人教A版（2019）选修第二册第五章第三节课时3导数在实际问题中的应用（word版含解析）

人教A版（2019） 选修第二册 第五章 第三节 课时3 导数在实际问题中的应用
一、单选题
1．根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量(单位：件)与销售价格(单位：元/件)满足关系式，其中.已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为（ ）
A．8600元 B．8060元 C．6870元 D．4060元
二、双空题
2．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.
三、填空题
3．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____．
四、解答题
4．如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．
（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．
5．设函数的图象与轴的交点为点，且曲线在点处的切线方程为，函数在处取得极值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
6．在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（）台报警系统装置的收益函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元）
（1）求生产x台报警系统装置的利润函数及；（提示：利润是收益与成本之差）
（2）利润函数及是否具有最大值？最大值是多少？取得最大值时的实际意义是什么？
7．如图所示，是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形 ，设梯形的面积为 .
（1）设，将 表示成的函数关系式并写出其定义域；
（2）求梯形面积 的最大值.
8．设a为正实数．如图，一个水轮的半径为a m，水轮圆心 O 距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点）开始计算时间．
（1）将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数；
（2）点 P 第一次达到最高点需要多少时间．
9．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难"问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．(精确到0.1m)(下列数据提供参考：)
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E F．
①若小汽车卡在直角车道内(即点A B分别在PE PF上，点O在CD上)∠PAB=θ(rad)，求水平截面的长(即AB的长，用θ表示)
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．
结论1；
结论2若函数f(x)和函数g(x)都在区间I上单调递增，则函数f(x)+g(x)在区间I上单调递增．
10．如图，某地有一条宽为的公路,该公路在A处为直角弯道现有一辆“斯太尔”型大货车要通过该弯道,已知该货车的宽为，长为.
（1）假设该货车刚好能通过该弯道，且，试求货车长l关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）若该货车的长为16 m，则它能否顺利通过该弯道？请说明理由.
11．在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对
称图形),其中矩形的三边,由长6分米的材料弯折而成,边的长
为分米 ()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线
(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到
边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点
到边的距离为.
(1)试分别求出函数、的表达式；
(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线 此时,最大值是多少
12．已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为.证明：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据已知销售价格列出利润函数，然后利用导数求得最大值．
【详解】
设超市每月销售该商品所获得的利润为元，
则，，
，
令，得，则在上单调递增；令，得，则在上单调递减.所以的最大值为.
故选：B．
2．
【解析】
【分析】
(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.
【详解】
过点分别作，，垂足分别为，，
则，
在中，，则，同理可得，
所以.
令，
则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
则，
故输气管的长度不能低于m.
故答案为：；.
3．
【解析】
【分析】
设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．
【详解】
设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；
则h2+2a2＝（2×2）2，
所以a2＝8h2，
所以正四棱柱容器的容积为
V＝a2h＝（8h2）hh3+8h，h∈（0，4）；
求导数得V′h2+8，
令V′＝0，解得h，
所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；
h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；
所以h时，V取得最大值．
所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题．
4．（1）① 其中 ② 其中（2）当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少
【解析】
【分析】
(1) ①根据直角三角形得，即得，再根据直角三角形得，最后根据 得结果. ②根据三角形相似得 ，即得结果，(2) 选择（1），利用导数求最值，即得结果.
【详解】
解：（1）①在中，，所以，所以
在中，
所以 ，其中，
②设，则在中，由与相似得，,即，即，即，即即，化简得， 其中
（2）选择（1）中的第一个函数关系式研究.
令，得.
令,当时，，所以递减；
当时，，所以递增，所以当时，取得最小值，新建道路何时造价也最少
【点睛】
利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
5．（1）；（2）和.
【解析】
【详解】
分析：（1）先根据已知条件得到关于a,b,c,d的四个方程，解方程即得函数的解析式.(2)
先求导，再利用导数求函数的单调递增区间.
详解：（1）函数的图象与轴的交点为，.
曲线在点处的切线方程为，
且 .
又函数在处取得极值为,
即,
解得 .
.
（2）由（1）知
由 解得
即函数的单调递增区间为和.
点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的极值和单调区间等，意在考查导数的基础知识和基本的运算能力,属于基础题.
6．（1）其中，且；
，其中，且.
（2）有最大值；；最大值为2440.取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统裝置与生产第1台的总利润差最大.
【解析】
【分析】
（1）把已知代入化简即可，再计算；
（2）由函数的性质可得最大值，根据的定义可得取得最大值时的实际意义．
【详解】
（1）由题意得
其中，且，
，其中，且.
（2）有最大值.由（1）知
∵，∴当或63时；有最大值，.
由（1）知，该函数是减函数，∴随着产量的增加，每台报警系统装置与前一台相比较，利润在减小，∴当时，取得最大值，最大值为2440.取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统裝置与生产第1台的总利润差最大.
【点睛】
本题考查函数的应用，解题时根据已知条件列出函数式是解题基础．
7．（1）（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求梯形面积，已知上下底，只需确定高即可：利用直角三角形得，因此，注意确定函数定义域（2）四次函数 最值，可借助导数进行求解：先求导数在定义区间上零点，分析单调性变化规律，确定最值
试题解析：解：（1）过点作 于，
∵，∴ ，
，
∴
（2），
令，
则，
所以当时， ，∴函数在上单调递增，
当时， ∴函数在上单调递减，
所以当时， 有最大值，
答：梯形面积的最大值为 平方米
考点：利用导数求函数最值，函数应用
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
8．（1） （2）4s；
【解析】
（1）建立直角坐标系，根据题意结合三角函数定义可以求出点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数；
（2）根据正弦型函数的单调性求出最大值即可.
【详解】
（1）如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．
当t= 0时，点 P 的坐标为，角度为;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为rad / s,所以 t 时刻，角度为;根据三角函数定义，可得
⑵ 当时，，所以，解得t=4+12k，
所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要4s．
【点睛】
考查了数学阅读能力，考查了建模能力，考查了正弦型函数的最值，属于基础题.
9．（1）2.8m；（2）能顺利通过.
【解析】
（1）在中，求出的值，再得出的值，计算出即可；
（2）根据图形，结合三角函数的性质，表示出、与的长，计算的最小值即可判断小汽车是否能通过直角弯道．
【详解】
解：（1）在中，，，
，
又，
m，
，m，
在中，，，
，
则m，
结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，
∴限定高度的值约为2.8m；
（2）延长与直角走廊的边相交于、，
则，其中，
∴，
，
又，设，
，其中，
设，则，，
，
，
，单调递增，
则在上是减函数，
，
小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将实际的问题进行数学建模，写出函数模型，再对其求导，求出最小值，判断小汽车可通过.
10．（1）．（2）该货车不能顺利通过该弯道．见解析
【解析】
【分析】
（1）延长，交AC于点G，过点G作，H为垂足，由题意可求得、，进而可表示，同理可得，即可得解；
（2）令，则可转化条件得方程在上是否有解，令，由二次函数的性质即可得解.
【详解】
（1）如图，延长，交AC于点G，过点G作，H为垂足，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以；
同理可得；
所以；
（2）令，
则，所以，
令，问题即转化为关于t的方程在上是否有解，
方程整理得．
令，则其图象的对称轴方程为，
所以在上单调递增．
又因为，所以方程在上无解，
因此该货车不能顺利通过该弯道．
【点睛】
本题考查了函数与三角函数性质、辅助角公式的综合应用，考查了换元法和转化化归思想，属于中档题.
11．(1) ,； (2) .
【解析】
【分析】
(1)先求得点的坐标为到的距离为,得到,从而可得 ；由抛物线的方程为,可得点的坐标为，点到的距离为，从而可得；（2）分别利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得到与的最大值，从而可得结果.
【详解】
(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为
,所以点到的距离为,而,
则
对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为
所以点到的距离为,
而,所以
(2)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得
最大值为
又,而,
所以当时,取得最大值为
因为,所以,
故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米
【点睛】
本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用导数证明函数在定义域上为增函数，再考虑当时，，故当时，
（2）先计算概率，再证明，即证明，最后证明，即证，即证，即证，而这个结论由（1）所得结论可得.
(1)
由已知得函数的定义域为，
∵，
∴ 函数在区间上单调递增，
又∵
∴ 当时，，即.
(2)
由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为
，
∵，
同理，，，，
∴，
∴，
再证：，
即证：，即，，
由（1）得，当时，，取，
则，证毕.
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