人教A版(2019)选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值(word版含解析)

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名称 人教A版(2019)选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值(word版含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-02-17 14:04:26

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人教A版(2019) 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第1课时 函数的极值
一、单选题
1.函数部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
2.等比数列的各项均为正数,,是函数的极值点,则
A. B.8 C.10 D.15
3.已知函数,,则函数的极大值之和为( )
A. B.
C. D.
4.若是函数的极值点,则的极大值为
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(  )
A. B.
C. D.
7.对于函数,下列说法正确的有( )
①在处取得极大值;
②有两个不同的零点;

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.直线与椭圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
9.已知,P为曲线上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.设函数,若是的极大值点,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.下列关于命题的说法错误的是( )
A.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2”的逆否命题为“若x≠2,则x2﹣3x+2≠0”
B.“a=2”是“函数f(x)=ax在区间(﹣∞,+∞)上为增函数”的充分不必要条件
C.命题“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“ x∈R,均有x2+x+1≥0”
D.“若f ′()=0,则为y=f(x)的极值点”为真命题
12.已知函数在内可导,设,函数在处取得极值.则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.已知函数的极大值是函数的极小值的倍,并且,不等式恒成立,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
14.已知函数若函数恰有2个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
15.已知函数为奇函数,在区间上单调递增,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
16.设是函数的一个极值点,则( )
A.﹣3 B. C. D.3
17.已知曲线与的图象关于点对称,若直线与曲线相切,则( )
A. B. C. D.
二、多选题
18.若函数在区间上的图象为条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )
A.若,则不存在实数,使得
B.若,则存在且只存在一个实数,使得
C.若,则有可能存在实数,使得
D.若,则有可能不存在实数,使得
E.若,则在内的零点个数不确定
19.如果函数的导函数的图象如图所示,则以下关于函数的判断错误的是(  )
A.在区间(2,4)内单调递减 B.在区间(2,3)内单调递增
C.x=﹣3是极小值点 D.x=4是极大值点
20.设函数和,其中是自然对数的底数,则下列结论正确的为( )
A.的图象与轴相切
B.存在实数,使得的图象与轴相切
C.若,则方程有唯一实数解
D.若有两个零点,则的取值范围为
三、双空题
21.若函数在处取极值,则______,的极大值为______.
四、填空题
22.已知,若满足的有四个,则的取值范围为_____.
23.已知函数,函数,若对任意的,存在,使得则实数m的取值范围为___________.
24.函数的极大值是______.
五、解答题
25.已知,函数是区间上的单调函数,求实数的取值范围;
26.已知函数在处取得极值.
(1)求的值;
(2)求在点处的切线方程.
27.(1);
(2);
28.已知函数,其中为常数.
(1)若时,求函数在点处的切线方程;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
29.设函数,.
(1)判断函数在上的单调性;
(2)证明:对任意正数a,存在正数x,使不等式成立.
30.已知偶函数的定义域为,值域为.
(1)求实数的值;
(2)若,求实数的值;
(3)若,求的值.
31.已知函数.
(1)求函数的极大值;
(2)若函数在区间其中上存在极值,求实数的取值范围;
(3)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
32.已知函数,(其中为自然对数的底数,).
(1)若函数的图象与函数的图象相切于处,求的值;
(2)当时,若不等式恒成立,求的最小值.
33.已知函数f(x)=和图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.
(1)求实数b,c的值;
(2)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值;
(3)若函数y=f(x)图象上存在两点P,Q,使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,求点P的横坐标的取值范围.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性及其在区间上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
函数的定义域为,

所以,函数为偶函数,排除A、D选项;
当时,,,,则,排除C选项.
故选:B.
【点睛】
本题考查利用解析式选择函数图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,属于中等题.
2.D
【解析】
【分析】
对函数求导可得,由于,是函数的极值点,可知,再结合对数式的运算性质及等比数列的性质,可得,即可得到答案.
【详解】
由题意可知,,
因为,是函数的极值点,所以,是方程的解,故,
又因为是各项均为正数的等比数列,所以,
则.
故选D.
【点睛】
本题考查了函数的零点,考查了等比数列的性质,考查了对数式的运算,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.
3.B
【解析】
【分析】
求,由导数判断单调性,即可得极大值点,再由等比数列求和公式即可得极大值之和.
【详解】

可得,
令即,可得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,取得极大值,
因为,所以,可得,
所以函数的极大值之和为

故选:B.
4.D
【解析】
【详解】
因为是函数的极值点,,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
故当时,函数取得极大值
故选D.
5.B
【解析】
【分析】
结合指数、对数以及充分、必要条件等知识确定正确选项.
【详解】


所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选:B
6.D
【解析】
【详解】
由导函数图象可知是的极小值点,
是的极大值点.
故选:D.
7.C
【解析】
先求导得,,再利用导数的应用可得函数的增区间为,减区间为,然后逐一判断各命题即可得解.
【详解】
函数的定义域为,由,则,
令,解得:,令,解得:,
则函数的增区间为,减区间为,
即在处取得极大值,即①正确;
令,得,可得.综上可得函数只有一个零点,即②错误;
由函数的减区间为,又, ∴,即③正确,
即说法正确的为①、③,
故选:C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调区间及极值,重点考查了函数单调性的应用,属基础题.
8.A
【解析】
【分析】
求得直线恒过的定点,判断定点与椭圆的位置关系,由此可得直线与椭圆的位置关系.
【详解】
直线可化为,所以直线恒过点,
又,即在椭圆的内部,
直线与椭圆的位置关系为相交.
故选:A.
9.D
【解析】
设点P的横坐标为,利用导数求切线的斜率,根据倾斜角范围求斜率范围,建立不等式即可求解.
【详解】
设点P的横坐标为,则点P处的切线倾斜角与的关系为.
∵,
∴,
∴,即,
∴点P的横坐标的取值范围为.
故选:D
10.A
【解析】
【分析】
求出函数的导数后,由已知条件可得,从而可知,即可知,分,两种情况,解,再结合是的极大值点,列出关于的不等式,解出后即可选出正确答案.
【详解】
解:由题意知,且,
因为是的极大值点,所以,即,
所以,
当时,,所以的解为,当时,,
当时,,此时是的极大值点,符合题意;
当时,解得或,因为是的极大值点,
所以,解得;综上所述,.
故选:A.
【点睛】
本题考查了已知极值求参数的取值范围.本题的关键是极大值点这一条件的应用.
11.D
【解析】
A,利用四种命题的逆否关系判断;B,根据指数函数的单调性即可判断;C,根据特称命题的否定判断;D,根据极值点的定义判断.
【详解】
对于A,根据逆否命题的定义,命题“若,则”的逆否命题为“若,则”,故正确;
对于B,,可得函数在区间上为增函数,若函数在区间上为增函数,则,“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件,故正确;
对于C,根据特称命题的否定是全称命题,命题“,使得x2+x+1<0”的否定是:“均有”,故正确;
对于D, “若f ′()=0,则为y=f(x)的极值点”为假命题,比如:中,,但不是的极值点,错误,
故选:D.
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断,综合考查指数函数的单调性、逆否命题的定义、特称命题的否定、极值点的定义,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.
12.B
【解析】
【分析】
由导数为0的点不一定是极值点,但极值点处的导数为0,结合充要条件的判定方法,即可求解.
【详解】
由题意,对于函数在内可导,导数为0的点不一定是极值点,但极值点一定是导数为0的点,所以命题推不出命题,命题推出命题,
所以是的必要不充分条件,故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数极值点与导数的关系,其中解答中熟记导数与极值点的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
13.B
【解析】
【详解】
解:由题意可知: ,
据此可得函数 的极大值为 ,
函数 的极小值为 ,即: ,
在区间 上:
不等式等价于: ,很明显 ,
当 时: ,
结合 可得: ;
当 时: ,
结合 可得: ;
综上可得实数的取值范围是 .
本题选择D选项.
点睛:
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题的关键是进行转化,把所求问题转化为求函数的最小值、最大值问题.若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
14.A
【解析】
求得函数的解析式,画出的图象,由此求得的取值范围.
【详解】
由得,
所以,
所以函数恰有2个零点等价于函数与函数的图象有2个公共点,由图象可知.
故选:A
15.D
【解析】
【分析】
根据奇函数性质得出函数在上的单调性,从而可得不等式的解.
【详解】
∵函数是奇函数,且,在区间上单调递增,
∴,在上单调递增,
∴不等式的解集为,
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性,掌握函数的这两个基本性质是解题关键.
16.C
【解析】
【分析】
利用导数判断极值点,弦化切求解即可.
【详解】
解:∵由已知可得,
∴.
故选:C.
17.D
【解析】
【分析】
先根据图象关于对称,求出的解析式,然后设切点,求导数,进而写出切线方程,再根据切线过原点,求出切点坐标,即可求出的值.
【详解】
由已知设是上任意一点,则关于的对称点为在的图象上,
所以, 所以,
设切点为 ,则,
故切线为,
由已知切线过,所以, 所以,
所以. 故.
故选:D.
【点睛】
本题考查导数的几何意义及切线方程的求法,注意利用切点满足的条件列方程解决问题.属于中档题.
18.CE
【解析】
根据零点存在定理判断零点个数不确定,故B、D错误,E正确;当,可能存在零点,故A错误,C正确,得到答案.
【详解】
根据函数零点存在定理可判断
若,则一定存在实数,使得
但c的个数不确定,故B、D错误,E正确;
若,则有可能存在实数,使得,
如,,但在内有两个零点,
故A错误,C正确.
故选:CE.
【点睛】
本题考查了零点存在定理,意在考查学生对于零点存在定理的理解和掌握.
19.AC
【解析】
【分析】
根据导数图象判断正负即可得出答案.
【详解】
对A,由图可知,当时,,故在单调递增,故A错误;
对B,由图可知,当时,,故在单调递增,故B正确;
对C,由图可知,在的左右均为负,故不是的极值点,故C错误;
对D,由图可知,在的左边为正,右边为负,为的极大值点,故D正确.
所以错误的选项有AC.
故选:AC.
20.ACD
【解析】
【分析】
通过导数的几何意义分别判断函数,与x轴的相切情况;时,求得的单调区间及最值,判断方程是否有唯一实数解;对分类讨论,求得有两个零点时应满足的条件,从而判断选项正误.
【详解】
,若的图象与轴相切,则,又,则切点坐标为,满足条件,故A正确;
,,
当时,易知恒成立,不存在为0的解,故不存在实数,使得的图象与轴相切,B错误;
由上所述,在上单减,上单增,则;
若,,,在上单增,上单减,,故方程有唯一实数解,故C正确;
,,
当时,恒成立,单增,不存在2个零点,故舍去;
当时,在上单增,在上单减,且时,,时,,故若有两个零点,则应使最大值,
即,
令,易知单调递减,且,
因此的解集为,D正确;
故选:ACD
【点睛】
关键点点睛:利用导数来研究函数的单调性,最值问题,把方程的根的问题,零点问题转化为图像交点问题,利用导数求得最值,从而得证.
21.
【解析】
【分析】
因为为极值点,故即可求解值;根据导数分析单调性判断极值即可求解.
【详解】
,由题可知,解得,
所以,
当时,得;当时,得或;
所以在,上单调递减,在上单调递增,
故的极大值为.
故答案为:,.
22.
【解析】
【分析】
满足的有个,等价于方程有个根,设,利用导数得到函数的单调性和极值,画出函数的大致图象,再利用函数图象的变换得到函数的大致图象,要使方程有个根,则方程应有两个不等的实根,根据图象得出这两根的范围,设,再利用二次函数根的分布列出不等式,即可解出的取值范围.
【详解】
满足的有个,方程有4个根,
设,则,令,得.
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,,
画出函数的大致图象,如图所示:

保留函数的轴上方的图象,把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方,
即可得到函数的图象如下图所示:
令,则,
所以要使方程有个根,
则方程应有两个不等的实根,又由于两根之积为1,所以一个根在内,一个根在内,
设,因为,则只需,解得:,
因此,实数的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系,以及利用导数研究函数的单调性和极值,考查了二次函数的图象和性质,是中档题.
23.,
【解析】
【分析】
分别判断,的单调性,求得最大值,由题意可得的最大值不大于的最大值,解不等式可得所求范围.
【详解】
解:函数在,递减,可得的最大值为,
函数的导数为,
可得在,恒成立,则在,递增,可得的最大值为(2)
由任意的,,存在,,使得,
可得的最大值不大于的最大值,即有,
解得,
则的取值范围是,.
故答案为:,.
24.1
【解析】
【分析】
利用导数研究其单调性,极值即可得出.
【详解】
解:.
可得:,
时,;
时,.
时,函数取得极大值,.
故答案为1.
【点睛】
本题考查了导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
25.,
【解析】
【分析】
求函数的导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可.
【详解】
函数的导数,
若函数是区间,上的单调函数,
则函数是区间,上只能是单调增函数,
即函数在区间,上恒成立,
即,
,,
则,
即实数的取值范围是,.
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用,利用函数的导数与函数单调性的关系是解决本题的关键.
26.(1);(2).
【解析】
【详解】
试题分析: (1)由可得的值;(2)由导数的几何意义可求得切线的斜率,由点上可求得点的坐标,代入直线方程的点斜式,可得切线方程.
试题解析:(1),令
据题意,得 2,3是方程两根
则有
(2), 则 , 得
又由,得
从而,得所求切线方程为,即.
考点:导数的几何意义;导数与极值.
27.(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用余弦的二倍角公式化简原函数,从而利用求导公式及导数的运算法则进行求导;
(2)根据复合函数的求导法则进行求导.
【详解】
(1)因为,
=48cos5x·=48cos5x=-48sin xcos5x.
(2)令y=u2, u=sin v,v=,
所以.
28.(1)2x-y+1=0;(2).
【解析】
【详解】
试题分析:(1)求导得斜率,进而由点斜式得直线方程;
(2)令,由题得在恒成立,求导根据导数判断单调性求最值即可.
试题解析:
(1),,,又因为切点(0,1)
所以切线为2x-y+1=0
(2) 令,由题得在恒成立, ,所以
①若,则时,所以函数在上递增,所以
则,得
②若,则当时,当时,所以函数在上递减,在上递增,所以,又因为,所以不合题意.
综合得.
点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立;
(3)若 恒成立,可转化为 .
29.(1)上是增函数;(2)证明详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析:本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用、利用导数判断函数的单调性常用的方法,考查了学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用导数的办法,通过导数大于或小于0判断函数的单调性;第二问,先将化为,从而原不等式化为,即,令,利用导数研究它的单调性和最值,最后得到存在正数,使原不等式成立.
试题解析:(1),
令,则,
当时,,∴是上的增函数,
∴,
故,即函数是上的增函数.
(2),
当时,令,则
故,∴,
原不等式化为,即,
令,则,
由得:,解得,
当时,;当时,.
故当时,取最小值,
令,则.
故,即.
因此,存在正数,使原不等式成立.
考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用.
30.(1);(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据函数为偶函数,,构造关于的方程组,可得的值;
(2)由(1)中函数的解析式,分别令和,解得,结合题中所给的集合E,可求得的可取值;
(3)求出函数的导函数,判断函数的单调性,进而根据函数的值域为,,分和两种情况讨论,构造关于的方程组,进而得到的值.
【详解】
(1)因为函数为偶函数,
所以,即,
所以,因为为非零实数,
所以,即;
(2)令f()=0,即,=±1,取=﹣1;
令f()=,即,=±2,取=﹣2,
故=﹣1或﹣2.
(3)∵是偶函数,且,
则函数f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.
∵x≠0,∴由题意可知:或.
若,则有,即,
整理得,此时方程组无负解;
若,则有,即,
∴m,n为方程x2﹣3x+1=0,的两个根.∵,∴m>n>0,

【点睛】
该题考查的是有关函数的综合题,涉及到的知识点有函数的奇偶性和单调性的综合,利用导数研究函数的单调性,属于较难题目.
31.(1)函数在处取得极大值 (2)(3)
【解析】
【详解】
试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定函数极大值(2)由题意1必在区间内,解不等式可得实数的取值范围;(3)先分离变量将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题,再利用导数研究函数最值,即得实数的取值范围.
试题解析:解:(1)函数的定义域为,,
当时,,在上单调递增
当时,,在上单调递减
函数在处取得极大值
(2)函数在区间 上存在极值
, 解得
当时,不等式,即为
记 ,则
令,则
在上单调递增
, 从而
故在上单调递增
实数的取值范围是
点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.
32.(1) ,(2)
【解析】
【详解】
【试题分析】(1)依题意求得切点为,斜率为,由此列方程组可求得的值.(2)将原不等式等价变形为,构造函数,利用导数求得的最大值为,由此求得的最小值.
【试题解析】
(1),.(过程略)
(2)令,则,
当时,单调递增,而,
∴时,不合题意
当时,令,则,
∵为减函数,
∴时,,单调递增,
时,,单调递减,
∴ ,
即.(△)
但,等号成立当且仅当且.
故(△)式成立只能
即.
【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题,关键点在于切点和斜率,联络点在于切点的横坐标,以此建立方程组,求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法,利用函数的最值来求解.
33.(1)
(2)函数在区间上的最小值为0;
(3)满足条件的点的横坐标的取值范围为.
【解析】
【详解】
分析:(1)求导数,根据函数在点处的切线的斜率是-5,图象过坐标原点,即可求得实数的值;
(2)当时,求导函数,确定函数的单调性,计算函数值,从而可得函数在区间上的最小值;
(3)设 ,因为中点在轴上,所以,根据,可得 分类讨论,确定函数的解析式,利用即可求得结论.
详解::(1)当时, ∵函数在点处的切线的斜率是-5, ,
(2)当时,
令 有 或
令,可得
令 ,或,
∴函数在
出取得最值
∴函数在区间上的最小值为0;
(3)设 ,因为中点在轴上,所以,根据,∵,∴
①当时,;当时, ,
②当 时, 代入可得无解;
③当时,,代入可得
设 是增函数 值域是
∴对任意给定的正实数
恒有解,满足条件
④由横坐标的对称性可得,当时, 代入可得
设 是减函数, 值域是
∴对任意给定的正实数 恒有解,满足条件
综上所述,满足条件的点的横坐标的取值范围为.
点睛:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,正确分类,灵活运用导数是关键.
答案第1页,共2页
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