人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用本章达标检测（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用本章达标检测（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 903.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-17 14:05:07 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 本章达标检测
一、单选题
1．已知函数f（x）=（e是对自然对数的底数），则其导函数=（ ）
A． B． C．1+x D．1﹣x
2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝（ ）
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
3．已知：，：，则（ ）
A．当，只有一个交点时，则
B．当，有两个交点时，则
C．当，有两个交点时，则
D．当，没有交点时，则
4．已知函数，若在处取得极值，且，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若，则
A．4032 B．4030 C．2016 D．2015
6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A． B． C． D．
7．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域是，且它们在 的图象如图所示，则不等式的解集为
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．－1是函数的极小值点
B．－4是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上先增后减
11．已知的导数为，则必有（ ）
A． B．（）
C． D．（）
12．已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
三、双空题
13．定义域为的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则______；对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.
四、填空题
14．已知、都是定义在上的函数，且恒成立，设(且)，又有，则的值为________.
15．在三棱锥中，平面平面，，．若，且三棱锥体积的最大值为，则______．
16．下面说法正确的是______（填序号）.
①若不存在，则曲线在点处没有切线；
②若曲线在点处有切线，则必存在；
③若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在；
④若曲线在点处没有切线，则有可能存在.
五、解答题
17．已知函数的极大值为2.
（1）求a的值和的极小值；
（2）求在处的切线方程.
18．已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；（2）若对任意的，都有成立，求正数的取值范围.
19．已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若方程有两个相异实根，且，证明：.
20．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段弧，直路的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图），点O是的中点.拟在这个地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路长为60米，抛物线的顶点P到直路的距离为60米.设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路的距离为n米.
（1）求出n关于m的函数关系式.
（2）当m为多大时，等腰梯形草坪的面积最大？并求出其最大值.
21．已知函数,
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数的极值;
（3）若任意,不等式恒成立，求的取值范围．
22．设,曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值;
(2)若对于任意的 恒成立,求 的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
根据函数求导法则得到
故答案为B.
2．D
【解析】
【分析】
由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2019(x)的值即可.
【详解】
由题意可得：，，，
，，
据此可得的解析式周期为，
注意到，故.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．C
【解析】
【分析】
当时，根据一次函数与对数函数的图象，可判定A不正确，D不正确；当时，利用导数的几何意义，求得切点坐标，结合图象，即可求解.
【详解】
当时，根据一次函数与对数函数的图象可得，函数与只有一个交点，所以A不正确，D不正确；
由函数，可得
当时，设与的切点坐标为，
可得，所以，即，所以，
结合一次函数与对数函数的图象可知，当时，，有两个交点.
故选：C.
4．D
【解析】
根据在处取得极值，可得，将不等式转化为在上恒成立，右边构造函数求导得到最大值即可得到答案.
【详解】
因为函数，所以，
因为在处取得极值，所以，所以，
所以，
所以即，即在上恒成立，
令，则，
所以时，，递减，
时，，递增，
所以时，，
所以，
所以的最大值为.
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.
5．B
【解析】
【详解】
试题分析：，得，，所以关于对称，所以，选B．
考点：函数递归公式及函数性质的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数递归公式及函数性质的应用，属于中档题.本题是一道新定义的题目，明确函数“拐点”的定义和性质是正确解答的前提，函数“拐点”就是二次求导得到函数零点，同时图象关于“拐点”中心对称，求出“拐点”，根据递推公式可得即可求得函数值的和.
6．D
【解析】
【分析】
由含绝对值函数、正切函数、指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】
是偶函数；是奇函数，它在区间上递增，在定义域内不能说是增函数；是减函数，它不是奇函数也不是偶函数；是奇函数，在定义域内是增函数．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性，可根据基本初等函数的性质判断．
7．C
【解析】
【详解】
由 ，
由图象可得在区间（0，1）上，g（x）＜0，（1，3）上g（x）＞0
又∵y=g（x）是奇函数，
∴在区间（﹣1，0）上，g（x）＞0，（﹣3，﹣1）上g（x）＜0
又∵在区间（0，2）上，f（x）＞0，在区间（2，3）上，f（x）＜0，且y=f（x）是偶函数，
∴在区间（﹣3，﹣2）上，f（x）＜0，在区间（﹣2，0）上，f（x）＞0，
由f（x） g（x）＜0可得， 或
即 或
∴不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，3）
故选C.
点睛：由已知条件，结合奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以判断出函数y=f（x）与y=g（x）在区间[﹣3，3]中的符号，进而得到不等式f（x） g（x）＜0的解集．
8．C
【解析】
【分析】
由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得大小关系．
【详解】
由，得的图象关于直线对称，又时，，所以，即在上单调递减，所以在上单调递增，
，，，，
，，所以，
所以．
故选：C．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的对称性与单调性，考查指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
9．A
【解析】
【分析】
结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】
因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
10．BC
【解析】
【分析】
根据导函数图象确定的单调性，由此确定正确选项.
【详解】
由图象可知，在上递减，在上递增，
所以不是极值点，A选项错误；是极小值点，B选项正确；C选项正确；D选项错误.
故选：BC
11．BD
【解析】
【分析】
求出导数，作差可得出答案.
【详解】
由，得，所以，
当时，，当时，，所以选项BD正确.
故选：BD.
12．ACD
【解析】
【分析】
根据题意对任意，总存在，使，求出在上的值域是，那么是的值域 的子集，再结合中对的取值进行讨论，即可得到的范围.
【详解】
，对任意，，
则在上单调递增，所以在上的值域是，
由题意可得是的值域 的子集，
当时的值域是，符合题意；
当时，函数值域为 ，符合题意；
当时，函数，
要符合题意，则或 ，解得或 ，
综上可得实数的取值范围是或.
故选：ACD
13． .
【解析】
【分析】
设，根据题意得到，联立方程组，即可求得，把不等式转化为恒成立，得到在时恒成立，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】
设，其中为奇函数，为偶函数，
所以，，
则，
所以，
所以，
由，，
则时，不等式恒成立等价于恒成立，可得在时恒成立，
令，则在[1，+∞）上单调递减，
所以，所以实数a的取值范围为.
故答案为：；.
14．
【解析】
【分析】
设函数，利用导数求得函数为递减函数，从而得到，解方程即可得答案；
【详解】
设函数，则，
又∵，∴，
∴为减函数，∴，
∵，即，解得(舍)或(取).
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数判断函数的单调性，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意舍去不合题意的根.
15．
【解析】
由平面平面，，得到平面，设，则，从而 ，然后令，得到 ，再利用导数法求解.
【详解】
因为平面平面，平面平面，
平面，，
所以平面.
设，则，
因为，
所以.
如图所示：
取的中点，连接，
则，，
，
所以．
设，则，，
所以（），
则，当 时， ，当 时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
则，解得.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：几何体体积的求法：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
16．③
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.
【详解】
对于①中，由不存在时，曲线在点处不一定没有切线，
例如：函数，可得，在处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为，所以①不正确；
对于②中，曲线在点处有切线，则不一定存在，
例如：函数在处的切线方程为，但不存在，所以②不正确；
对于③中，若不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线在点处的切线斜率不存在，所以③正确；
对于④中，由存在，则曲线在点有切线为真命题，
可得其逆否命题“曲线在点处没有切线，则不存在”为真命题，所以④错误.
故选：③
17．（1），极小值为；（2）.
【解析】
（1）对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出极大值，根据题中条件，求出，即可得出极小值；
（2）根据（1）的结果，先得到，，再由导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
（1）由得，
令或，令，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取极大值，即.
则在处取得极小值；
（2）由（1）知，故，
由导数的几何意义可得，在处的切线斜率为.
故其切线方程为：，即.
【点睛】
思路点睛：
导数的方法求函数极值的一般有以下几个步骤：
（1）对函数求导；
（2）解导函数对应的不等式，得出单调区间；
（3）由极值的概念，结合单调性，即可得出极值.
18．（1） （2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求出 的导数，由，得 ；（2）不等式整理可得， 在 恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到的范围.
试题解析：（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，
所以，得.
（2）由（1）知对任意都成立，
又不等式整理可得，
令，
所以，得，
当时，，函数在上单调递增，
同理，函数在上单调递减，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的切线斜率以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的取值范围.
19．(1) 在上单调递减，上单调递增.(2)见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）由题令，解得（舍去），，结合图象可得的符号，进而得到函数的单调性；（2）将证明的问题转化为比较两个函数值大小的问题，然后利用单调性求解．设，可得，再通过构造函数的方法可证得，即,最后再利用在上单调递增，可得.
试题解析：
（1）因为
所以，
因为，所以，
由得（舍去），，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
设的两个相异实根分别为，
则满足，且，
令，
则，所以在上递减
由题意可知，故，
所以，
令，
则
令，
则，
当时，，
所以是减函数，
所以，
所以当时，，
所以,
因为，在上单调递增，
所以.
点睛：用导数解决的不等式的问题包括：不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题．
(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角函数式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性)，求参数取值范围．
(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立．
(3)大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角函数式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题．
20．（1）；（2），平方米
【解析】
【分析】
（1）以路所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程即得；
（2）由点坐标，求出，把表示为的函数，再由导数知识求得最大值．
【详解】
解：（1）以路所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为曲线段为抛物线的一段弧，
所以可以设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
所以抛物线的解析式为，
因为点C在抛物线上，所以
（2）设等腰梯形的面积为S，
则，
，
，
令，得或（舍去）
10
+ 0 -
增 极大值 减
当时，
答：当时，等腰梯形的面积最大，最大值为平方米.
【点睛】
本题考查抛物线的应用，考查导数的实际应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出抛物线方程．
21．（1）单调增区间为单调减区间为；
（2）极小值为，极大值为；
（3）[2,+∞）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）先求出的定义域，然后求，再分别令去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数的极值，（3）由题意知，恒成立，整理得，然后构造函数，求其最大值即可．
试题解析：（1）定义域为R．
令， 令
令，得，
，得
所以函数的单调增区间为单调减区间为
（2）由（1）可知，当时，函数取得极小值，函数的极小值为
当时，函数取得极大值，函数的极大值为
（3）若,不等式恒成立，即对于任意,不等式恒成立，
设，，则
，恒成立，
在区间上单调递增，
∴的取值范围是[2,+∞）
考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围．
22．（1） （2）
【解析】
【详解】
试题分析：(1)求导得 f'(1)=1a=0；(2)原命题等价于在 恒成立. 再设,再将原命题等价转化为在恒成立.再用导数工具求得.
试题解析：(1) , 解 ,得 .
(2)对于任意的 , ,即恒成立,即恒成立.
设g(x)=,只需对任意的，有恒成立.
求导可得,
因为,所以 , 在上单调递增,
所以 的最大值为,所以.
【点睛】在解答题中主要考查不等式的证明与不等式的恒成立问题，常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知函数f（x）=（e是对自然对数的底数），则其导函数=（ ）
A． B． C．1+x D．1﹣x
2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝（ ）
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
3．已知：，：，则（ ）
A．当，只有一个交点时，则
B．当，有两个交点时，则
C．当，有两个交点时，则
D．当，没有交点时，则
4．已知函数，若在处取得极值，且，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若，则
A．4032 B．4030 C．2016 D．2015
6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A． B． C． D．
7．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域是，且它们在 的图象如图所示，则不等式的解集为
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．－1是函数的极小值点
B．－4是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上先增后减
11．已知的导数为，则必有（ ）
A． B．（）
C． D．（）
12．已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
三、双空题
13．定义域为的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则______；对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.
四、填空题
14．已知、都是定义在上的函数，且恒成立，设(且)，又有，则的值为________.
15．在三棱锥中，平面平面，，．若，且三棱锥体积的最大值为，则______．
16．下面说法正确的是______（填序号）.
①若不存在，则曲线在点处没有切线；
②若曲线在点处有切线，则必存在；
③若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在；
④若曲线在点处没有切线，则有可能存在.
五、解答题
17．已知函数的极大值为2.
（1）求a的值和的极小值；
（2）求在处的切线方程.
18．已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；（2）若对任意的，都有成立，求正数的取值范围.
19．已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若方程有两个相异实根，且，证明：.
20．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段弧，直路的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图），点O是的中点.拟在这个地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路长为60米，抛物线的顶点P到直路的距离为60米.设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路的距离为n米.
（1）求出n关于m的函数关系式.
（2）当m为多大时，等腰梯形草坪的面积最大？并求出其最大值.
21．已知函数,
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数的极值;
（3）若任意,不等式恒成立，求的取值范围．
22．设,曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值;
(2)若对于任意的 恒成立,求 的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
根据函数求导法则得到
故答案为B.
2．D
【解析】
【分析】
由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2019(x)的值即可.
【详解】
由题意可得：，，，
，，
据此可得的解析式周期为，
注意到，故.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．C
【解析】
【分析】
当时，根据一次函数与对数函数的图象，可判定A不正确，D不正确；当时，利用导数的几何意义，求得切点坐标，结合图象，即可求解.
【详解】
当时，根据一次函数与对数函数的图象可得，函数与只有一个交点，所以A不正确，D不正确；
由函数，可得
当时，设与的切点坐标为，
可得，所以，即，所以，
结合一次函数与对数函数的图象可知，当时，，有两个交点.
故选：C.
4．D
【解析】
根据在处取得极值，可得，将不等式转化为在上恒成立，右边构造函数求导得到最大值即可得到答案.
【详解】
因为函数，所以，
因为在处取得极值，所以，所以，
所以，
所以即，即在上恒成立，
令，则，
所以时，，递减，
时，，递增，
所以时，，
所以，
所以的最大值为.
故选：D
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.
5．B
【解析】
【详解】
试题分析：，得，，所以关于对称，所以，选B．
考点：函数递归公式及函数性质的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数递归公式及函数性质的应用，属于中档题.本题是一道新定义的题目，明确函数“拐点”的定义和性质是正确解答的前提，函数“拐点”就是二次求导得到函数零点，同时图象关于“拐点”中心对称，求出“拐点”，根据递推公式可得即可求得函数值的和.
6．D
【解析】
【分析】
由含绝对值函数、正切函数、指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】
是偶函数；是奇函数，它在区间上递增，在定义域内不能说是增函数；是减函数，它不是奇函数也不是偶函数；是奇函数，在定义域内是增函数．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性，可根据基本初等函数的性质判断．
7．C
【解析】
【详解】
由 ，
由图象可得在区间（0，1）上，g（x）＜0，（1，3）上g（x）＞0
又∵y=g（x）是奇函数，
∴在区间（﹣1，0）上，g（x）＞0，（﹣3，﹣1）上g（x）＜0
又∵在区间（0，2）上，f（x）＞0，在区间（2，3）上，f（x）＜0，且y=f（x）是偶函数，
∴在区间（﹣3，﹣2）上，f（x）＜0，在区间（﹣2，0）上，f（x）＞0，
由f（x） g（x）＜0可得， 或
即 或
∴不等式的解集为（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，3）
故选C.
点睛：由已知条件，结合奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以判断出函数y=f（x）与y=g（x）在区间[﹣3，3]中的符号，进而得到不等式f（x） g（x）＜0的解集．
8．C
【解析】
【分析】
由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得大小关系．
【详解】
由，得的图象关于直线对称，又时，，所以，即在上单调递减，所以在上单调递增，
，，，，
，，所以，
所以．
故选：C．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数的对称性与单调性，考查指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
9．A
【解析】
【分析】
结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】
因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
10．BC
【解析】
【分析】
根据导函数图象确定的单调性，由此确定正确选项.
【详解】
由图象可知，在上递减，在上递增，
所以不是极值点，A选项错误；是极小值点，B选项正确；C选项正确；D选项错误.
故选：BC
11．BD
【解析】
【分析】
求出导数，作差可得出答案.
【详解】
由，得，所以，
当时，，当时，，所以选项BD正确.
故选：BD.
12．ACD
【解析】
【分析】
根据题意对任意，总存在，使，求出在上的值域是，那么是的值域 的子集，再结合中对的取值进行讨论，即可得到的范围.
【详解】
，对任意，，
则在上单调递增，所以在上的值域是，
由题意可得是的值域 的子集，
当时的值域是，符合题意；
当时，函数值域为 ，符合题意；
当时，函数，
要符合题意，则或 ，解得或 ，
综上可得实数的取值范围是或.
故选：ACD
13． .
【解析】
【分析】
设，根据题意得到，联立方程组，即可求得，把不等式转化为恒成立，得到在时恒成立，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】
设，其中为奇函数，为偶函数，
所以，，
则，
所以，
所以，
由，，
则时，不等式恒成立等价于恒成立，可得在时恒成立，
令，则在[1，+∞）上单调递减，
所以，所以实数a的取值范围为.
故答案为：；.
14．
【解析】
【分析】
设函数，利用导数求得函数为递减函数，从而得到，解方程即可得答案；
【详解】
设函数，则，
又∵，∴，
∴为减函数，∴，
∵，即，解得(舍)或(取).
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数判断函数的单调性，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意舍去不合题意的根.
15．
【解析】
由平面平面，，得到平面，设，则，从而 ，然后令，得到 ，再利用导数法求解.
【详解】
因为平面平面，平面平面，
平面，，
所以平面.
设，则，
因为，
所以.
如图所示：
取的中点，连接，
则，，
，
所以．
设，则，，
所以（），
则，当 时， ，当 时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
则，解得.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：几何体体积的求法：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
16．③
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.
【详解】
对于①中，由不存在时，曲线在点处不一定没有切线，
例如：函数，可得，在处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为，所以①不正确；
对于②中，曲线在点处有切线，则不一定存在，
例如：函数在处的切线方程为，但不存在，所以②不正确；
对于③中，若不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线在点处的切线斜率不存在，所以③正确；
对于④中，由存在，则曲线在点有切线为真命题，
可得其逆否命题“曲线在点处没有切线，则不存在”为真命题，所以④错误.
故选：③
17．（1），极小值为；（2）.
【解析】
（1）对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出极大值，根据题中条件，求出，即可得出极小值；
（2）根据（1）的结果，先得到，，再由导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
（1）由得，
令或，令，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取极大值，即.
则在处取得极小值；
（2）由（1）知，故，
由导数的几何意义可得，在处的切线斜率为.
故其切线方程为：，即.
【点睛】
思路点睛：
导数的方法求函数极值的一般有以下几个步骤：
（1）对函数求导；
（2）解导函数对应的不等式，得出单调区间；
（3）由极值的概念，结合单调性，即可得出极值.
18．（1） （2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）求出 的导数，由，得 ；（2）不等式整理可得， 在 恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到的范围.
试题解析：（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，
所以，得.
（2）由（1）知对任意都成立，
又不等式整理可得，
令，
所以，得，
当时，，函数在上单调递增，
同理，函数在上单调递减，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的切线斜率以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的取值范围.
19．(1) 在上单调递减，上单调递增.(2)见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）由题令，解得（舍去），，结合图象可得的符号，进而得到函数的单调性；（2）将证明的问题转化为比较两个函数值大小的问题，然后利用单调性求解．设，可得，再通过构造函数的方法可证得，即,最后再利用在上单调递增，可得.
试题解析：
（1）因为
所以，
因为，所以，
由得（舍去），，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
设的两个相异实根分别为，
则满足，且，
令，
则，所以在上递减
由题意可知，故，
所以，
令，
则
令，
则，
当时，，
所以是减函数，
所以，
所以当时，，
所以,
因为，在上单调递增，
所以.
点睛：用导数解决的不等式的问题包括：不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题．
(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角函数式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性)，求参数取值范围．
(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立．
(3)大小比较问题，一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角函数式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题．
20．（1）；（2），平方米
【解析】
【分析】
（1）以路所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程即得；
（2）由点坐标，求出，把表示为的函数，再由导数知识求得最大值．
【详解】
解：（1）以路所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为曲线段为抛物线的一段弧，
所以可以设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
所以抛物线的解析式为，
因为点C在抛物线上，所以
（2）设等腰梯形的面积为S，
则，
，
，
令，得或（舍去）
10
+ 0 -
增 极大值 减
当时，
答：当时，等腰梯形的面积最大，最大值为平方米.
【点睛】
本题考查抛物线的应用，考查导数的实际应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出抛物线方程．
21．（1）单调增区间为单调减区间为；
（2）极小值为，极大值为；
（3）[2,+∞）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）先求出的定义域，然后求，再分别令去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数的极值，（3）由题意知，恒成立，整理得，然后构造函数，求其最大值即可．
试题解析：（1）定义域为R．
令， 令
令，得，
，得
所以函数的单调增区间为单调减区间为
（2）由（1）可知，当时，函数取得极小值，函数的极小值为
当时，函数取得极大值，函数的极大值为
（3）若,不等式恒成立，即对于任意,不等式恒成立，
设，，则
，恒成立，
在区间上单调递增，
∴的取值范围是[2,+∞）
考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围．
22．（1） （2）
【解析】
【详解】
试题分析：(1)求导得 f'(1)=1a=0；(2)原命题等价于在 恒成立. 再设,再将原命题等价转化为在恒成立.再用导数工具求得.
试题解析：(1) , 解 ,得 .
(2)对于任意的 , ,即恒成立,即恒成立.
设g(x)=,只需对任意的，有恒成立.
求导可得,
因为,所以 , 在上单调递增,
所以 的最大值为,所以.
【点睛】在解答题中主要考查不等式的证明与不等式的恒成立问题，常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.
答案第1页，共2页
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