6.2.1- 6.2.2 排列与排列数
学习目标
1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.
2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.
重点难点
重点：理解排列的定义及排列数的计算
难点：运用排列解决计算问题
知识梳理
两个原理的联系与区别
1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
2.区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
一、排列的相关概念
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
名师点析理解排列应注意的问题
(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.
(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.
二、排列数与排列数公式
1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做
从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N*,并且m≤n.
3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1.
1.下列问题中:
①10本不同的书分给10名同学,每人一本;
②10位同学互通一次电话;
③10位同学互通一封信;
④10个没有任何三点共线的点构成的线段.
属于排列的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
学习过程
一、问题探究
问题1. 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取
出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题2. 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗 它们有什么区别
二、典例解析
例1. 某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场
分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
例3. 计算：（1）
例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.
2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.
跟踪训练 有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法
达标检测
1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )
A.5 B.10 C.20 D.60
2.设m∈N*,且m<15,则=( )
A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)
B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有( )
A.24种 B.144种 C.48种 D.96种
4.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有 种不同的种法.
5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)这些四位数中偶数有多少个 能被5整除的有多少个
(2)这些四位数中大于6 500的有多少个
课堂小结
参考答案
知识梳理
1.解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.
答案:B
学习过程
一、问题探究
问题1. 分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤：
第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；
第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.
问题
问题2.分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决：
第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；
根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为4×3×2=24
因而共可得到24个不同的三位数，如图所示
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
不同的排列方法为4×3×2=24
上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
问题3. “排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.
二、典例解析
例1. 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
6×5=30.
例2. 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.
解： （1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×4×3=60.
（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×5×5=125.
问题3. “排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.
例3. 解：根据排列
（1）
（2）
（3）
（4）
由例3可以
即
例4.分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有种取法； 如图
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 9×9×8648.
解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为=9×8×7+9×8+9×8=648.
解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，
即所求三位数的个数为10×9×89×8648.
1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.
2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.
跟踪训练 解:(方法一 分类法)分两类:
第1类,化学被选上,有种不同的安排方法;
第2类,化学不被选上,有种不同的安排方法.
故共有=300(种)不同的安排方法.
(方法二 分步法)第1步,第四节有种排法;第2步,其余三节有种排法,故共有=300(种)不同的安排方法.
(方法三 间接法)从6门课程中选4门安排在上午,有种排法,而化学排第四节,有种排法,故共有=300(种)不同的安排方法.
达标检测
1.解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有 =20(种)不同的送书方法.
答案:C
2.解析: 是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).
答案:C
3.解析:第1步,先安排甲有种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有种不同的演出顺序;第3步,安排剩余的三个演员有种不同的演出顺序.根据分步计数原理,共有=96(种)不同的演出顺序.故选D.
答案:D
4.解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有 =8×7×6×5=1 680(种).
答案:1 680
5.解:(1)偶数的个位数只能是2、4、6,有种排法,其他位上有种排法,由分步乘法计数原理,知共有四位偶数=360(个);能被5整除的数个位必须是5,故有=120(个).
(2)最高位上是7时大于6 500,有种,最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2×种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个).
16.2.3- 6.2.4 组合与组合数
学习目标
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.
3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.
重点难点
重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题
难点：组合与排列之间的联系与区别
知识梳理
一、组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
名师点析排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
二、组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,
用符号 表示.
2.组合数公式:,这里n,m∈N*,并且m≤n.
另外,我们规定=1.
1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？
学习过程
问题探究
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？
问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
二、典例解析
例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
例6.计算：
（1）；（3）
观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
1.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算.
2.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.
3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
跟踪训练1. (1)计算:①3-2;②.
(2)求证:+2.
例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
组合问题的基本解法
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
变式： 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法
达标检测
1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若=3,则n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有 个.
4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形
课堂小结
参考答案
知识梳理
1.例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为，
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为.
思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数 =4.
1.（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
学习过程
问题探究
问题1. 分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：
甲乙、甲丙、乙丙.
问题2：
也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数”
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素做全排列，共有种不同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有
=
即
==4.
同样的从个不同对象中取出个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从个不同对象中取出 个，有种选法；
第二步将选出的个对象做全排列，有种排法.
由分步乘法计数原理有 ，所以
上述公式称为组合数公式.
二、典例解析
例5. 分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；
（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.
解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=4×3=12.
这12条有向线段分别为
, , , , , ,
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，
共有如下6条：
AB,AC,AD,BC,BD,CD.
例6.解:根据组合数公式，可得
120;
(3)
(4)
跟踪训练1. 分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
(1)解:①3-2=3×-2×+1=149.
②+200=5 150.
(2)证明左边=
=·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]
=(n+2)(n+1)
=
==右边.
例7. 分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；
（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；
（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)；
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，
从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种).
（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，
也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，
即(种).
跟踪训练2.分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.
解:(1)=792(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36(种)不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙
中选1人,有=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有种选法.共有=378(种)不同的选法.
(5)(方法一 直接法)可分为三类:
第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法;
第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法;
第3类,甲、乙、丙3人均参加,有种选法.
所以,共有=666(种)不同的选法.
(方法二 间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人不能参加的有种,
所以,共有=666(种)不同的选法.
变式： 解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:
第1类,甲、乙、丙都不参加,有种选法;
第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法;
第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法.
共有=756(种)不同的选法.
(方法二 间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人全参加的有种选法,所以共有
=756(种)不同的选法.
达标检测
1. 解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.
答案:B
2. 解析:因为=3,所以n(n-1)=,解得n=6.故选C.
答案:C
3.解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为=5.
答案:5
4.解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:
第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48(个)不同的三角形;
第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112(个)不同的三角形;
第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形.
由分类加法计数原理,不同的三角形共有
48+112+56=216(个).
(方法二 间接法)=220-4=216(个).
1
