人教版数学七下5.1.2 .1垂线 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
人教版 · 数学· 七年级（下）
第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
第1课时 垂线及其性质
1.理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2.掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数。
3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
学习目标
问题1 如右图，
（1）∠AOC的对顶角是哪个角？
这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？ 是哪几个角？
问题2 如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
新知一 垂线的定义
A
C
B
D
O
A
B
C
D
O
合作探究
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
b
a
O
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角.
1.垂直定义
用“⊥”和直线字母表示垂直.
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
或a⊥b于O.
b
a
O
F
E
M
N
O
记作： MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于O
A
B
O
E
记作： AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°
（或其它三个角中的一个角等于90°），
那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD（已知）， ∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角. 这个推理过程可以写成:
A
B
C
D
O
3.垂直的书写形式：
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
例 如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE？
解：∵AB⊥CD（已知），
　　∴∠COB=90°（垂直的定义）.
　　∴∠BOF= ∠COB－∠COF
　　 =90°－56°=34° .
　　∴ ∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等） .
F
E
D
C
B
A
O

56°
典例精析 利用垂直求角的度数
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求∠EOD的度数.
∴ ∠EOB=90° (垂直的定义).
∴ ∠EOD =∠EOB +∠BOD
=90°+55°=145°.
A
C
E
B
D
O
1
(
∵ AB⊥OE （已知）,
∵ ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）,
解:
巩固新知
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
新知二 垂线的画法及其性质
合作探究
【讨论】这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
【讨论】这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
B
C
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论？
【讨论】这样画l的垂线可以画几条？
一条
提示：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质：
两条直线相交
一般情况
垂线
对顶角：相等
邻补角：互补
垂线的存在性和唯一性
特殊情况
相交成直角
归纳新知
1．(4分)如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．60°
A
课堂练习
2．(4分)如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理由(补全解题过程).
解：因为CD⊥EF，
所以∠1＝__________(垂直的定义).
所以∠2＝∠1＝__________．所以AB____EF(垂直的定义).
90°
90°
⊥
3．(4分)(河南中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为____________．
140°
4．(6分)(教材P8习题T5变式)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，∠AOC＝35°，求∠BOE的度数．
解：∵∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝35°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠BOE＝∠EOD－∠BOD＝90°－35°＝55°
垂线的画法
5．(4分)下列选项中，利用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是( )
C
6．(4分)过线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在( )
A．这条线段上 B．这条线段的端点
C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
D
7．(6分)(1)如图①，作AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F；
(2)如图②，分别过点P作垂线PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
解：(1)(2)如图所示：
8．(4分)【易错】在同一平面内，下列语句正确的是( )
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
C
9．(4分)(教材P9习题T12变式)已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，那么A，B，C三点在同一条直线上，其理由是_____________________________________________________．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
1．(益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
C
课后练习
11．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOC＝70°，则∠CON的度数为( )
A．65° B．55° C．45° D．35°
B
12．(三门峡期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠BOE＝72°，则∠AOF的度数为( )
A．72° B．60° C．54° D．36°
C
二、填空题(每小题5分，共10分)
13．如图所示，EO⊥CD，垂足为O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为___________．
135°
14．【易错】在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是_________________．
60°或120°
16．(12分)如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，OM⊥ON，∠BOC＝26°，求∠AOD的度数．
解：因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠AOB＝2∠AOM＝2∠BOM，∠COD＝2∠CON＝2∠DON.因为OM⊥ON，所以∠MON＝90°，所以∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°.因为∠BOC＝26°，所以∠CON＋∠BOM＝90°－26°＝64°，所以∠DON＋∠AOM＝64°.所以∠AOD＝∠DON＋∠AOM＋∠MON＝64°＋90°＝154°
【综合运用】
17．(13分)如图所示，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系；
(2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．
再见