6.3.1 二项式定理
学习目标
1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；
2.会应用二项式定理求解二项展开式；
3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；
4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.
重点难点
重点： 应用二项式定理求解二项展开式
难点：利用计数原理分析二项式的展开式
知识梳理
1．二项式定理
(a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．
(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn
n＋1 ；C
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.
k＋1 ；Can－kbk
二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.
(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n.
(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项． ( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( )
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． ( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． ( )
学习过程
问题探究
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。
问题1：我们知道
=a2+2ab+b2,
（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？
（3）进一步地，你能写出的展开式吗？
我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，
问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？
二、典例解析
例1.求的展开式.
1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1 (1)求34的展开式;
(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
例2.（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280.
跟踪训练2. (1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求x-9的展开式中x3的系数.
达标检测
1.(a+b)2n的展开式的项数是( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1)
2.(2a+b)5的展开式的第3项是( )
A.23 B.23a3b2 C.23 D.23a2b3
3.二项式的展开式中有理项共有 项.
4.如果()n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n= .
5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式
中x7的系数.
6.已知在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
课堂小结
参考答案
知识梳理
1．[解析] (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)× 因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的
第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)× 因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
学习过程
问题探究
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。
问题1：可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式.
我们来分析一下形如的同类项的个数.
当=0时，=，这是由2个中都不选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取0个（即都取）的组合数，即只有1个；
当=1时，= ，这是由1个中选，另一个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即只有2个；
当=2时，= ，这是由2个中选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个；
由上述分析可以得到
问题2： 类似
二、典例解析
例1.解：根据二项式定理
+
跟踪训练1 解:(1)方法一
34=(3)4+(3)3·(3)2·2
+·33+·4=81x2+108x+54+.
方法二
34=
=(81x4+108x3+54x2+12x+1)
=81x2+108x+54+.
(2)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)+(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
例2.（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
解：的展开式的第4项是
因此,展开式第4项的系数是280.
（2） 的展开式的通项是
根据题意，得
，因此，
二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280.
跟踪训练2. (1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求x-9的展开式中x3的系数.
解:(1)由已知得二项展开式的通项为
Tk+1=(2)6-k·-k=26-k·(-1)k·,
∴T6=-12.
∴第6项的二项式系数为=6,
第6项的系数为·(-1)5·2=-12.
(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则
Tk+1=x9-k-k=(-1)kx9-2k,
令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84.
达标检测
1.解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.
答案:B
2.解析:T2+1=(2a)3b2=23a3b2.
答案:B
3.解析:根据二项式定理的通项
Tk+1=.
当取有理项时,为整数,
此时k=0,2,4,6.故共有4项.
答案:4
4.解析:Tk+1=)n-k()k=,
由题意知当k=2时,=2,解得n=8.
答案:8
5.解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.
x2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171.
∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,
此时x7的系数为=156.
6.分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.
解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为
Tk+1=·()n-k··()n-k·.
∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.
(2)由(1)知Tk+1=.
令=2,则k=2.
∴x2的系数为×45=.
(3)当Tk+1项为有理项时,为整数,0≤k≤10,且k∈N.
令=z,则k=5-z,
∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.
∴有理项为T3=x2=x2,
T6==-,T9=x-2=x-2.
16.3.2 二项式系数的性质
学习目标
1. 能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.
2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.
重点难点
重点： 二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；
难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；
利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.
知识梳理
1．二项式定理
(a＋b)n＝____________________________________________ (n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．
(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn
n＋1 ；C
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.
k＋1 ；Can－kbk
3. 二项式系数的性质
（1）.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
.
（2）.增减性与最大值
当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.
（3）.各二项式系数的和
+…+=2n.
1. 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为 ,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为 .
2. A=+…与B=+…的大小关系是( )
A.A>B B.A=B C.A学习过程
问题探究
探究1：计算展开式的二项式系数并填入下表
二项式系数:
通过计算、填表、你发现了什么规律？
n 的展开式的二项式系数
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
将上表写成如下形式：
思考：通过上表和上图，能发现什么规律？
展开式的二项式系数
我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数，
其定义域是
我们还可以画出它的图像。
例如，当时，
函数()的图像是7个离散的点，如图所示。
探究2.已知 = ，求
+…+
二、典例解析
例3.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
跟踪训练1. 在(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
例4.已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项.
求二项展开式中系数的最值的方法
(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.
(2)若二项展开式的系数为f(k)=·mg(k)的形式.
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数
最大,应用解出k,即得系数最大的项.
跟踪训练2.已知的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.
(1)求该展开式中所有有理项的个数;
(2)求该展开式中系数最大的项.
达标检测
1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( )
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
2.已知+2+22+…+2n=729,则的值等于( )
A.64 B.32 C.63 D.31
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.212 B.211 C.210 D.29
4.已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
5.已知+2xn,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数.
课堂小结
参考答案
知识梳理
1.解析:因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为a4b4=70a4b4.
因为(a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为a5b4=126a5b4,a4b5=126a4b5.
答案:1.70a4b4 126a5b4与126a4b5
2. 解析:∵(1+1)n=+…+=2n,
(1-1)n=-…+(-1)n=0,
∴+…=+…=2n-1,即A=B.
答案:B
学习过程
问题探究
探究2. 令x=1 得=
所以，的展开式的各二项式系数之和为
二、典例解析
例3.证明:在展开式
=中，
令a=1,b=-1，得
即
因此
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
跟踪训练1. 解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为+…+=29=512.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,
所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得
a0-a1+a2-…-a9=59,
又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8==976 562,
即所有奇数项系数之和为976 562.
例4.解:T6=·(2x)5,T7=·(2x)6,依题意有
·25=·26,解得n=8.
∴在(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为
T5=·(2x)4=1 120x4.
设第k+1项的系数最大,则有
解得5≤k≤6.
∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
跟踪训练2.解:(1)由题意可知+1=6,
∴n=10.
∴Tk+1=2kx-2k=2k(0≤k≤10,且k∈N),要求该展开式中的有理项,只需令∈Z.
∴k=0,2,4,6,8,10.∴有理项的个数为6.
(2)设第Tk+1项的系数最大,
则解不等式组得≤k≤.
∵k∈N,∴k=7.
∴展开式中系数最大的项为T8=27=15 360.
达标检测
1. 解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.
答案:C
2 解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.
则=32.
答案:B
3.解析:因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,
所以,解得n=10,
所以二项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为×210=29.
答案:D
4.解析:由=37,得1+n+n(n-1)=37,
解得n=8(负值舍去),
则第5项的二项式系数最大,
T5=×(2x)4=x4,该项的系数为.
答案:
5.解:∵=2,
∴n=7或n=14,
当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,
T4的系数为×4×23=,T5的系数为×3×24=70;
当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为
×7×27=3 432.
1
