人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义（word版含解析）
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| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 560.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 13:51:01 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义
一、单选题
1．已知函数在处的切线方程过，则函数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（ ）
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
3．已知曲线在点处切线的倾斜角为，则角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．零度角
4．函数与的图象如下图,则函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为
A． B．
C． D．
6．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，其中，存在使得成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．1
8．设为可导函数,且=,则的值为
A．1 B． C． D．
9．的值为
A．0 B．1 C． D．
10．设为可导函数，且=，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）
A．在上，是增函数 B．在上，是减函数
C．在上，是增函数 D．在上，是增函数
12．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
三、双空题
14．如图是函数的图象.
（1）函数在区间上的平均变化率为______；
（2）函数在区间上的平均变化率为______.
四、填空题
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，曲线在点处的切线方程为______________.
16．函数的导数为_____.
17．若，则____
18．曲线在点处的切线方程为__________．
19．已知函数f（x）=sinx,则__________.
五、解答题
20．求函数在处的导数．
21．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.
22．已知函数f(x)＝.
（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；
（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
23．求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
由过点，可求出，进而对求导，可得到在处的切线方程，再结合切线方程过，可求出的值，从而可得到的表达式，进而判断单调性，可求出最小值.
【详解】
∵过点，∴，解得，
∵，
∴，则在处的切线方程为，
∵过，∴，
∴，∴，
令得，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
2．A
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求得切线的斜率，再由基本不等式可得切线的斜率的最小值，可得切点的坐标，再由斜截式方程，即可得到切线方程.
【详解】
解：y＝的导数为，
即有.
当且仅当时，取得等号.
即有切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，
即为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
求出，代入求得，结合倾斜角的范围，即可判断角.
【详解】
由题设，，
∴，即，而，
∴角是锐角.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
可结合图像先判断两函数的奇偶性，再结合特殊点进一步判断符合题意的图像
【详解】
由图可知，为偶函数，为奇函数，故在符合定义域的区间内，为奇函数，排除B项；
又取不到，排除D项；
当时，，则，故选A项
故选：A
【点睛】
本题考查函数图像的识别，常结合奇偶性和增减性及特殊点进行判断，属于基础题
5．C
【解析】
【分析】
求得的值，再除以，由此求得表达式的值.
【详解】
因为，所以．故选C.
【点睛】
本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
根据平均变化率的定义算出答案即可.
【详解】
函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
7．C
【解析】
【详解】
函数f(x)可以看作动点P(x,ln x2)与点Q(a,2a)的距离的平方,点P在曲线y=2ln x上,点Q在直线y=2x上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值,由y=2ln x求导可得 ,令y′=2,解得x=1,此时y=2ln 1=0,则M(1,0),所以点M(1,0)到直线y=2x的距离 即为直线与曲线之间最小的距离,故 .
由于存在x0使得f(x0) b,则f(x)min b,即 ，
本题选择C选项.
8．B
【解析】
【详解】
分析:先将化简得到其等于,再求它的值.
详解: 因为
,故答案为B
点睛：（1）本题主要考查导数的定义和极限的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2),分式的分母一定是自变量的增量，上面一定是函数值的增量，如果不满足，就要利用极限运算化简.
9．C
【解析】
【详解】
试题分析：．故选C．
考点：本题主要考查函数的极限．
点评：简单题，函数极限计算中，注意约去“零因子”．
10．C
【解析】
由导数的定义，求解即可得解.
【详解】
解：因为，
又，
所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查了导数的定义，属基础题.
11．C
【解析】
【分析】
根据导数与单调性的关系判断．
【详解】
由图形知在上，，上，，在上先减后增；在上，上，先增后减；
在上，，是增函数，在上，，是减函数．只有C正确．
故选：C．
12．A
【解析】
【分析】
结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】
因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
13．ABD
【解析】
对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】
解：由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上递增，
在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.
故选：ABD.
14．
【解析】
【分析】
利用平均变化率的定义可计算出函数在区间和上的平均变化率.
【详解】
（1）函数在区间上的平均变化率为；
（2）由函数的图象知，，
所以函数在区间上的平均变化率为.
【点睛】
本题考查平均变化率的计算，解题的关键就是利用平均变化率定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
先求出当时的解析式，然后再求出切线方程
【详解】
函数是定义在上的奇函数
当时，
当时，，
则当时，
，
即切线方程为，
即
故答案为
【点睛】
结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可
16．
【解析】
【分析】
将函数换成以为底的对数函数，再对函数进行求导，即得答案.
【详解】
由换底公式可知，
，
∴
故答案为：
【点睛】
单纯的对数求导问题，考查了学生对对数求导公式的记忆情况，为基础题.小记，.
17．
【解析】
【分析】
根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案.
【详解】
故答案为.
【点睛】
本题考查导数的概念，属于基础题.
18．.
【解析】
【详解】
分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.
详解：因为，所以
因此切线方程为
点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
19．0．
【解析】
【详解】
分析：根据导数的定义，求得，求出，代入求解．
详解：
因为，所以
所以
点睛：本题考查了导数的定义和简单的求导公式，属于简单题．
20．
【解析】
根据导数的定义即可求解.
【详解】
解：
，
∴，
∴．
故答案为：.
21．（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
（1）当时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调区间；
（3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数的取值范围．
【详解】
解：（1）时，，， ，
曲线在点处的切线方程
（2）
①当时，恒成立，函数的递增区间为
②当时，令，解得或
x
- +
减 增
所以函数的递增区间为，递减区间为
（3）对任意的，使成立，只需任意的，
①当时，在上是增函数，所以只需
而 所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需 而 所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可 而 从而不满足题意；
综合①②③实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．
22．（1）4x0＋2Δx；（2）8.02；（3）8.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，计算；
（2）根据（1）的结果，计算当，时，求平均变化率；
（3）根据（2）的结果，计算当时，求瞬时变化率.
【详解】
（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴
（2）由（1）可知：=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02.
（3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]．
∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.
23．8x－y－13＝0.
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出斜率，点斜式求切线方程.
【详解】
因为
所以k＝(3Δx＋8)＝8，
则切线方程y－3＝8(x－2)，
即8x－y－13＝0.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知函数在处的切线方程过，则函数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（ ）
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
3．已知曲线在点处切线的倾斜角为，则角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．零度角
4．函数与的图象如下图,则函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为
A． B．
C． D．
6．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，其中，存在使得成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．1
8．设为可导函数,且=,则的值为
A．1 B． C． D．
9．的值为
A．0 B．1 C． D．
10．设为可导函数，且=，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）
A．在上，是增函数 B．在上，是减函数
C．在上，是增函数 D．在上，是增函数
12．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
三、双空题
14．如图是函数的图象.
（1）函数在区间上的平均变化率为______；
（2）函数在区间上的平均变化率为______.
四、填空题
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，曲线在点处的切线方程为______________.
16．函数的导数为_____.
17．若，则____
18．曲线在点处的切线方程为__________．
19．已知函数f（x）=sinx,则__________.
五、解答题
20．求函数在处的导数．
21．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.
22．已知函数f(x)＝.
（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；
（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
23．求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
由过点，可求出，进而对求导，可得到在处的切线方程，再结合切线方程过，可求出的值，从而可得到的表达式，进而判断单调性，可求出最小值.
【详解】
∵过点，∴，解得，
∵，
∴，则在处的切线方程为，
∵过，∴，
∴，∴，
令得，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
2．A
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求得切线的斜率，再由基本不等式可得切线的斜率的最小值，可得切点的坐标，再由斜截式方程，即可得到切线方程.
【详解】
解：y＝的导数为，
即有.
当且仅当时，取得等号.
即有切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，
即为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
求出，代入求得，结合倾斜角的范围，即可判断角.
【详解】
由题设，，
∴，即，而，
∴角是锐角.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
可结合图像先判断两函数的奇偶性，再结合特殊点进一步判断符合题意的图像
【详解】
由图可知，为偶函数，为奇函数，故在符合定义域的区间内，为奇函数，排除B项；
又取不到，排除D项；
当时，，则，故选A项
故选：A
【点睛】
本题考查函数图像的识别，常结合奇偶性和增减性及特殊点进行判断，属于基础题
5．C
【解析】
【分析】
求得的值，再除以，由此求得表达式的值.
【详解】
因为，所以．故选C.
【点睛】
本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
根据平均变化率的定义算出答案即可.
【详解】
函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
7．C
【解析】
【详解】
函数f(x)可以看作动点P(x,ln x2)与点Q(a,2a)的距离的平方,点P在曲线y=2ln x上,点Q在直线y=2x上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值,由y=2ln x求导可得 ,令y′=2,解得x=1,此时y=2ln 1=0,则M(1,0),所以点M(1,0)到直线y=2x的距离 即为直线与曲线之间最小的距离,故 .
由于存在x0使得f(x0) b,则f(x)min b,即 ，
本题选择C选项.
8．B
【解析】
【详解】
分析:先将化简得到其等于,再求它的值.
详解: 因为
,故答案为B
点睛：（1）本题主要考查导数的定义和极限的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2),分式的分母一定是自变量的增量，上面一定是函数值的增量，如果不满足，就要利用极限运算化简.
9．C
【解析】
【详解】
试题分析：．故选C．
考点：本题主要考查函数的极限．
点评：简单题，函数极限计算中，注意约去“零因子”．
10．C
【解析】
由导数的定义，求解即可得解.
【详解】
解：因为，
又，
所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查了导数的定义，属基础题.
11．C
【解析】
【分析】
根据导数与单调性的关系判断．
【详解】
由图形知在上，，上，，在上先减后增；在上，上，先增后减；
在上，，是增函数，在上，，是减函数．只有C正确．
故选：C．
12．A
【解析】
【分析】
结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】
因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
13．ABD
【解析】
对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】
解：由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上递增，
在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.
故选：ABD.
14．
【解析】
【分析】
利用平均变化率的定义可计算出函数在区间和上的平均变化率.
【详解】
（1）函数在区间上的平均变化率为；
（2）由函数的图象知，，
所以函数在区间上的平均变化率为.
【点睛】
本题考查平均变化率的计算，解题的关键就是利用平均变化率定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
先求出当时的解析式，然后再求出切线方程
【详解】
函数是定义在上的奇函数
当时，
当时，，
则当时，
，
即切线方程为，
即
故答案为
【点睛】
结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可
16．
【解析】
【分析】
将函数换成以为底的对数函数，再对函数进行求导，即得答案.
【详解】
由换底公式可知，
，
∴
故答案为：
【点睛】
单纯的对数求导问题，考查了学生对对数求导公式的记忆情况，为基础题.小记，.
17．
【解析】
【分析】
根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案.
【详解】
故答案为.
【点睛】
本题考查导数的概念，属于基础题.
18．.
【解析】
【详解】
分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.
详解：因为，所以
因此切线方程为
点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
19．0．
【解析】
【详解】
分析：根据导数的定义，求得，求出，代入求解．
详解：
因为，所以
所以
点睛：本题考查了导数的定义和简单的求导公式，属于简单题．
20．
【解析】
根据导数的定义即可求解.
【详解】
解：
，
∴，
∴．
故答案为：.
21．（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
（1）当时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调区间；
（3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数的取值范围．
【详解】
解：（1）时，，， ，
曲线在点处的切线方程
（2）
①当时，恒成立，函数的递增区间为
②当时，令，解得或
x
- +
减 增
所以函数的递增区间为，递减区间为
（3）对任意的，使成立，只需任意的，
①当时，在上是增函数，所以只需
而 所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需 而 所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可 而 从而不满足题意；
综合①②③实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．
22．（1）4x0＋2Δx；（2）8.02；（3）8.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式，计算；
（2）根据（1）的结果，计算当，时，求平均变化率；
（3）根据（2）的结果，计算当时，求瞬时变化率.
【详解】
（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴
（2）由（1）可知：=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02.
（3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]．
∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.
23．8x－y－13＝0.
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出斜率，点斜式求切线方程.
【详解】
因为
所以k＝(3Δx＋8)＝8，
则切线方程y－3＝8(x－2)，
即8x－y－13＝0.
答案第1页，共2页
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