人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大（小）值第1课时函数的极值（word版含解析）

人教A版（2019） 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值
一、单选题
1．函数部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．等比数列的各项均为正数，，是函数的极值点，则
A． B．8 C．10 D．15
3．已知函数，，则函数的极大值之和为（ ）
A． B．
C． D．
4．若是函数的极值点，则的极大值为
A． B． C． D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
7．对于函数,下列说法正确的有（ ）
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
9．已知，P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，若是的极大值点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”
B．“a＝2”是“函数f（x）＝ax在区间（﹣∞，+∞）上为增函数”的充分不必要条件
C．命题“ x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“ x∈R，均有x2+x+1≥0”
D．“若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为真命题
12．已知函数在内可导，设，函数在处取得极值.则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知函数的极大值是函数的极小值的倍，并且，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
14．已知函数若函数恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数为奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
16．设是函数的一个极值点，则（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
17．已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．若函数在区间上的图象为条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不存在实数，使得
B．若，则存在且只存在一个实数，使得
C．若，则有可能存在实数，使得
D．若，则有可能不存在实数，使得
E．若，则在内的零点个数不确定
19．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断错误的是（　　）
A．在区间（2，4）内单调递减 B．在区间（2，3）内单调递增
C．x＝﹣3是极小值点 D．x＝4是极大值点
20．设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ）
A．的图象与轴相切
B．存在实数，使得的图象与轴相切
C．若，则方程有唯一实数解
D．若有两个零点，则的取值范围为
三、双空题
21．若函数在处取极值，则______，的极大值为______.
四、填空题
22．已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.
23．已知函数，函数，若对任意的，存在，使得则实数m的取值范围为___________.
24．函数的极大值是______.
五、解答题
25．已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
26．已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）求在点处的切线方程．
27．（1）；
（2）；
28．已知函数，其中为常数.
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
29．设函数，．
（1）判断函数在上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立．
30．已知偶函数的定义域为，值域为．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若,求的值．
31．已知函数.
（1）求函数的极大值；
（2）若函数在区间其中上存在极值，求实数的取值范围；
（3）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
32．已知函数，（其中为自然对数的底数，）.
（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；
（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.
33．已知函数f(x)＝和图象过坐标原点O，且在点（－1，f（－1））处的切线的斜率是－5．
（1）求实数b,c的值；
（2）求函数f(x)在区间［－1,1］上的最小值；
（3）若函数y=f(x)图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，排除A、D选项；
当时，，，，则，排除C选项.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，属于中等题.
2．D
【解析】
【分析】
对函数求导可得，由于，是函数的极值点，可知，再结合对数式的运算性质及等比数列的性质，可得，即可得到答案．
【详解】
由题意可知，，
因为，是函数的极值点，所以，是方程的解，故，
又因为是各项均为正数的等比数列，所以，
则.
故选D.
【点睛】
本题考查了函数的零点，考查了等比数列的性质，考查了对数式的运算，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
3．B
【解析】
【分析】
求，由导数判断单调性，即可得极大值点，再由等比数列求和公式即可得极大值之和.
【详解】
由
可得，
令即，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
因为，所以，可得，
所以函数的极大值之和为
，
故选：B.
4．D
【解析】
【详解】
因为是函数的极值点，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值
故选D.
5．B
【解析】
【分析】
结合指数、对数以及充分、必要条件等知识确定正确选项.
【详解】
，
，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
6．D
【解析】
【详解】
由导函数图象可知是的极小值点，
是的极大值点.
故选：D．
7．C
【解析】
先求导得，，再利用导数的应用可得函数的增区间为，减区间为，然后逐一判断各命题即可得解.
【详解】
函数的定义域为，由，则，
令，解得：，令，解得：，
则函数的增区间为，减区间为，
即在处取得极大值，即①正确；
令，得，可得.综上可得函数只有一个零点，即②错误；
由函数的减区间为，又， ∴，即③正确，
即说法正确的为①、③，
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调区间及极值，重点考查了函数单调性的应用，属基础题.
8．A
【解析】
【分析】
求得直线恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线与椭圆的位置关系.
【详解】
直线可化为，所以直线恒过点，
又，即在椭圆的内部，
直线与椭圆的位置关系为相交.
故选：A.
9．D
【解析】
设点P的横坐标为，利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式即可求解.
【详解】
设点P的横坐标为，则点P处的切线倾斜角与的关系为．
∵，
∴，
∴，即，
∴点P的横坐标的取值范围为．
故选：D
10．A
【解析】
【分析】
求出函数的导数后，由已知条件可得，从而可知，即可知，分，两种情况，解，再结合是的极大值点，列出关于的不等式，解出后即可选出正确答案.
【详解】
解：由题意知，且，
因为是的极大值点，所以，即，
所以，
当时，，所以的解为，当时，，
当时，，此时是的极大值点，符合题意；
当时，解得或，因为是的极大值点，
所以，解得；综上所述，.
故选:A.
【点睛】
本题考查了已知极值求参数的取值范围.本题的关键是极大值点这一条件的应用.
11．D
【解析】
A，利用四种命题的逆否关系判断；B，根据指数函数的单调性即可判断；C，根据特称命题的否定判断；D，根据极值点的定义判断.
【详解】
对于A，根据逆否命题的定义，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故正确；
对于B，，可得函数在区间上为增函数，若函数在区间上为增函数，则，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；
对于C，根据特称命题的否定是全称命题，命题“，使得x2+x+1<0”的否定是：“均有”，故正确；
对于D， “若f ′（）＝0，则为y＝f（x）的极值点”为假命题，比如：中，，但不是的极值点，错误，
故选:D.
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查指数函数的单调性、逆否命题的定义、特称命题的否定、极值点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
12．B
【解析】
【分析】
由导数为0的点不一定是极值点，但极值点处的导数为0，结合充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，对于函数在内可导，导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定是导数为0的点，所以命题推不出命题，命题推出命题，
所以是的必要不充分条件，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数极值点与导数的关系，其中解答中熟记导数与极值点的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．B
【解析】
【详解】
解：由题意可知： ，
据此可得函数 的极大值为 ，
函数 的极小值为 ，即： ，
在区间 上：
不等式等价于： ，很明显 ，
当 时： ，
结合 可得： ；
当 时： ，
结合 可得： ；
综上可得实数的取值范围是 .
本题选择D选项.
点睛：
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题的关键是进行转化，把所求问题转化为求函数的最小值、最大值问题．若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
14．A
【解析】
求得函数的解析式，画出的图象，由此求得的取值范围.
【详解】
由得，
所以，
所以函数恰有2个零点等价于函数与函数的图象有2个公共点，由图象可知.
故选：A
15．D
【解析】
【分析】
根据奇函数性质得出函数在上的单调性，从而可得不等式的解．
【详解】
∵函数是奇函数，且，在区间上单调递增，
∴，在上单调递增，
∴不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握函数的这两个基本性质是解题关键．
16．C
【解析】
【分析】
利用导数判断极值点，弦化切求解即可.
【详解】
解：∵由已知可得，
∴．
故选：C．
17．D
【解析】
【分析】
先根据图象关于对称，求出的解析式，然后设切点，求导数，进而写出切线方程，再根据切线过原点，求出切点坐标，即可求出的值．
【详解】
由已知设是上任意一点，则关于的对称点为在的图象上，
所以， 所以，
设切点为 ，则，
故切线为，
由已知切线过，所以， 所以，
所以． 故．
故选：D．
【点睛】
本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程解决问题．属于中档题．
18．CE
【解析】
根据零点存在定理判断零点个数不确定，故B、D错误，E正确；当，可能存在零点，故A错误，C正确，得到答案.
【详解】
根据函数零点存在定理可判断
若，则一定存在实数，使得
但c的个数不确定，故B、D错误，E正确；
若，则有可能存在实数，使得，
如，，但在内有两个零点，
故A错误，C正确.
故选：CE.
【点睛】
本题考查了零点存在定理，意在考查学生对于零点存在定理的理解和掌握.
19．AC
【解析】
【分析】
根据导数图象判断正负即可得出答案.
【详解】
对A，由图可知，当时，，故在单调递增，故A错误；
对B，由图可知，当时，，故在单调递增，故B正确；
对C，由图可知，在的左右均为负，故不是的极值点，故C错误；
对D，由图可知，在的左边为正，右边为负，为的极大值点，故D正确.
所以错误的选项有AC.
故选：AC.
20．ACD
【解析】
【分析】
通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误.
【详解】
，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确；
，，
当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误；
由上所述，在上单减，上单增，则；
若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确；
，，
当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去；
当时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值，
即，
令，易知单调递减，且，
因此的解集为，D正确；
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证.
21．
【解析】
【分析】
因为为极值点，故即可求解值；根据导数分析单调性判断极值即可求解．
【详解】
，由题可知，解得，
所以，
当时，得；当时，得或；
所以在，上单调递减，在上单调递增，
故的极大值为．
故答案为：，．
22．
【解析】
【分析】
满足的有个，等价于方程有个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出的取值范围.
【详解】
满足的有个，方程有4个根，
设，则，令，得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，，
画出函数的大致图象，如图所示：
，
保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，
即可得到函数的图象如下图所示：
令，则，
所以要使方程有个根，
则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，
设，因为，则只需，解得：，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.
23．，
【解析】
【分析】
分别判断，的单调性，求得最大值，由题意可得的最大值不大于的最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】
解：函数在，递减，可得的最大值为，
函数的导数为，
可得在，恒成立，则在，递增，可得的最大值为（2）
由任意的，，存在，，使得，
可得的最大值不大于的最大值，即有，
解得，
则的取值范围是，．
故答案为：，．
24．1
【解析】
【分析】
利用导数研究其单调性，极值即可得出．
【详解】
解：．
可得：，
时，；
时，．
时，函数取得极大值，．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．，
【解析】
【分析】
求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
【详解】
函数的导数，
若函数是区间，上的单调函数，
则函数是区间，上只能是单调增函数，
即函数在区间，上恒成立，
即，
，，
则，
即实数的取值范围是，．
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，利用函数的导数与函数单调性的关系是解决本题的关键．
26．（1）；（2）．
【解析】
【详解】
试题分析： （1）由可得的值；（2）由导数的几何意义可求得切线的斜率，由点上可求得点的坐标，代入直线方程的点斜式，可得切线方程．
试题解析：（1），令
据题意，得 2,3是方程两根
则有
（2）， 则 ， 得
又由，得
从而，得所求切线方程为，即．
考点：导数的几何意义；导数与极值．
27．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦的二倍角公式化简原函数，从而利用求导公式及导数的运算法则进行求导；
（2）根据复合函数的求导法则进行求导.
【详解】
（1）因为，
＝48cos5x·＝48cos5x＝－48sin xcos5x.
（2）令y＝u2， u＝sin v，v＝，
所以.
28．（1）2x-y+1=0；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；
（2）令，由题得在恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可.
试题解析：
（1），，，又因为切点（0,1）
所以切线为2x-y+1=0
(2) 令，由题得在恒成立， ，所以
①若，则时，所以函数在上递增，所以
则，得
②若，则当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，所以，又因为，所以不合题意.
综合得.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为 .
29．（1）上是增函数；（2）证明详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用、利用导数判断函数的单调性常用的方法，考查了学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性；第二问，先将化为，从而原不等式化为，即，令，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数，使原不等式成立．
试题解析：（1），
令，则，
当时，，∴是上的增函数，
∴，
故，即函数是上的增函数．
（2），
当时，令，则
故，∴，
原不等式化为，即，
令，则，
由得：，解得，
当时，；当时，．
故当时，取最小值，
令，则．
故，即．
因此，存在正数，使原不等式成立．
考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
30．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据函数为偶函数，，构造关于的方程组，可得的值；
（2）由（1）中函数的解析式，分别令和，解得，结合题中所给的集合E，可求得的可取值；
（3）求出函数的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数的值域为，，分和两种情况讨论，构造关于的方程组，进而得到的值.
【详解】
（1）因为函数为偶函数，
所以，即，
所以，因为为非零实数，
所以，即；
(2)令f（）=0，即，=±1，取=﹣1；
令f（）=，即，=±2，取=﹣2，
故=﹣1或﹣2．
（3）∵是偶函数，且，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∵x≠0，∴由题意可知：或．
若，则有，即，
整理得，此时方程组无负解；
若，则有，即，
∴m，n为方程x2﹣3x+1=0，的两个根．∵，∴m＞n＞0，
∴
【点睛】
该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有函数的奇偶性和单调性的综合，利用导数研究函数的单调性，属于较难题目.
31．（1）函数在处取得极大值 （2）（3）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定函数极大值（2）由题意1必在区间内，解不等式可得实数的取值范围；（3）先分离变量将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再利用导数研究函数最值，即得实数的取值范围.
试题解析：解:（1）函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减
函数在处取得极大值
（2）函数在区间 上存在极值
， 解得
当时，不等式，即为
记 ，则
令，则
在上单调递增
， 从而
故在上单调递增
实数的取值范围是
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
32．(1) ，（2）
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值.
【试题解析】
（1），．（过程略）
（2）令，则，
当时，单调递增，而，
∴时，不合题意
当时，令，则，
∵为减函数，
∴时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴ ，
即．（△）
但，等号成立当且仅当且．
故（△）式成立只能
即．
【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.
33．（1）
（2）函数在区间上的最小值为0；
（3）满足条件的点的横坐标的取值范围为．
【解析】
【详解】
分析：（1）求导数，根据函数在点处的切线的斜率是-5，图象过坐标原点，即可求得实数的值；
（2）当时，求导函数，确定函数的单调性，计算函数值，从而可得函数在区间上的最小值；
（3）设 ，因为中点在轴上，所以，根据，可得 分类讨论，确定函数的解析式，利用即可求得结论．
详解：：（1）当时， ∵函数在点处的切线的斜率是-5， ，
（2）当时，
令 有 或
令，可得
令 ，或，
∴函数在
出取得最值
∴函数在区间上的最小值为0；
（3）设 ，因为中点在轴上，所以，根据，∵，∴
①当时，；当时， ，
②当 时， 代入可得无解；
③当时，，代入可得
设 是增函数 值域是
∴对任意给定的正实数
恒有解，满足条件
④由横坐标的对称性可得，当时， 代入可得
设 是减函数， 值域是
∴对任意给定的正实数 恒有解，满足条件
综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为．
点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类，灵活运用导数是关键．
答案第1页，共2页
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