7.1.1 条件概率
学习目标
1.通过实例,了解条件概率的概念；
2.掌握求条件概率的两种方法；
3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；
4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.
重点难点
重点：运用条件概率的公式解决简单的问题
难点：条件概率的概念
知识梳理
1.条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=.
2. 概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）=P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
3.条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
设P（A）>0，则
（1）P（Ω|A）=1；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；
（3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）.
学习过程
问题探究
在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有
P(ABP（A）P（B）
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.
问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示，
在班级里随机选一人做代表，
（1）选到男生的概率是多大？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
分析：求P（B|A）的一般思想
因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的
样本空间为A.
因为在事件A发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，
即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）
为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有
P（B|A）
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=.
问题1. 如何判断条件概率
问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么
条件概率与事件独立性的关系
探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？
探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？
二、典例解析
例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.
达标检测
1.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)>1
C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A) D.P((A∩B)|A)=P(B)
3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 .
4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A).
5.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求:
(1)第一次取到不合格品的概率;
(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.
6.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其中的4道题即可通过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
课堂小结
参考答案
知识梳理
学习过程
问题探究
问题1 .随机选择一人作代表，则样本空间 包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出
（1）根据古典概型知识可知选到男生的概率
P(B)
（2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含了样本点数根据古典概型知识可知：P（B|A）
问题2.观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ，B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A B.
（1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
P(B)
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A） ，此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知
P（B|A）
问题1. 题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
问题2. P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.
P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.
条件概率与事件独立性的关系
探究1： 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
这等价于P（B|A）=P（B）成立.
=；
探究2：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）=P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
二、典例解析
例1.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.
解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即。
因为n(AB)=
P（AB）
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=.利用条件概率公式，得
P（B|A）
解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时
还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，
事件B发生的概率为
P（B|A）=
又P（A）= ，利用乘法公式可得
P（AB）=P（A） P（B|A）= =
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求
P（B|A）；
方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。
例2：：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=.
因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
例3: 解：（1）设Ai=“第i次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1UA2.
事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
P（A）=P（A1）+P（ A2 ）= P（A1） +P ） P（ A2 | ） =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设B=“最后1位密码为偶数”，则
P（A|B）=P（A1|B）+P（A2|B）== ；
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
跟踪训练1.解:方法一(定义法)
设Ai={第i只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A2|A1).因为P(A1)=,P(A1A2)=,
所以P(A2|A1)=.
方法二(直接法)
因为事件A1已发生(已知),故我们只研究事件A2发生便可,在A1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=.
达标检测
1.解析:P(B|A)=.
答案:A
2.解析:由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A).
答案:C
3.解析:由题意知,P(A∩B)=,P(B|A)=.
由P(B|A)=,得P(A)=.
答案:
4.解:由题意知P(A)=,P(A∩B)=,
故P(B|A)=.
5.分析:由题意可知,100件产品中共有5件不合格品,不合格率为 .在第一次取到不合格品的条件下,第二次又取到不合格品的概率为条件概率.
解:设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合格品为事件B,则有:
(1)P(A)==0.05.
(2)方法一:第一次取到一件不合格品,还剩下99件产品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率为,由于这是一个条件概率,
所以P(B|A)=.
方法二:根据条件概率的定义,先求出事件A,B同时发生的概率P(AB)=,
所以P(B|A)=.
6.解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=,P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)
=,即所求概率为.
17.1.2 全概率公式
学习目标
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;
2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;
3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.
重点难点
重点：会用全概率公式计算概率.
难点：理解全概率公式
知识梳理
1.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
我们称上面的公式为全概率公式．
2.*贝叶斯公式：
学习过程
问题探究
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.
问题1.从有 个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
二、典例解析
例1. 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
对全概率公式的理解
某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i＝1,2，…，n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．
例2:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
问题2：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
例6:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
跟踪训练1．某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2,0.1,0.3,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，求他乘汽车去的概率．
达标检测
1.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 ( )
A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0
2.某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________.
3.两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中各有1件废品，现在先从第1批产品中任取1件放入第2批中，然后从第2批中任取1件，则取到废品的概率为________.
4．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
5.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？
课堂小结
参考答案
知识梳理
学习过程
问题探究
用 Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得
按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。
二、典例解析
例1. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。
解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”,
A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=,根据题意得
P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得
P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7.
例2:分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2台或第3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率.
解：B=“任取一个零件为次品”,
Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
则,且互斥,根据题意得
P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525
(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第i(i =1,2,3)台车床加工的概率”,
就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
同理可得；
问题2： ( )是试验之前就已知的概率,它是第 台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率。当已知抽到的零件是次品( 发生), ( | )是这件次品来自第 台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率。如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,
那么 就分别是第 , , 台车床操作员应承担的份额。
例6:分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便于求解,我们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。
跟踪训练1．
[解] 设A＝“迟到”，B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”，
B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”，
根据题意，有P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.1，P(B3)＝0.3，P(B4)＝0.4，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，P(A|B4)＝0，
由贝叶斯公式，有P(B3|A)＝
＝
＝＝0.5.
达标检测
1.【解析】选A.用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，
用表示“考生不知道正确答案”，则P(B)=0.5，P()=0.5，P(A|B)=100%，
P(A|)=0.25，则P(A)=P(AB)+P(A)
=P(A|B)P(B)+P(A|)P()
=1×0.5+0.25×0.5=0.625.
2.【解析】设B表示“该小组比赛中射中目标”，
Ai(i=1，2，3，4)表示“选i级射手参加比赛”，
则P(B)= P(Ai)P(B|Ai)=×0.85+ ×0.64+×0.45+×0.32=0.527 5.
答案：0.527 5
3.【解析】设A表示“取到废品”，B表示“从第1批中取到废品”，有P(B)= ，
P(A|B)= ，P(A| )=
所以P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| )
4．[解] 设事件 B 为“任取一件为次品”，事件 ，Ai为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.
A1∪A2∪A3＝Ω，AiAj＝ ，i，j＝1,2,3.
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2，
P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01，
故P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)
＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
5. 【解析】设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1，2，3)表示
“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.则B1，B2，B3是样本空间的
一个划分，且P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，
P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03.
由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.
(2)该元件来自制造厂1的概率为：
P(B1|A)
该元件来自制造厂2的概率为：
P(B2|A)=
该元件来自制造厂3的概率为：
P(B3|A)=
1
