题.
4．C
【解析】
对函数求导，转化条件为有解，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】
由题意，，
因为函数有最小值，且，
所以函数存在单调递减区间，即有解，
所以有两个不等实根，
所以函数的零点个数为2.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
由题意可知，当时，，；当时，，.由，得
.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】
当时，，；
当时，，，
综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
令.
.
令，
，令.
时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.
故选：.
【点睛】
本题考查函数与方程，考查导数在研究函数中的应用，属于难题.
6．C
【解析】
【分析】
已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可.
【详解】
由函数有三个不同零点，
则函数有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0，
由，
解得：，，
所以时，时，时，，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
可得的极小值，的极大值，
所以，解得： ，
故的取值范围为：.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的零点的个数，利用导数研究函数的极值，解答本题的关键是弄清楚函数的导数与函数的极值的关系，属于中档题.
7．A
【解析】
【分析】
，由函数在区间上有极值在区间上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出．
【详解】
解：，
由函数在区间上有极值，
在区间上存在零点．
，
可得，解得．
实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】
本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．D
【解析】
【详解】
∵函数f（x）=x（x﹣c）2，
∴f′（x）=3x2﹣4cx+c2，
又f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极值，
∴f′（2）=12﹣8c+c2=0，
解得c=2或6，
又由函数在x=2处有极小值，故c=2，
c=6时，函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，
点睛：根据函数在x=2处有极小值，得到f′（2）=0，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可．需要注意： 是 是函数的极值点的充分不必要条件．
9．B
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，把化为 设，求出 的取值范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数的取值范围．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图所示；
可化为，
设，其中 ；∴
令
则
当时
当时，
解得 或 ；又值不可能为负值，
∴实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】
本题考查了线性规划以及函数与不等式的综合应用问题，是难题．
10．A
【解析】
【详解】
分析：设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集．
详解：设，
则，
又由，则，所以，
所以函数为单调递增函数，
又由，所以，
由不等式，即，即，
所以不等式的解集为，故选A．
点睛：本题主要考查了导数的应用和不等式的求解，其中解答中根据所求不等式，构造新函数，利用导数得到函数的单调性，利用单调性求解不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
11．A
【解析】
【分析】
根据给定条件可得在上有最大值，再利用导数探求函数在上的最大值，然后结合图象分类讨论即可得解.
【详解】
由题意知，在上有最大值，
由得：，于是得当时，在 上单调递增，
时，在 上单调递减，因此，在上有最大值且，此时，
当时，如上左图，，在上存在，使得，而在时，，因此，在上无最大值，不合题意，
当时，如上右图，，当时，，在时，，且能取到，因此，在上有最大值，
所以的取值范围是．
故选：A
【点睛】
思路点睛：含参数的分段函数问题，参数值影响式子变形或图形绘制时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面考虑．
12．A
【解析】
【详解】
因为为两根，
因此，
从而令，解得，故当时，；当时，；因此的取值范围为，选A.
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.
13．C
【解析】
【分析】
求出S△ABC 2 |BC|＝et+t2﹣t+2，令f（t）＝et+t2﹣t+2，t∈R，求出函数的导数，根据函数的单调性求出三角形面积的最小值即可．
【详解】
由已知得B（t，et），C（t，﹣t2+t﹣2），
则|BC|＝et+t2﹣t+2，
故S△ABC 2 |BC|＝et+t2﹣t+2，
令f（t）＝et+t2﹣t+2，t∈R，
f′（t）＝et+2t﹣1，
f′（t）在R递增，又f′（0）＝0，
故t＞0时，f′（t）＞0，t＜0时，f′（t）＜0，
故f（t）在（﹣∞，0）递减，在区间（0，+∞）递增，
故f（t）min＝e0+0﹣0+2＝3，
故S△ABC的最小值是3，
故选C．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
14．BD
【解析】
【分析】
设函数，利用导数求出函数在上的值域，然后根据的正负性，结合三角形两边之和大于第三边进行分类求解即可.
【详解】
解：设函数，，则，可得函数在，上单调递增，在上单调递减.
又，，，，可得函数的值域为.
根据，，都可以作为一个三角形的三边长，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
综上可得：.
故选：BD.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是构造，利用导数求出函数在上的值域.
15．AC
【解析】
【分析】
利用导数可判断AC的正误，求出函数的零点可判断B的正误，利用反例可判断D的正误.
【详解】
，其中，
令，则，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故时，，时，，
故时，，
所以在，上均为增函数，故A正确，
设，，
令，则，
当时，，故在，上均为增函数，
故当时，；当时，，
故当时，；当时，，
故在，上均为增函数，故C正确.
令，故（舍），故B错误.
，故，故不是奇函数，故D错误.
故选：AC.
16．BCD
【解析】
【分析】
由导函数图像得导函数的符号，确定原函数的单调性，再依次判断.
【详解】
设的根为，且，则
由图可知，函数在内单调增，在内单调减，在内单调增，在
内单调减；
函数在区间内有极小值，当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错，B正确；
函数在区间内有极大值、，所以C正确；
当，，时，函数在内没有零点，所以D正确.
故选：BCD.
17．ACD
【解析】
【分析】
逐项求出函数的导数，判断导函数有无零点，可判断ACD，有零点时分析零点两侧导数的正负即可判断B.
【详解】
选项A，，则，不存在极值点；
选项B，，则，令，可得，当时，，当时，，则为函数的极值点；
选项C，，，不存在极值点；
选项D，,，是单调函数，不存在极值．
故选：ACD
18．BCD
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
【详解】
解：，A错误，
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】
本题考查基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用，属于基础题.
19．AD
【解析】
【分析】
由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案.
【详解】
由的图象可知：
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值.
所以根据选项可得，选项AD正确.
故选：AD
20．①
【解析】
【分析】
根据函数f(x)的图象趋势可判断①④；根据极值点为导函数零点，可判断b，c符号，即可判断②③.
【详解】
根据函数f(x)的图象可得函数f(x)在区间（0，x0）上是减函数，所以④错误；当时，即①正确；
，故②错误；
③错误；
故答案为：①
【点睛】
本题考查函数图象、函数极值应用，考查基本分析判断能力，属基础题.
21．
【解析】
【分析】
若为真命题则可解出m的取值范围，若为真命题，则在上有解，利用导数求出函数的值域即可求得m的范围，两取值范围的交集即为所求.
【详解】
若，，则，解得；
若，，得在上有解，设，
则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以当时，，，所以.
若为真命题，则.
故答案为：
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、利用导数研究方程有解问题，属于中档题.
22．
【解析】
【分析】
求导得到，令，对二次项系数进行分类讨论即可求出结果.
【详解】
由题意可知（），
令，注意到，
要使在内存在极小值，
若，则，所以在处取得极小值，符合题意；
若，则开口向上，且对称轴，所以只需满足，即；
若，则开口向下，且对称轴，所以只需满足，解得，
综上：的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
23．
【解析】
由函数解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值.
【详解】
函数，，
且不等式有解，
所以，即有解，
只需，
令，，
则，设
则，
即在内单调递增，
而，
，
所以存在使得，
而当时单调递减，当时单调递增，
所以在处取得极小值，即为最小值.
此时，
，
设，
恒成立，
单调递增，
，即，
又因为，即
而，所以整数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题.
24．1
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，然后求出函数的单调区间，根据函数的极值定义即可求得函数的极大值，从而即可得出答案.
【详解】
解：由，则，
当时，，当或时，，
所以函数在上递增，在和上递减，
所以当时，函数取得极大值，为，
所以.
故答案为：1.
25．
【解析】
【详解】
，因为在处有极值，所以，由图像在处的切线平行于直线知，联立得解得，，所以，所以极大值为，极小值为，则的极大值与极小值之差为．
考点：导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究函数的单调性．
26．（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间.
（2）求导单调递增，化简为，设
，求函数的最大值得到答案.
【详解】
（1）函数的值域.，令得，
，随的变化情况如下表：
- +
故的单调减区间为，单调增区间为
（2）.∵函数在区间上为增函数，
∴当时，，即在上恒成立．
∴.
令，∴，
当时，，∴，∴，
即实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查了函数的单调区间，根据单调性求参数，化简得到是解题的关键.
27．（1），的增区间为，，减区间为
　 （2）1个
【解析】
【分析】
（1）先求出，利用可求，再讨论导数的符号可得单调区间.
（2）两个函数的图像的交点个数等价于方程解的个数，令，利用导数讨论其单调性后再讨论极值的符号及的符号可得方程的解的个数即图像交点的个数.
【详解】
（1），因为在处取得极值，
所以有两个不同的解，所以，故，
又，故，所以，
此时，
当或时，，所以在，上为增函数，
当时，，所以在上为减函数.
综上，，的增区间为，，减区间为.
（2）考虑方程在上的解的个数，
又方程可以化为，
令，则，
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
又，，故
所以在 上有且只有一个实数根，在上没有实数根，
所以在上有且只有一个实数根，所以两个图像的交点的个数有且只有一个交点.
【点睛】
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．两个函数图像的交点个数问题可以转化为新函数的零点个数问题，
后者应利用函数的单调性和零点存在定理来判断.
28．（1）.（2）.（3）
【解析】
【分析】
因为函数是R上的奇函数，令可求a；
对任意，总存在，使得成立，故只需满足值域是的值域的子集；
由不等式得，，构造利用单调性可求解正实数t的取值范围．
【详解】
（1）因为为上的奇函数，
所以，即，解得得，
当时，由得为奇函数，
所以.
（2）因为，且在上是减函数，在上为增函数
所以在上的取值集合为.
由，
得是减函数，
所以在上是减函数，
所以在上的取值集合为.
由“任意，总存在，使得成立”
在上的取值集合是在上的取值集合的子集，
即.
则有，且，解得：.
即实数的取值范围是.
（3）记，则，
所以是减函数，
不等式等价于
，即，
因为是减函数，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数最值的求法，通过子集的关系求参数的范围，构造函数求参数范围，属于难题．
29．（1）；
（2）在处取得极大值，在处取得极小值.
【解析】
【分析】
（1）求导，得到切线的斜率，写出切线的方程即可；
（2）通过导函数分析函数单调性，得到极大值、极小值.
【详解】
（1）
因此切线方程为：.
（2）
令
令或,因此在单调递增；
令,因此在单调递减.
因此：在处取得极大值，在处取得极小值.
【点睛】
本题考查了导数在切线，函数的单调性中的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
30．（I）；（II）.
【解析】
【详解】
试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围.
试题解析：．
（Ⅰ）由题意得，解得．
（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
∴即
∴
∴a的取值范围是
考点：导数的几何意义.
31．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义，结合切线的方程，可以得到两个方程，解方程组即可求出的值；
（2）对任意的，,等价于在上的最小值不小于的最大值，利用导数进行分类求解即可.
【详解】
（1），在处的切线方程为，所以有：；
（2）由（1）可知：
显然当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故函数在上的最小值为：.
.
当时，函数的最大值为：，于是由可得：，而，所以；
当时，函数的最大值为：，于是由
可得：c无解；
当时，
若时，即时，，于是由
可得：，因此；
若时，即时，函数的最大值为：
，于是由可得：
，综上所述：实数的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
32．（Ⅰ）的单调递增区间为和，无单调递减区间；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对求导可得，设，对求导，判断的符号，进而可得的单调性；（Ⅱ）对进行求导，可得的极小值，对求导，易证，在将等价转化为，令，对其求导求其最值即可.
【详解】
（Ⅰ）因为（且），所以.
设，则.
当时，，是增函数，，所以.
故在上为增函数；
当时，，是减函数，，所以，所以在上为增函数.
故的单调递增区间为和，无单调递减区间.
（Ⅱ）由已知可得，则.令，得，.
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以的极小值.
由，得.
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
所以.
而 .
下证：时，.
.
令，则.
当时，，为减函数；
当时，，为增函数.
所以，即.
所以，即.所以.
综上所述，要证的不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了导数与单调性的关系，导数在证明不等式中的应用，解题的关键在于构造函数，属于难题.
33．(1)最大值2，对称中心为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式可求，利用正弦函数的性质可求最大值和对称中心．
（2）利用二倍角的正弦和弦切互化法可求三角函数式的值．
(1)
，
，此时即，时，有最大值2.
令，则，
故对称中心为，.
(2)
，
由得，所以，
.
34．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得出，从而可求得实数的值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【详解】
（1）因为，则，则，解得；
（2）由题意，，其中，
所以，其中.
①当时，，
所以当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减；
②当时，令，解得，，
（i）若，即，
则当时，此时，即函数的单调递增区间为、，
当时，此时，即函数单调递减区间为；
（ii）当即时，此时，且不恒为零，函数在单调递增；
（iii）当时，即当时，则当时，此时，
即函数单调递增递增区间为、，
当时，此时，即函数单调递减区间为.
综上，当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为、；
当时，函数无递减区间，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为、．
35．(1)单调递增区间单调递减区间
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）用分离参数法转化为求函数的最大值．引入新函数，求出导函数，对的一部分探究其零点，得函数的最大值点，从而得最大值．
(1)
函数定义域是，
由已知，
时，，时，，
所以单调递增区间，单调递减区间；
(2)
因为对任意都有，即恒成立.
令，则.
令，则在上单调递增，因为，
所以存在使得，
当时单调递增，
当时单调递减.
所以 ，
由于，可得.则，
所以，
又恒成立，所以.
综上所述实数a的取值范围为.
36．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，由函数在点处的切线的斜率为，即，从而可求得，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；
（2）根据函数有两个极值点，，可得方程在上有两个不同的根，从而可求得的范围，及，要证，，只需证明，即即可，构造函数，证明即可.
(1)
解：，
因为函数在点处的切线的斜率为，
所以，即，解得，
故，
所以函数在上递减，无递增区间；
(2)
证明：，
因为函数有两个极值点，，
则方程在上有两个不同的根，
即函数在上有两个不同的零点，
所以，解得，
在方程中，
，
则
，
要证，，
只需证明，即即可，
令，
则，
因为函数在上都是增函数，
则函数在上是增函数，
又，
所以在上有唯一根，则，
则当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
令，则，
所以函数在上递增，则，即，
所以，
即对恒成立，
所以.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义和利用导数求函数的单调区间，还考查了导数的极值点，考查了证明不等式成立问题，考查了数学运算能力、数据分析能力及逻辑推理了，考查了转化思想，难度较大.
37．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得解析式，求导，令，解得，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，即可得答案.
（2）所求等价于对任意恒成立，设，根据单调递减，可得恒成立，设，利用导数求得的单调性和极值，即可得答案.
【详解】
解：（1），．
令，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在单调递减，
.
（2）由题意得．对于任意，且恒成立，
等价于对任意恒成立.
设，
则当时，，即在单调递减，
则对恒成立.
恒成立，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，
∴实数m的取值范围是．
【点睛】
对于恒成立问题，若，则即可；若，则即可，
对于存在性问题，若，则即可，若，则即可.
38．（1）1；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，判断函数的单调性，最后求出最小值，由题意可得m的最大值；
（2）由(1)可得时，，令对此进行放缩，最后利用裂项相消法求出的最小值.
【详解】
（1），
当，，为减函数；当，，为增函数，
所以在处取得最小值，且，
因为恒成立，所以，即 所以m的最大值为1.
（2）由（1）知当时，，
令，则有，
即有，
即有，
即， 对任意恒成立，
又，所以整数a的最小值为3.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性并求最小值问题，考查了通过放缩法求不等式恒成立时参数的取值问题.
答案第1页，共2页
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